M1790. О равенстве суммарных длин участков границ разных цветов

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 2 выпуск)

Условие

Имеются в некотором количестве равносторонние треугольники, у каждого из которых одна сторона желтая, другая красная, а третья синяя. Можно прикладывать треугольники друг к другу одноцветными сторонами или участками одноцветных сторон. Таким образом составлен большой равносторонний треугольник $\Delta$. Докажите, что суммарная длина участков границы треугольника $\Delta$ каждого из трех цветов одна и та же.

Решение

Все треугольники, составляющие равносторонний треугольник $\Delta$, окрасим в синий и белый цвета в шахматном порядке. Пусть при этом треугольники, примыкающие к границе треугольника $\Delta$, имеют синюю окраску (см. рисунок).
Совместная граница всех белых и синих треугольников на одну треть окрашена в каждый из трех цветов (желтый, красный или синий), поскольку она является суммарной границей всех белых треугольников. Вычтя эту границу из суммарной границы всех синих треугольников, получаем границу треугольника $\Delta$. Значит, граница треугольника $\Delta$ на одну треть окрашена в каждый из трех цветов.

С.Волченков, В.Произволов

M1790. О равенстве суммарных длин участков границ разных цветов: 1 комментарий

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *