Задача из журнала «Квант» (2001 год, 6 выпуск)

Условие

Под каким углом к горизонту следует бросить камень, чтобы расстояние от него до точки бросания в течение полета все время возрастало? Камень бросают с небольшой скоростью, сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Решение

Если бросить камень почти вертикально, то расстояние до него вначале будет увеличиваться, а затем начнет уменьшаться. Ясно, что нужно найти «граничное» значение угла бросания $\alpha_\Gamma.$ Ясно также, что «подозрительная» точка траектории находится на спадающем ее участке. В этой точке вектор скорости $\overline{v}$ перпендикулярен радиусу-вектору $\overline{R}$ (см. рисунок).

Тогда $$\frac{y}{x} = \frac{v_x}{-v_y}, или \frac{v_0t\sinα_Γ-\frac{gt^2}{2}}{v_0t\cosα_Γ} = \frac{v_0\cosα_Γ}{gt-v_0\sinα_Γ}.$$

Отсюда получаем квадратное уравнение:

$$t^2- \frac{3v_0\sinα_Γ}{g}t + \frac{2v^2_0}{g^2} = 0.$$

У этого уравнения есть корень при условии, что дискриминант $D \geqslant 0$. Тогда условие задачи будет выполнено, если это уравнение не имеет корней, т.е. если

$$\frac{9v^2_0-\sin^2α_Γ}{g^2} − \frac{8v^2_0}{g^2} \leqslant 0.$$

Для граничного угла находим

$$\sinα_Γ = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Если $α<α_Γ = \arcsin\frac{2\sqrt{2}}{3} = 70,5^o,$ то все хорошо.

З.Рафаилов