М1803. О суммарной площади треугольников

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 1 выпуск)

Условие

В квадрате $ABCD$ взяты точки $P$ и $Q$ такие, что $\angle{PAQ}=\angle{QCP} = 45^{\circ}$ (рис.$1$). Докажите, что суммарная площадь треугольников $PAQ, PCB$ и $QCD$ равна суммарной площади треугольников $QCP, QAD$ и $PAB.$

Рис.1

Доказательство

Симметрично отразим $\triangle{APB}$ относительно прямой $AP,$ а $\triangle{AQD}$ — относительно прямой $AQ.$ При этом отраженные точки $B$ и $D$ «склеятся» в одну точку $M$ (рис.$2$).

Рис.2
Значит, суммарная площадь треугольников $QCP, QAD$ и $PAB$ равна площади четырехугольника $APCQ$ плюс площадь треугольника $PQM.$ Симметрично отразим $\triangle{CPB}$ относительно прямой $CP,$ а $\triangle{CQD}$ — относительно прямой $CQ.$ При этом отраженные точки $B$ и $D$ «склеятся» в одну точку $N.$ Значит, суммарная площадь треугольников $PAQ, PCB$ и $QCD$ равны площади четырехугольника $APCQ$ плюс площадь треугольника $PQN.$
Остается заметить, что площади треугольников $PQM$ и $PQN$ равны, поскольку сами треугольники равны.

В.Произволов

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *