M689. Задача о равнобедренных трапециях и прямоугольнике

Условие

Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренных трапеций с основаниями $3$ см, $1$ см и высотой $1$ см, нельзя составить прямоугольник.

Рис. 1
Рис. 2

Решение

Предположим, что прямоугольник удалось составить из $n$ трапеций. Отметим точки, в которые попадают вершины трапеций, в том числе — четыре вершины прямоугольника. У каждой трапеции два острых угла (по $45^\circ$) и два тупых (по $135^\circ$), так что у всех $n$ трапеций вместе одинаковое число острых и тупых углов — по $2n$ .

рис. 3

рис. 4

рис. 5

С другой стороны, ясно, что в каждой из отмеченных точек расположена не меньше острых углов, чем тупых (если там есть один тупой угол, то есть по крайней мере один острый, а если — два тупых, то и два острых); при этом в вершинах прямоугольника могут оказаться острые углы трапеции. Таким образом, острых углов больше, чем тупых (по крайней мере, на 8).

Полученное противоречие доказывает невозможность составления прямоугольника из трапеций.

С. Рукшин

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *