Ф1774. Сила натяжения нити

Задача из журнала «Квант»(2001 год, 4 выпуск)

Условие

Легкий жесткий стержень подвешен горизонтально за концы при помощи двух легких нитей, вытянутых по вертикали (рис.1). На стержень насажены два груза массами $M$ и $2M$, расположенных симметрично на равных расстояниях друг от друга и от концов стержня. Нить со стороны тяжелого груза пережигают. Во сколько раз изменится сила натяжения оставшейся нити сразу после этого? Считайте, что за интересующий нас короткий временной интервал стержень не успевает заметно сдвинуться.

Рис.1

Решение

Выберем для расчетов малый интервал времени $\tau$ – такой малый, что стержень после пережигания нити смещается из начального положения очень мало. Тогда можно считать, что точка $A$ (рис.2) практически неподвижна, а стержень поворачивается вокруг точки $A$. До пережигания нити

Рис.2

сила $T_{1}$ находится из уравнения моментов (удобно считать моменты сил относительно точки $B$):

$$2Mg\frac{l}{3}+Mg\frac{2l}{3}-T_{1}l=0,\: и\; T_{1}=\frac{4}{3}Mg.$$

Для определения силы $T_{1}^{*}$, сразу после пережигания, найдем ускорение центра масс системы $a_{ц}$ и воспользуемся уравнением второго закона Ньютона

$$3Mg-T_{1}^{*}=3Ma_{ц}.$$

Обозначим ускорение легкого груза $a$, тогда тяжелый груз имеет ускорение $2a$. За время $\tau$ первый груз опустится на $a\tau^{2}/2$, второй — на $2a\tau^{2}/2$, и потенциальная энергия системы уменьшится на

$$\Delta E_{p}=Mg\frac{a\tau^{2}}{2}+2Mg\frac{2a\tau^{2}}{2}.$$

В рассматриваемый момент времени скорость малого груза равна $a\tau$, большого $2a\tau$, а суммарная кинетическая энергия составляет

$$E_{k}=\frac{M\left ( a\tau \right )^{2}}{2}+\frac{2M\left ( 2a\tau \right )^{2}}{2}.$$

Приравняв $\Delta E_{p}$ и $E_{k}$, получим

$$a=\frac{5}{9}g\;и\;a_{ц}=\frac{5}{3}a=\frac{25}{27}g.$$

Тогда

$$T_{1}^{*}=3Mg-3Ma_{ц}=\frac{2}{9}Mg.$$

Итак, сила натяжения оставшейся нити уменьшится в $6$ раз.

Р. Старов

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *