Теорема о разложении определителя по строке

Определение. Пусть задана матрица $A\in M_{n\times m}\left(P\right).$ Выберем произвольно $k$ строк и $k$ столбцов $\left(1\leqslant k\leqslant \min\left\{n,m\right\}\right).$ Минором $k-$го порядка называют определитель матрицы, состоящей из элементов, которые стоят на пересечении выбранных строк и столбцов.

Определение. Пусть задана матрица $A\in M_{n}\left(P\right).$ Выберем произвольно минор $k-$го порядка $\left(1\leqslant k\leqslant n-1\right).$ Дополнительным минором называют определитель матрицы порядка $n-k,$ которая получена путем вычеркивания строк и столбцов, в которых расположен выбранный минор.

Определение. Алгебраическим дополнением называют дополнительный минор, умноженный на число $\left(-1\right)^{\left(s_{1}+s_{2}\right)},$ где $s_{1}\;-$ сумма номеров строк, а $s_{2}\;-$ сумма номеров столбцов, в которых расположен минор.

Теорема о разложении определителя по строке. Определитель (детерминант) $n-$го порядка квадратной матрицы $A$ равен сумме произведений элементов какой-либо его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. То есть:$$\det\;A=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_{kj}A_{kj}$$ — разложение определителя по элементам столбца;$$\det\;A=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_{ik}A_{ik}$$ — разложение определителя по элементам строки, где $\left(i,\;j\;\in\left\{1,2,…,n\right\}\right).$

Пусть задан определитель $n-$го порядка:$$\det\;A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}.$$ Возьмем $j-$й столбец матрицы $A$ и представим его в виде суммы:$$\begin{bmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{nj}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{1j}\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\a_{2j}\\\vdots\\0\end{bmatrix}+\dots+\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\a_{nj}\end{bmatrix}.$$ Таким же образом запишем наш определитель: $$\det\;A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=$$$$=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1j}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&0&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&0&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2j}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&0&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\dots$$$$\dots+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&0&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&0&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nj}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}.$$ Данную сумму можем записать более кратко:$$\det\;A=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\begin{vmatrix}\begin{array}{c}a_{11}\end{array}&a_{12}&\cdots&a_{1,j-1}&0&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{k,j-1}&0&a_{k,j+1}&\cdots&a_{kn}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n,j-1}&0&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}.$$

Переместим элемент $a_{kj}$ в левый верхний угол матрицы. Для этого переставим $k-$ю строку на первое место, последовательно переставляя ее со строками, стоящими выше. Исходя из этого потребуется $k-1$ транспозиций. По свойствам определителей, каждая транспозиция двух строк (столбцов) приводит к определителю, у которого изменены все знаки его членов на противоположные. То есть при каждой транспозиции определитель умножается на $-1$:$$\det\;A=$$$$\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\left(-1\right)^{k-1}\begin{vmatrix}a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{k,j-1}&a_{kj}&a_{k,j+1}&\cdots&a_{kn}\\a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1,j-1}&0&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{k-1,1}&a_{k-1,2}&\cdots&a_{k-1,j-1}&0&a_{k-1,j+1}&\cdots&a_{k-1,n}\\a_{k+1,1}&a_{k+1,2}&\cdots&a_{k+1,j-1}&0&a_{k+1,j+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n,j-1}&0&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}.$$Затем переместим $j-$й столбец на первое место, последовательно переставляя со столбцами, стоящими левее $j-$го. На это потребуется $j-1$ транспозиций:$$\det\;A=$$$$\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\left(-1\right)^{\left(k-1\right)+\left(j-1\right)}\begin{vmatrix}a_{kj}&a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{k,j-1}&a_{k,j+1}&\cdots&a_{kn}\\0&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&a_{k-1,1}&a_{k-1,2}&\cdots&a_{k-1,j-1}&a_{k-1,j+1}&\cdots&a_{k-1,n}\\0&a_{k+1,1}&a_{k+1,2}&\cdots&a_{k+1,j-1}&a_{k+1,j+1}&\cdots&a_{k+1,n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}.$$В итоге мы получаем определитель, отличающийся от искомого знаком $\left(-1\right)^{\left(k+j\right)}:$$$\det\;A=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\left(-1\right)^{\left(k+j\right)}\begin{vmatrix}a_{kj}&a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\0&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}.$$

Теперь пусть $$\det\;A^\prime=\begin{vmatrix}a_{kj}&a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kn}\\0&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}.$$ Так как все элементы первого столбца, кроме $a_{kj},$ равны нулю, можем записать полученный определитель как сумму:$$\det\;A^\prime=\underset{s=2}{\overset{n}{\sum}}\left(-1\right)^{\left[1,s_2,\dots,s_n\right]}a_{kj} a_{s2}\dots a_{sn},$$ где суммирование производится по всем перестановкам длины $n.$

Множитель $a_{kj}$ является общим для всех слагаемых. Единица, стоящая на первом месте, не образует никаких инверсий (перестановок), что не влияет на знак: $\left[1,s_2,\dots,s_n\right]=\left[s_2,\dots,s_n\right].$ Исходя из этого, можем вынести за знак суммы множитель $a_{kj}:$$$\det\;A^\prime=a_{kj}\underset{s=2}{\overset{n}{\sum}}\left(-1\right)^{\left[s_2,\dots,s_n\right]}a_{s2}\dots a_{sn}.$$

Сумма $$\underset{s=2}{\overset{n}{\sum}}\left(-1\right)^{\left[s_2,\dots,s_n\right]}a_{s2}\cdot\dots\cdot a_{sn}$$ равна определителю $\left(n-1\right)-$го порядка. Этот определитель получается путем вычеркивания первой строки и первого столбца и является дополнительным минором искомого определителя. Следовательно, определитель матрицы $A$ равен:$$\det\;A=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\left(-1\right)^{\left(k+j\right)}a_{kj}M_{kj}.$$

Согласно определению, дополнительный минор, умноженный на число $\left(-1\right)^{\left(k+j\right)},$ где $k-$ номер строки, а $j-$ номер столбца, в которых расположен минор первого порядка, равен алгебраическому дополнению. Таким образом, мы получаем, что исходный определитель равен сумме произведений элементов $j-$го столбца на их алгебраическое дополнение:$$\det\;A=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_{kj}A_{kj}.$$ Разложение по столбцу доказано.

Аналогично докажем разложение определителя по строке: $$\det\;A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}=$$$$=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{i1}&0&\dots&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&a_{i2}&\dots&0\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}+\cdots$$$$\cdots+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&0&\dots&a_{in}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{vmatrix}=$$$$=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{i-1,1}&a_{i-1,2}&\cdots&a_{i-1,k}&\cdots&a_{i-1,n}\\0&0&\cdots&a_{ik}&\cdots&0\\a_{i+1,1}&a_{i+1,2}&\cdots&a_{i+1,k}&\cdots&a_{i+1,n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nk}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}.$$Элемент $a_{ik}$ перемещаем в левый верхний угол матрицы, последовательно меняя $i-$ю строку с выше стоящими строками и $k-$й столбец со стоящими слева столбцами. Потребуется $i+k$ транспозиций. Это означает, что определитель будет отличаться от искомого знаком $\left(-1\right)^{\left(i+k\right)}:$$$\det\;A=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\left(-1\right)^{\left(i+k\right)}\begin{vmatrix}a_{ik}&a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\0&a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\0&a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=$$$$=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}\left(-1\right)^{\left(i+k\right)}a_{ik}M_{ik}=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_{ik}A_{ik}.$$ Таким образом, разложение по строке доказано.

Примеры решения задач

Рассмотрим некоторые примеры решения задач на нахождение определителя с помощью теоремы о разложении определителя по строке. Читателю рекомендовано попытаться решить задачи самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным ниже.

  1. Выполнив разложение по первой строке, вычислить определитель: $$\det\;A=\begin{vmatrix}2&-5&3\\8&4&-1\\0&3&2\end{vmatrix}.$$
    Решение

    Перед нами определитель $3-$го порядка. Разложим данный определитель по элементам первой строки:$$\det\;A=\begin{vmatrix}2&-5&3\\8&4&-1\\0&3&2\end{vmatrix}=2A_{11}+\left(-5\right)A_{12}+3A_{13}.$$ Воспользуемся формулой нахождения алгебраического дополнения: $$A_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}M_{ij},$$ где $M_{ij}\;-$ дополнительный минор к элементу $a_{ij}.$ Найдем алгебраическое дополнение к элементу $a_{11}$ согласно формуле: $$A_{11}=\left(-1\right)^{1+1}M_{11}=\left(-1\right)^2M_{11}=M_{11}.$$ Для того чтобы найти дополнительный минор к элементу, нужно мысленно вычеркнуть строку и столбец, в которых расположен данный элемент, и записать оставшиеся элементы в виде определителя: $$A_{11}=M_{11}=\begin{vmatrix}4&-1\\3&2\end{vmatrix}=4\cdot2-3\cdot\left(-1\right)=8+3=11.$$ Аналогично вычисляем оставшиеся алгебраические дополнения:$$A_{12}=\left(-1\right)^{1+2}M_{12}=\left(-1\right)^3M_{12}=-M_{12}=-\begin{vmatrix}8&-1\\0&2\end{vmatrix}=$$$$=-\left(8\cdot2-0\cdot\left(-1\right)\right)=-16;$$$$A_{13}=\left(-1\right)^{1+3}M_{12}=\left(-1\right)^4M_{12}=M_{12}=\begin{vmatrix}8&4\\0&3\end{vmatrix}=$$$$=8\cdot3-0\cdot\left(4\right)=24.$$ Следовательно, наш определитель равен:$$\det\;A=2\cdot11+\left(-5\right)\cdot\left(-16\right)+3\cdot24=22+80+72=174.$$

    Для проверки воспользуемся другим методом вычисления определителя $3-$го порядка — правилом Саррюса. Согласно этому правилу, определитель матрицы $3-$го порядка равен:$$\det\;A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-$$$$-a_{12}a_{21}a_{33}.$$ Наш определитель равен:$$\det\;A=2\cdot4\cdot2+\left(-5\right)\cdot\left(-1\right)\cdot0+3\cdot8\cdot3-3\cdot4\cdot0-$$$$-2\cdot\left(-1\right)\cdot3-\left(-5\right)\cdot8\cdot2=16+0+72-0+6+80=174.$$ Ответ совпал. Проверка выполнена.

  2. Выполнив разложение по первому столбцу, вычислить определитель: $$\det\;A=\begin{vmatrix}3&5&-2\\-1&8&4\\0&-7&-3\end{vmatrix}.$$
    Решение

    Разложим данный определитель $3-$го порядка по элементам первого столбца:$$\det\;A=\begin{vmatrix}3&5&-2\\-1&8&4\\0&-7&-3\end{vmatrix}=3A_{11}+\left(-1\right)A_{21}+0A_{31}=$$$$=3A_{11}+\left(-1\right)A_{21}.$$ Вспомним формулу нахождения алгебраического дополнения: $$A_{ij}=\left(-1\right)^{i+j}M_{ij},$$ где $M_{ij}\;-$ дополнительный минор к элементу $a_{ij}.$ Найдем алгебраические дополнения к каждому элементу:$$A_{11}=\left(-1\right)^{1+1}M_{11}=M_{11}=\begin{vmatrix}8&4\\-7&-3\end{vmatrix}=8\cdot\left(-3\right)-\left(4\cdot\left(-7\right)\right)=$$$$=-24+28=4;$$$$A_{21}=\left(-1\right)^{2+1}M_{21}=-M_{21}=-\begin{vmatrix}5&-2\\-7&-3\end{vmatrix}=$$$$=-\left(5\cdot\left(-3\right)-\left(\left(-2\right)\cdot\left(-7\right)\right)\right)=-\left(-15-14\right)=29.$$ Значит, наш определитель равен:$$\det\;A=3\cdot4+\left(-1\right)\cdot29=12-29=-17.$$

    Выполним проверку, используя правило Саррюса: $$\det\;A=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-$$$$-a_{12}a_{21}a_{33}.$$ $$\det\;A=3\cdot8\cdot\left(-3\right)+5\cdot4\cdot0+\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-7\right)-$$$$-\left(-2\right)\cdot8\cdot0-3\cdot4\cdot\left(-7\right)-5\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-3\right)=-17.$$ Проверка выполнена. Ответ совпал.

  3. Выполнив разложение по третьей строке, вычислить определитель матрицы $A=\left\|a_{ij}\right\|$ третьего порядка.
    Решение

    Разложим определитель по элементам третьей строки: $$\det\;A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{31}\cdot\left(-1\right)^{3+1}\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}+$$$$+a_{32}\cdot\left(-1\right)^{3+2}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}+a_{33}\cdot\left(-1\right)^{3+3}\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=$$$$=a_{31}\left(a_{12}\cdot a_{23}-a_{22}\cdot a_{13}\right)-a_{32}\left(a_{11}\cdot a_{23}-a_{21}\cdot a_{13}\right)+$$$$+a_{33}\left(a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}\right)=a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-$$$$-a_{11}a_{23}a_{32}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{21}a_{33}=$$$$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-$$$$-a_{12}a_{21}a_{33}.$$ Как можно заметить, последняя формула является ничем иным, как правилом Саррюса, которым мы воспользовались при проверке первого и второго примеров.

  4. Выполнив разложение по третьему столбцу, вычислить определитель: $$\det\;A=\begin{vmatrix}2&5&a&-1\\3&4&b&-3\\7&9&c&-5\\4&2&d&-2\end{vmatrix}.$$
    Решение

    Разложим данный определитель $4-$го порядка по элементам третьего столбца:$$\det\;A=\begin{vmatrix}2&5&a&-1\\3&4&b&-3\\7&9&c&-5\\4&2&d&-2\end{vmatrix}=aA_{13}+bA_{23}+cA_{33}+dA_{34}.$$ Найдем все алгебраические дополнения:$$A_{13}=\left(-1\right)^{1+3}M_{13}=M_{13}=\begin{vmatrix}3&4&-3\\7&9&-5\\4&2&-2\end{vmatrix}=$$$($разложим определитель по первому столбцу)$$=3\cdot\left(-1\right)^{1+1}\begin{vmatrix}9&-5\\2&-2\end{vmatrix}+7\cdot\left(-1\right)^{2+1}\begin{vmatrix}4&-3\\2&-2\end{vmatrix}+4\cdot\left(-1\right)^{3+1}\begin{vmatrix}4&-3\\9&-5\end{vmatrix}=$$$$=3\left(9\cdot\left(-2\right)-2\cdot\left(-5\right)\right)-7\left(4\cdot\left(-2\right)-2\cdot\left(-3\right)\right)+$$$$+4\left(4\cdot\left(-5\right)-9\cdot\left(-3\right)\right)=3\cdot\left(-8\right)-7\cdot\left(-2\right)+4\cdot7=$$$$=-24+14+28=18;$$$$A_{23}=\left(-1\right)^{2+3}M_{23}=-M_{23}=-\begin{vmatrix}2&5&-1\\7&9&-5\\4&2&-2\end{vmatrix}=$$$($разложим определитель по третьей строке, умножая каждый элемент на $-1)$$$=-4\cdot\left(-1\right)^{3+1}\begin{vmatrix}5&-1\\9&-5\end{vmatrix}-2\cdot\left(-1\right)^{3+2}\begin{vmatrix}2&-1\\7&-5\end{vmatrix}-\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)^{3+3}\begin{vmatrix}2&5\\7&9\end{vmatrix}=$$$$=-4\left(5\cdot\left(-5\right)-9\cdot\left(-1\right)\right)+2\left(2\cdot\left(-5\right)-7\cdot\left(-1\right)\right)+2\left(2\cdot9-7\cdot5\right)=$$$$=\left(-4\right)\cdot\left(-16\right)+2\cdot\left(-3\right)+2\cdot\left(-17\right)=64-6-34=24;$$$$A_{33}=\left(-1\right)^{3+3}M_{33}=M_{33}=\begin{vmatrix}2&5&-1\\3&4&-3\\4&2&-2\end{vmatrix}=$$$($разложим определитель по второй строке)$$=3\cdot\left(-1\right)^{2+1}\begin{vmatrix}5&-1\\2&-2\end{vmatrix}+4\cdot\left(-1\right)^{2+2}\begin{vmatrix}2&-1\\4&-2\end{vmatrix}+\left(-3\right)\cdot\left(-1\right)^{2+3}\begin{vmatrix}2&5\\4&2\end{vmatrix}=$$$$=-3\left(5\cdot\left(-2\right)-2\cdot\left(-1\right)\right)+4\left(2\cdot\left(-2\right)-4\cdot\left(-1\right)\right)+3\left(2\cdot2-4\cdot5\right)=$$$$=\left(-3\right)\cdot\left(-8\right)+4\cdot0+3\cdot\left(-16\right)=24-48=-24;$$$$A_{43}=\left(-1\right)^{4+3}M_{43}=-M_{43}=-\begin{vmatrix}2&5&-1\\3&4&-3\\7&9&-5\end{vmatrix}=$$$($разложим определитель по второму столбцу, умножая каждый элемент на $-1)$$$=-5\cdot\left(-1\right)^{1+2}\begin{vmatrix}3&-3\\7&-5\end{vmatrix}-4\cdot\left(-1\right)^{2+2}\begin{vmatrix}2&-1\\7&-5\end{vmatrix}-9\cdot\left(-1\right)^{3+2}\begin{vmatrix}2&-1\\3&-3\end{vmatrix}=$$$$=5\left(3\cdot\left(-5\right)-7\cdot\left(-3\right)\right)-4\left(2\cdot\left(-5\right)-7\cdot\left(-1\right)\right)+9\left(2\cdot\left(-3\right)-3\cdot\left(-1\right)\right)=$$$$=5\cdot6-4\cdot\left(-3\right)+9\cdot\left(-3\right)=30+12-27=15.$$ Следовательно, искомый определитель равен: $$\det\;A=aA_{13}+bA_{23}+cA_{33}+dA_{34}=18a+24b-24c+15d.$$

  5. Определитель матрицы $A$ равен: $$\det\;A=\begin{vmatrix}1&3&5&-2\\\lambda&0&1&0\\7&-4&3&2\\0&2&0&-1\end{vmatrix}=16.$$ Найти $\lambda.$
    Решение

    Разложим данный определитель $4-$го порядка по элементам второй строки: $$\det\;A=\begin{vmatrix}1&3&5&-2\\\lambda&0&1&0\\7&-4&3&2\\0&2&0&-1\end{vmatrix}=\lambda\cdot A_{21}+0\cdot A_{22}+1\cdot A_{23}+0\cdot A_{24}=$$$$=\lambda\cdot A_{21}+A_{23}.$$ Найдем алгебраические дополнения:$$A_{21}=\left(-1\right)^{2+1}M_{21}=-M_{21}=-\begin{vmatrix}3&5&-2\\-4&3&2\\2&0&-1\end{vmatrix}=$$$($разложим определитель по первой строке, умножив каждый элемент на $\left(-1\right))$ $$=-3\cdot\left(-1\right)^{1+1}\begin{vmatrix}3&2\\0&-1\end{vmatrix}\;-5\cdot\left(-1\right)^{1+2}\begin{vmatrix}-4&2\\2&-1\end{vmatrix}-$$$$-\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)^{1+3}\begin{vmatrix}-4&3\\2&0\end{vmatrix}=-3\left(3\cdot\left(-1\right)-0\cdot2\right)+5\left(\left(-4\right)\cdot\left(-1\right)-2\cdot2\right)+$$$$+2\left(\left(-4\right)\cdot0-2\cdot3\right)=-3\cdot\left(-3\right)+5\cdot0+2\cdot\left(-6\right)=-3;$$$$A_{23}=\left(-1\right)^{2+3}M_{21}=-M_{21}=-\begin{vmatrix}1&3&-2\\7&-4&2\\0&2&-1\end{vmatrix}=$$$($разложим определитель по первому столбцу, умножив каждый элемент на $\left(-1\right))$ $$=-1\cdot\left(-1\right)^{1+1}\begin{vmatrix}-4&2\\2&-1\end{vmatrix}\;-7\cdot\left(-1\right)^{2+1}\begin{vmatrix}3&-2\\2&-1\end{vmatrix}-$$$$-0\cdot\left(-1\right)^{3+1}\begin{vmatrix}3&-2\\-4&2\end{vmatrix}=-1\left(\left(-4\right)\cdot\left(-1\right)-2\cdot2\right)+$$$$+7\left(3\cdot\left(-1\right)-2\cdot\left(-2\right)\right)=-1\cdot0+7\cdot1=7.$$ Следовательно,$$\det\;A=-3\lambda+7.$$ По условию, $$\det\;A=-3\lambda+7=16 \Rightarrow\lambda=-3.$$

Смотрите также

  1. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984 стр. 96-97
  2. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968 стр. 46-49
  3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980 стр. 129-131
  4. Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.

Теорема о разложении определителя по строке

Тест на знание темы «Теорема о разложении определителя по строке».

Теорема о разложении определителя по строке: 1 комментарий

  1. Отличная работа, замечаний нет.

    Совет: делайте выравнивание столбцов в матрицах с числами по правому краю.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *