М1812. Доказать тождество

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 2 выпуск)

Условие

Натуральные числа $а,$ $b$ и $с$ таковы, что $НОД\left(a^2-1,b^2-1,c^2-1\right) = 1.$

Докажите, что $НОД\left(ab+c, bc+a, ca+b\right) = НОД\left(a,b,c\right)$ (НОД – наибольший общий делитель).

Рассмотрим произвольное простое число $р$ и докажем, что оно входит в $НОД\left(a^2-1, b^2-1, c^2-1\right)$ и $НОД\left(a,b,c\right)$ в равной степени. Заметим, что если $НОД\left(a, b, c\right)\,\vdots\, p,$ то степень вхождения $р$ в оба НОДа равна наименьшей степени вхождения $р$ в числа $a, b, c$ (если $НОД\left(a, b, c\right)\,\vdots\, p^{k},$ но $c$ не делится на $p^{k+1},$ то $ab+c$ делится на $p^{k},$ но не делится на $p^{k+1}).$ Поэтому достаточно доказать, что любой простой делитель $q$ числа $НОД\left(ab+c, bc+a,ca+b\right)$ делит $НОД\left(a, b, c\right).$ Пусть, скажем, $а$ не делится на $q,$ тогда, поскольку $bc + a$ не делится на $q,$ получаем, что $b$ не делится на $q$ и $с$ не делится на $q.$ Тогда $$(ab + c)(bc + a) — a(ab + c) — c(bc + a) = ac(b^2-1)\,\vdots\, q.$$ Стало быть, $(b^2-1)\,\vdots\, q.$ Аналогично, $(a^2-1)\,\vdots\, q$ и $(c^2-1)\,\vdots\, q$ – это уже противоречие с тем, что $НОД\left(a^2-1, b^2-1, c^2-1\right) = 1.$ Значит, $НОД\left(ab+c, bc+a, ca+b\right) = НОД\left(a, b, c\right).$

А.Голованов

М1812. Доказать тождество: 1 комментарий

  1. Пробелов все еще не хватает. Зато точек стало больше чем нужно.
    Так Алгебра это рубрика или ключевое слово?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *