Определение. Путем на плоскости называется отображение $t\mapsto\left(\varphi\left(t\right),\psi\left(t\right)\right)$ отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$ в $\mathbb{R}^{2}$, задаваемое парой непрерывных функций $\varphi$ и $\psi$.
Это означает, что каждому значению $t\in\left[\alpha,\beta\right]$ ставится в соответствие точка плоскости с координатами $\left(x,y\right)$, где $x=\varphi\left(t\right)$, $y=\psi\left(t\right)$.
Точка $\left(\varphi\left(\alpha\right),\psi\left(\alpha\right)\right)$ называется началом пути, а точка $\left(\varphi\left(\beta\right),\psi\left(\beta\right)\right)$ — концом пути. Множество всех точек $\left\{\left(\varphi\left(t\right),\psi\left(t\right)\right)\in \mathbb{R}^{2}:t\in\left[\alpha,\beta\right]\right\}$ называется следом пути.
Пусть $\Pi$ – произвольное разбиение отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$ точками $\alpha=t_{0}<t_{1}<…<t_{n}=\beta$. Обозначим $x_{i}=\varphi\left(t_{i}\right)$, $y_{i}=\psi\left(t_{i}\right)$ и составим сумму $l_{\Pi}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left(x_{i+1}-x_{i}\right)^2+\left(y_{i+1}-y_{i}\right)^{2}}$. С геометрической точки зрения эта сумма представляет собой длину ломаной с вершинами $\left(x_{i},y_{i}\right)$, вписанной в след пути.
Определение. Длиной пути называется $sup_{\Pi}l_{\Pi}$, где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям $\Pi$ отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$. Сам путь обозначается через $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$, а его длина через $l_{\left(\gamma\right)}$. Если $l_{\left(\gamma\right)}<\infty$, то путь $\gamma$ называется спрямляемым.
Теорема (достаточное условие спрямляемости). Если путь $\gamma$ определяется уравнениями $x=\varphi\left(t\right)$, $y=\psi\left(t\right)$, $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$, где $\varphi\left(t\right)$ и $\psi\left(t\right)$ непрерывно дифференцируемые функции на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$, то этот путь спрямляем.
Для любого разбиения $\Pi$: $\alpha=t_{0}<t_{1}<…<t_{n}=\beta$ отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$, применяя теорему Лагранжа, получим
$$l_{\Pi}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i+1}\right)-\varphi\left(t_{i}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i+1}\right)-\psi\left(t_{i}\right)\right]^{2}}=$$
$$=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(\overline{\tau_{i}}\right)\right]^{2}}\Delta t_{i},$$
где точки $\tau_{i}$, $\overline{\tau_{i}}\in\left[t_{i},t_{i+1}\right]$. По условию функции $\varphi^{\prime}\left(t\right)$ и $\psi^{\prime}\left(t\right)$ непрерывны на $\left[\alpha,\beta\right]$, а значит, ограничены, т. е. существует такая постоянная $M$, что $\mid\varphi^{\prime}\left(t\right)\mid\leqslant M$, $\mid\psi^{\prime}\left(t\right)\mid\leqslant M$ для всех $t\in\left[\alpha,\beta\right]$. Поэтому получаем
$$l_{\Pi}\leqslant M\sqrt{2}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\Delta t_{i}=M\sqrt{2}\left(\beta-\alpha\right),$$
так что $l_{\left(\gamma\right)}=sup_{\Pi}l_{\Pi}<\infty$, т. е. путь $\gamma$ спрямляем.
Если функции $\varphi$ и $\psi$ непрерывно дифференцируемы на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$, то путь $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$ называется дифференцируемым, или путем класса $C^{1}$.
Теорема (вычисление длины пути). Пусть $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$ непрерывно дифференцируемый путь на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$. Тогда
$$l_{\gamma}=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(t\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(t\right)\right]^{2}}dt \tag{8.1}.$$
Пусть $\Pi$ : $\alpha=t_{0}<t_{1}<…<t_{n}=\beta$ — некоторое разбиение отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$. Предположим, что мы добавили к нему одну точку $t^{\prime}\in\left[t_{i},t_{i+1}\right]$, в результате чего получили новое разбиение $\Pi^{\prime}$. Тогда $l_{\Pi}\leqslant l_{\Pi^{\prime}}$. Действительно, в суммах $l_{\Pi}$ и $l_{\Pi^{\prime}}$ будут одинаковые слагаемые, кроме слагаемых, отвечающих отрезку $\left[t_{i},t_{i+1}\right]$. В сумме $l_{\Pi}$ этому отрезку отвечает слагаемое
$$s_{i}=\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i+1}\right)-\varphi\left(t_{i}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i+1}\right)-\psi\left(t_{i}\right)\right]^{2}},$$
а в сумме $l_{\Pi^{\prime}}$ вместо него будут два следующих слагаемых:
$$s^{\prime}_{i}+s^{\prime\prime}_{i}=\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i+1}\right)-\varphi\left(t^{\prime}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i+1}\right)-\psi\left(t^{\prime}\right)\right]^{2}}+$$
$$+\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i}\right)-\varphi\left(t^{\prime}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i}\right)-\psi\left(t^{\prime}\right)\right]^{2}}.$$
Из неравенства треугольника легко видеть, что $s_{i}\leqslant s^{\prime}_{i}+s^{\prime\prime}_{i}.$
Таким образом, при измельчении разбиения суммы $l_{\Pi}$ не уменьшаются. Кроме того, по предыдущей теореме, путь $\gamma$ спрямляем, так что для любого $\varepsilon >0$ найдется такое разбиение $\Pi_{0}$, что $l_{\left(\gamma\right)}\geqslant l_{\Pi_{0}}>l_{\left(\gamma\right)}-\varepsilon$. Поэтому для любого разбиения $\Pi$, которое является измельчением разбиения $\Pi_{0}$, также справедливо неравенство
$$l_{\left(\gamma\right)}-\varepsilon<l_{\Pi}\leqslant l_{\left(\gamma\right)}. \tag{8.2}$$
Осталось показать, что при стремлении к нулю диаметра разбиения суммы $l_{\Pi}$ сремятся к интегралу, записанному справа в $(8.1)$. Как мы видели выше,
$$l_{\Pi}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(\overline{\tau_{i}}\right)\right]^{2}}\Delta t_{i}.$$
Эта сумма отличается от интегральной суммы для интеграла справа в $(8.1)$ тем, что значения функций $\varphi^{\prime}$ и $\psi^{\prime}$ берутся в разных точках. Применим очевидное неравенство
$$\mid\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{a^{2}+b^{-2}}\mid\leqslant\frac{\mid b^{2}-b^{-2}\mid}{\mid b\mid+\mid \overline{b}\mid}\leqslant\mid b-\overline{b}\mid,$$
справедливое для любых чисел $a,b$ и $\overline{b}.$ Тогда получим
$$\mid l_{\Pi}-\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^{2}}\Delta t_{i}\mid\leqslant$$
$$\leqslant\sum\limits_{i=0}^{n-1}\mid\psi^{\prime}\left(\overline{\tau_{i}}\right)-\psi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\mid\Delta t_{i}\leqslant\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_{i}\left(\psi^{\prime}\right)\Delta t_{i},$$
где $\omega_{i}\left(\psi^{\prime}\right)$ — колебание функции $\psi^{\prime}$ на отрезке $\left[t_{i},t_{i+1}\right]$. Так как функция $\psi^{\prime}$ непрерывна, то она интегрируема на $\left[\alpha,\beta\right]$. В силу критерия интегрируемости в терминах колебаний имеем $\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_{i}\left(\psi^{\prime}\right)\Delta t_{i}\rightarrow 0$ при стремлении к нулю диаметра разбиения.
Итак, мы получили, что если только диаметр разбиения достаточно мал, то сумма $l_{\Pi}$ мало отличается от интегральной суммы, соответствующей интегралу справа в $(8.1)$. Поэтому из $(8.2)$ следует $(8.1)$, и теорема доказана.
Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды $x=a\left(t-\sin t\right)$, $y=a\left(1-\cos t\right)$, $0\leqslant t\leqslant 2\pi$, где параметр $a>0$.
Имеем
$$x^{\prime}\left(t\right)=a\left(1-\cos t\right),$$
$$l=a\int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{\left(1-\cos t\right)^{2}+\sin ^{2}t}dt=a\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\cos t}dt=$$
$$=2a\int\limits_{0}^{2\pi} \mid\sin\frac{t}{2}\mid dt=-2a\cdot2\cos\frac{t}{2}\mid^{2\pi}_{0}=8a.$$
Путь $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$ на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$ называется жордановым, или простым путем, если отображение $\gamma:\left[\alpha,\beta\right]\mapsto \mathbb{R}^{2}$ взаимно однозначно. Это означает, что различным точкам $t^{\prime},t^{\prime\prime}\in\left[\alpha,\beta\right]$ соответствуют различные точки на плоскости.
Множество $\Gamma$ на плоскости называется жордановой, или простой кривой, если оно является следом некоторого жорданового пути. Каждый такой жорданов путь называется параметризацией жордановой кривой $\Gamma.$
Если есть две различных параметризации $\gamma_{1}:\left[\alpha,\beta\right]\rightarrow\Gamma$ и $\gamma_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow\Gamma$ одной и той же жордановой кривой $\Gamma$, то $\gamma_{2}=\gamma_{1}\circ\tau$, где $\tau$ — некоторая строго монотонная и непрерывная функция, переводящая отрезок $\left[a,b\right] $в $\left[\alpha,\beta\right]$. Это означает, что любые две параметризации жордановой кривой могут быть получены одна из другой с помощью непрерывной и строго монотонной замены параметра.
Пример. Пусть $\Gamma=\left\{\left(x,y\right):x+y=1,x,y\geqslant0\right\}$. Приведем примеры параметризаций
- $1) x=\cos^{2}u$, $y=\sin^{2}u$, $0\leqslant u\leqslant \frac{\pi}{2},$
- $2) x=t$, $y=1-t$, $0\leqslant t\leqslant 1.$
Можно, например, выразить $t$ через $u$ следующим образом: $t=\cos^{2}u$. Данная функция убывает на $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
Пользуясь тем фактом, что две параметризации одной и той же жордановой кривой могут быть получены одна из другой с помощью строго монотонной и непрерывной замены параметра, можно легко доказать, что для любых двух путей, являющихся параметризациями одной и той же жордановой кривой $\Gamma$, спрямляемость одного из этих путей влечет спрямляемость другого и равенство их длин.
Определение. Жорданова кривая $\Gamma$ называется спрямляемой, если спрямляемы ее параметризации. Длиной жордановой кривой $\Gamma$ называется длина любой из ее параметризаций.
Если у жордановой кривой $\Gamma$ есть хотя бы одна непрерывно дифференцируемая параметризация $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$, то эта кривая спрямляема, а ее длина выражается равенством
$$l\left(\Gamma\right)=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(t\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(t\right)\right]^{2}}dt.$$
Как частный случай рассмотрим следующий вопрос: как определить длину графика функции?
Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$ задана непрерывно дифференцируемая функция $f$. Обозначим через $\Gamma$ ее график, т. е. $\Gamma=\left\{\left(x,y\right);y=f\left(x\right),a\leqslant x\leqslant b\right\}$. Тогда $\Gamma$ является жордановой кривой, поскольку это – след жорданова пути, параметризация которого может быть задана, например, уравнениями $x=t,y=f\left(t\right)\left(a\leqslant t\leqslant b\right)$. Поэтому при наших предположениях это спрямляемый путь и его длина равна
$$l\left(\Gamma\right)=\int\limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}dx.$$
Итак, мы получили формулу для длины кривой, заданной явным уравнением $y=f\left(x\right)\left(a\leqslant x\leqslant b\right).$
Примеры решения задач
Вычислить длины дуг, заданными следующими уравнениями.
- $y=\sqrt{x^{3}}$, $a=0$, $b=1$
Решение
$l=\int\limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1+\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)^{2}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}\text{d}x=$
$=\frac{4}{9}\int_{0}^{1} \left(1+\frac{9}{4}x\right)^{\frac{1}{2}}\text{d}\left(1+\frac{9}{4}x\right)=\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}\left(1+\frac{9}{4}x\right)^{\frac{3}{2}}\mid^{1}_{0}=$
$=\frac{8}{27}\sqrt{\left(1+\frac{9}{4}x\right)^{3}}\mid^{1}_{0}=\frac{8}{27}\sqrt{\left(1+\frac{9}{4}\right)^{3}-\left(1+0\right)^{3}}=\frac{8}{27}\left(\sqrt{\left(\frac{13}{4}\right)^{3}}-1\right)$
- $y=e^{x}+6$, $\ln\sqrt{8}\leqslant x\leqslant\ln\sqrt{15}$
Решение
$l=\int\limits_{\ln\sqrt{8}}^{\ln\sqrt{15}} \sqrt{\left(y^{\prime}\right)^{2}+1}\text{d}x=\int\limits_{\ln\sqrt{8}}^{\ln\sqrt{15}} \sqrt{e^{2x}+1}\text{d}x=$
$=\begin{bmatrix}t^{2}=e^{2x}+1 \\\text{d}x=\frac{t}{t^{2}-1} \end{bmatrix}=\int\limits_{3}^{4} \frac{t^{2}-1+1}{t^{2}-1}\text{d}t=\int\limits_{3}^{4} \text{d}t + \int\limits_{3}^{4} \frac{\text{d}t}{t^{2}-1}=$
$=1+\frac{1}{2}\ln\mid\frac{t-1}{t+1}\mid\mid^{4}_{3}=1+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{6}{5}\right)$