Задача из журнала «Квант» (1984 год, 1 выпуск)
Условие
Известно, что четыре синих треугольника на рисунке 1 равновелики.
- Докажите, что три красных четырехугольника на этом рисунке также равновелики.
- Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного синего треугольника равна 1.
Решение
Нам понадобится следующая часто применяемая
Лемма. Пусть $Р$ — точка на стороне $KL$ треугольника $KLM$. Тогда отношение площадей треугольников и равно $$S_{MKP}:S_{MPL}=|KP|:|PL|.$$ (Для доказательства достаточно заметить, что треугольники $MKP$ и $MPL$ имеют общую высоту проведенную из вершины $М$ (рис. 2).).
- Введем обозначения, как на рисунке 1. Заметим, что треугольники $AA_0C_0$ и $AA_0C_1$ равновелики (каждый из них составлен из треугольника $AA_0B_0$ и одного из из синих треугольников). Эти треугольники имеют общее основание $AA_0$, поэтому их вершины $C_0$ и $C_1$ равноудалены от прямой $AA_0$, то есть прямые $AA_0$ и $C_1C_0$ параллельны. Аналогично, $BB_0||A_1A_0$ и $CC_0||B_1B_0$. Рассмотрим трапецию $AA_0C_0C_1$ (рис. 3). Её диагонали пересекаются в точке $B_0$, а продолжения боковых сторон — в точке $B$. Эти точки лежат на прямой, соединяющей середины $D$ и $E$ её оснований $AA_0$ и $C_1C_0$. (Действительно, $B_0$ — центр гомотетии треугольников $B_0AA_0$ и $B_0C_0C_1$, а $B_0$ — центр гомотетии треугольников $BAA_0$ и $BC_1C_0$). А поскольку эта прямая параллельна $A_1A_0$, точка $B_0$ — середина отрезка $A_1A$. По лемме отсюда вытекает,что $S_{AB_0C}=S_{B_0A_1C}$. Следовательно (см. рис. 1), площади четырехугольников $AB_0A_0B_1$ и $CA_0C_0A_1$ равны. Аналогично доказывается, что и третий красный четырехугольник $BC_0B_0C_1$ имеет такую же площадь.
Подумайте, останется ли верным утверждение этого пункта задачи, если потребовать равенства площадей только трех угловых синих треугольников.
- Площадь красного четырехугольника $s=1+\sqrt{5}$. Чтобы составить уравнение для нахождения искомой площади $s$, выразим двумя способами отношение $|BC_1|:|C_1A|$ с помощью леммы:$$|BC_1|:|C_1A|=S_{CBC_1}:S_{CC_1A}=(2s+2):(s+2)=S_{B_0BC_1}:S_{B_0C_1A}=(s/2):1.$$
(Пояснения здесь требуют только равенство $S_{B_0BC_1}$. Как было показано выше, точка $E$ — середина $C_0C_1$ (рис. 3). Отсюда, опять-таки пользуясь леммой, легко вывести, что треугольники $B_0BC_1$ и $B_0BC_0$ равновелики. А вместе они составляют четырехугольник $BC_0B_0C_1$ площади $s$). Итак, $s$ удовлетворяет уравнению $$s^2-2s-4=0.$$ откуда $s=1+\sqrt{5}$.
Спасибо, исправила