Метод Гаусса

Определение. Метод Гаусса — метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он заключается в решении системы уравнений, приведением её к ступенчатому виду, путем исключения неизвестных. В отличии от метода Крамера и матричного метода, метод немецкого математика подходит для системы уравнений с бесконечным количеством решений.

Метод Гаусса построен на элементарных преобразованиях СЛАУ.

Определение. Элементарные преобразования системы линейных уравнений это операции, с помощью которых получаем линейно эквивалентную исходной систему уравнений. Такие как: умножение уравнений на отличное от нуля число, перестановку уравнений местами и прибавление к одному уравнению другое.

Определение. Две системы называются эквивалентными, если уравнения одной системы являются линейной комбинацией уравнений другой. Также они имеют одинаковые решения или обе решений не имеют.

Алгоритм решения методом Гаусса заключается в следующих действиях:

  1. Прямой ход. Допустим, нам дана СЛАУ из $k$ уравнений с $n$ неизвестными $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
    a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_{n}=b_2,\\
    a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+\ldots+a_{3n}x_{n}=b_3,\\
    \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
    a_{k1}x_1+a_{k2}x_2+a_{k3}x_3+\ldots+a_{kn}x_n=b_k.\\
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}$$
    Сначала исключим неизвестное $x_1$ из уравнений ниже первого. Предположим $a_{11} \ne 0$ (в обратном случае — можно записать первым уравнение с коэффициентом при $x_1$, отличным от нуля). Теперь умножим обе части первого уравнения системы на $\frac{a_{21}}{a_{11}}$ и вычтем его из второго уравнения, затем обе части первого уравнения умножим на $\frac{a_{31}}{a_{11}}$ и вычтем из третьего и так пока не исключим во всех уравнениях ниже первого переменную $x_1$ (то есть пока коэффициенты при $x_1$ не будут равны нулю). Получаем эквивалентную системе (1) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
    \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
    \bar a_{32}x_2+\bar a_{33}x_3+\ldots+\bar a_{3n}x_{n}=\bar b_3,\\
    \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
    \bar a_{k2}x_2+\bar a_{k3}x_3+\ldots+\bar a_{kn}x_n=\bar b_k.\\
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}$$
    Далее делаем аналогичные действия со СЛАУ (2) (исключаем неизвестное $x_2$), но с уравнениями ниже второго при $a_{22} \ne 0$. Получим следующую эквивалентную системе (2) (значит и системе (1)) систему: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
    a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_{n}=b_1,\\
    \bar a_{22}x_2+\bar a_{23}x_3+\ldots+\bar a_{2n}x_{n}=\bar b_2,\\
    \tilde a_{33}x_3+\ldots+\tilde a_{3n}x_{n}=\tilde b_3,\\
    \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
    \tilde a_{k3}x_3+\ldots+\tilde a_{kn}x_n=\tilde b_k.\\
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}$$ Все эти действия нужно сделать, пока не получим систему ступенчатого вида.
  2. Обратный ход. Второй этап решения системы уравнений заключается в решении полученной нами системы ступенчатого вида. Количество уравнений в преобразованной системе может быть меньше, чем в изначальной. Получаем систему с $t (t\leqslant k)$ уравнениями и $n$ переменными. Выражаем через последнее уравнение неизвестную переменную $x_t$. И через неё выражаем остальные переменные. Получим решение, которое содержит зависимые (слева) и свободные (справа) переменные: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
    x_t=c_{tt+1}x_{t+1}+a_{tt+2}x_{t+2}+\ldots+c_{tn}x_{n,}\\
    \cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\cdots\qquad\\
    x_3=c_{3t+1}x_{t+1}+a_{3t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{3n}x_{n},\\
    x_2=c_{2t+1}x_{t+1}+a_{2t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{2n}x_{n},\\
    x_1=c_{1t+1}x_{t+1}+a_{1t+2}x_{t+2}+\ldots+c_{1n}x_{n}.\\
    \end{aligned}\right.
    \end{equation}$$ Для получения решения, в свободные переменные $x_{t+1} \ldots x_n$ мы подставляем произвольные значения в систему уравнений. Из чего находим зависимые переменные $x_1 \ldots x_t$.
Замечания

  • Если система уравнений получается треугольной (или же количество уравнений равно количеству переменных), то решение у этой системы одно (система называется определенной). Если система имеет несколько ответов, то система называется неопределенной.
  • Система есть несовместная, если она не имеет решений. Это можно понять по тому, если преобразованная нами система имеет уравнений больше, чем переменных (или мы можем получить уравнение, в котором все коэффициенты равны нулю, но свободный член отличен от нуля). В обратном случае — эта система совместная.
  • Обычно выполняют преобразования не с самой системой, а с матрицей системы: выписывают матрицу из коэффициентов системы с присоединенным к ней столбцом из свободных членов. Тогда стоит заметить, что такие элементарные преобразования можно выполнять только с матрицами системы. С обычными матрицами, которые просто даны в условии, так делать запрещается.
  • При вычитании одной строки из другой меняется только та строка, от которой отнимают. Аналогично и со сложением: меняется та строка, к которой прибавляют.
  • Если в ходе преобразований мы получаем нулевую строку (все коэффициенты и свободный член будут равны 0), то такую строку можно убрать.

Примеры решений

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:$$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}
3x_1-2x_2-5x_3+x_4=3,\\
2x_1-3x_2+x_3+5x_4=-3,\\
x_1+2x_2-4x_4=-3,\\
x_1-x_2-4x_3+9x_4=22.\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Запишем матрицу из коэффициентов системы уравнений и преобразуем (если переменной нет в уравнении, то коэффициент равен нулю) $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}3 & -2 & -5 & 1 \\
2 & -3 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 0 & -4 \\
1 & -1 & -4 & 9\end{array}\right|\begin{array}{r}3 \\ -3 \\ -3 \\ 22 \end{array}\right).$$ Поменяем местами первое уравнение с последним для удобства вычислений: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9\\
2 & -3 & 1 & 5 \\
1 & 2 & 0 & -4\\
3 & -2 & -5 & 1 \end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -3 \\ -3 \\ 3 \end{array}\right).$$ Умножим теперь первое уравнение на 2 и вычтем из второго уравнения. Затем, умножив на 1, вычтем из третьего. И умножив на 3, вычтем из четвертого. Получаем: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 3 & 4 & -13 \\
0 & 1 & 7 & -26\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -25 \\ -63 \end{array}\right).$$ Далее умножаем второе уравнение на -3, затем вычтем из третьего. Теперь второе уравнение умножаем на -1 из четвертого: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 0 & 31 & -52 \\
0 & 0 & 16 & -39\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -110 \end{array}\right).$$ Итак, последние действия прямого хода. Умножаем третье уравнение на $-\frac{16}{31}$ и вычитаем из четвертого. Получаем:$$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -4 & 9 \\
0 & -1 & 9 & -13 \\
0 & 0 & 31 & -52 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{377}{31}\end{array}\right|\begin{array}{r}22 \\ -47 \\ -166 \\ -\frac{754}{31} \end{array}\right).$$ Получаем систему уравнений с новыми коэффициентами, которую будем решать обратным ходом: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
x_1-x_2-4x_3+9x_4=22,\\
-x_2+9x_3-13x_4=-47,\\
31x_3-52x_4=-166,\\
-\frac{377}{31}x_4=-\frac{754}{31}.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$ Решение получается одно. Находим его: $$x_4=2,\\
x_3=\frac{-166+104}{31}=-2,\\
x_2=-(-47+18+26)=3,\\
x_1=22+3-8-18=-1.$$

Пример 2. Решить систему уравнений методом Гаусса:$$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
4x_1-3x_2+x_3+5x_4-7=0,\\
x_1-2x_2-2x_3-3x_4-3=0,\\
3x_1-x_2+2x_3+1=0,\\
2x_1+3x_2+2x_3-8x_4+7=0.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Сначала перенесем все свободные члены вправо и выпишем расширенную матрицу. Преобразуем её: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}4 & -3 & 1 & 5\\
1 & -2 &-2 & -3\\
3 & -1 & 2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\3\\-1\\-7\end{array}\right).$$ Поменяем местами первую строку со второй: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
4 & -3 & 1 & 5\\
3 & -1 & 2 & 0\\
2 & 3 & 2 & -8\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\7\\-1\\-7\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\
0 & 5 & 8 & 9\\
0 & 7 & 6 & -2\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-10\\-13\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\
0 & 0 & -1 & -8\\
0 & 0 & -\frac{33}{5} & -\frac{129}{5}\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\20\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & -2 &-2 & -3\\
0 & 5 & 9 & 17\\0
& 0 & -1 & -8\\
0 & 0 & 0 & 27\end{array}\right|\begin{array}{r}3\\-5\\-5\\27\end{array}\right).$$ Получаем ответ: $$x_4=1,$$ $$x_3=-3,$$ $$x_2=1,$$ $$x_1=2.$$

[свернуть]

Пример 3. Решить систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
3x_1-7x_2+4x_3+5x_4=-11,\\
2x_1+5x_2+x_3-2x_4=5,\\
x_1+2x_2-3x_3+4x_4=7,\\
7x_1+2x_2-x_3+11x_4=6.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Записываем матрицу системы и преобразуем её: $$\left(\left
.\begin{array}{rrrr}3 & -7 & 4 & 5\\
2 & 5 & 1 & -2\\
1 & 2 & -3 & 4\\
7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}-11\\5\\7\\6\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
2 & 5 & 1 & -2\\
3 & -7 & 4 & 5\\
7 & 2 & -1 & 11\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\5\\-11\\6\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & 7 & -10\\
0 & -13 & 13 &-7\\
0 & -12 & 20 & -17\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-32\\-43\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\0 & 1 & 7 & -10\\
0 & 0 & 104 & -137\\
0 & 0 & 104 & -137\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-151\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 4\\
0 & 1 & 7 & -10\\
0 & 0 & 104 & -137\\
0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}7\\-9\\-149\\-2\end{array}\right).$$ Видим, что у нас получилось уравнение с нулевыми коэффициентами при ненулевом свободном члене, значит тут мы можем уже остановиться — система несовместна, то есть решений не имеет.

[свернуть]

Пример 4. Решите систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{\begin{aligned}7x_1+3x_2-2x_3+4x_4=0,\\
-6x_1-x_2-x_3+x_4=1,\\
9x_1+7x_2-8x_3+14x_4=2,\\
x_1+2x_2-3x_3+5x_4=1.\end{aligned}\right.\end{equation}$$

Решение

Записываем матрицу системы уравнений и преобразуем: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}7 & 3 & -2 & 4\\
-6 & -1 & -1 &1 \\
9 & 7 & 8 & 14 \\
1 & 2 & -3 & 5\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\1\\2\\1\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
-6 & -1 & -1 &1 \\
9 & 7 & 8 & 14 \\
7 & 3 & -2 & 4\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\1\\2\\0\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
0 & 11 & -19 & 31\\
0 & -11 & 35 & -31\\
0 & -11 & 19 &-31\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\-7\\-7\end{array}\right)\sim~$$$$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -3 & 5\\
0 & 11 & -19 & 31\\
0 & 0 & 16 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\7\\0\\0\end{array}\right)$$ Видим, что у нас появилась нулевая строка. Это значит, что это уравнение можно убрать. Так как мы получили систему, в которой количество уравнений меньше, чем количество переменных, значит система неопределённая, то есть имеет бесконечное множество решений. Количество зависимых переменных определяем по рангу матрицы. У нас получается 3 зависимых переменных. Возьмем $x_4$ за свободную переменную. Выражаем остальные 3 переменные через свободную и получаем общее решение: $$x_3=0$$ $$x_2=\frac{7-31x_4}{11}$$ $$x_1=1-2\times\frac{7-31x_4}{11}-5x_4.$$ Теперь можем подставить любое значение в переменную $x_4$ и получить один из бесконечного множества ответов, например: $$x_4=0,$$ $$x_3=0,$$ $$x_2=\frac{7}{11},$$ $$x_1=-\frac{3}{11}.$$

[свернуть]

Пример 5. Решить систему уравнений методом Гаусса: $$\begin{equation}\left\{
\begin{aligned}
2x_1-x_2+2x_4=0,\\
x_1+2x_2-x_3=0,\\
5x_1+x_2-x_3+2x_4=0,\\
x_1+x_2+x_3+x_4=1.
\end{aligned}\right.
\end{equation}$$

Решение

Запишем матрицу системы: $$\left(\left.\begin{array}{rrrr}2 & -1 &0 &2\\
1 & 2 &-1 & 0\\
5 & 1 &-1 & 2\\
1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}0\\0\\0\\1\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & -1 & 0\\
5 & 1 & -1 & 2\\
2 & -1 & 0 & 2\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\0\\0\\0\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 &1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & -4 & -6 & -3\\
0 & -3 & -2 & 0\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-5\\-2\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & 0 & -14 & -7\\
0 & 0 & -8 & -3\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\-5\end{array}\right)\sim~$$ $$\sim~\left(\left.\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & -2 & -1\\
0 & 0 & -14 & -7\\
0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|\begin{array}{r}1\\-1\\-9\\\frac{1}{7}\end{array}\right).$$ Получаем ответ: $$x_4=\frac{1}{7},$$ $$x_3=\frac{4}{7},$$ $$x_2=\frac{2}{7},$$ $$x_1=0.$$

[свернуть]

Смотрите также

Метод Гаусса

Пройдите тест, чтобы проверить насколько точно вы поняли материал.

Метод Гаусса: 5 комментариев

  1. Хорошая работа. Некоторые замечания по усовершенствованию:

    1. В матрицах и определителях с числовыми элементами лучше делать выравнивание столбцов по правому краю. Смотрится аккуратнее.

    2. Слово «отнимание» стоит заменить словом «вычитание».

  2. «уравнений(СЛАУ)» — забываете про пробелы между словами? Расставьте их везде, где положено. Статья Википедии про пробел вам поможет.
    «вычисление : метод» — понятно, пробел просто перебежал в другое место :)
    Гаусс с маленькой буквы? Все математики мира занесли вас в черный список :)
    СТРОЧКА — сплошной шов на поверхности сшиваемых кусков ткани, кожи. Ну, или соответствующий процесс. Лучше использовать слово «строка».
    Вы пишите «первую и вторую строчку». Если их две, то почему единственное число?
    Мы разбирали метод Гаусса на занятиях. Я рассказывал, что свести матрицу к единичной даже проще с точки зрения кода и описания алгоритма. Почему вы выбрали более сложную версию со сведением к треугольной и обратным проходом?
    Вы пишите $t (t\leqslant k)$. А что такое $t?$
    Вопросы: «Если у системы линейных уравнений нет решений, то она…» и «Если система линейных уравнений имеет одно решение, то она…» предполагают большое количество правильных вариантов продолжения. Фактически Вы спрашиваете, что следует из того, что система имеет (или не имеет решения)? Нужно сформулировать вопрос четче.
    В списке литературы Вы упомянули учебное пособие без гиперссылки. Как именно вы его использовали? Вы брали там примеры и решения? Это не риторический вопрос. Мне нужен ответ.

    1. Спасибо за комментарий.
      Насчёт «первая и вторая строчка». По правилам русского языка, при однородных определениях (которые выражены порядковыми числительными) и существительном, существительное ставится в единственном числе. С этим можно ознакомиться в справочнике Розенталя.
      По поводу учебного пособия без гиперссылки, брала его из электронной библиотеки ОНУ им. Мечникова. Взяла оттуда примеры и некоторые объяснения.
      «Более сложная версия со сведением к треугольной и обратным ходом» мне показалась понятнее. Этот способ описывается в учебниках, которые я использовала, и Наталья Николаевна в начале первого семестра объясняла нам так.
      $t$ это количество уравнений в системе после всех операций. Оно может уменьшиться, поэтому я и выбрала другое обозначение.
      Гаусс с маленькой буквы — опечатка. Исправлю и, надеюсь, все математики мира меня простят.

      1. У Розенталя в §194 есть правило 5, где рассматриваются похожие случаи. Но яснее не стало. Там есть примеры и с единственным и множественным числом. И даже такой: «первый и второй этажи, но между первым и вторым этажом». В данном случае мое чувство языка в соединении со смыслом происходящих действий подсказывает множественное число. Но я попытался найти обоснование в теории языка. Что мне удалось выяснить именно про наш случай.

        1. Единственное число используют, чтобы подчеркнуть общность или внутреннее единство.
        2. Множественное число подчеркивает наличие нескольких предметов.

        Конкретно нашу ситуацию проясняет следующая рекомендация: «…Поэтому и при наличии определений, выраженных порядковыми числительными, иногда употребляют формы множественного числа определяемого существительного, например: радионаблюдения за сигналами первого и второго искусственных спутников Земли; на восьмом и девятом агрегатах Куйбышевской ГЭС; первая и вторая редакции романа; в девятом и десятом томах; Первая и Вторая империи во Франции; Вторая и Третья республики; вторая и третья группы курса; совпадает с первым и вторым этапами; третье, четвертое и пятое места поделили; первая и вторая мировые войны; первый и второй походы Антанты. Ср.: староста восьмого и девятого классов был отличником в восьмом и девятом классе.»
        В нашем случае две строки меняются местами. Нам важно, что их именно две. Я бы использовал именно множественное число.
        Не удивлюсь, если сомнение у Вас останется. В этом случае стоит просто построить фразу иначе. Например,

        1. Поменяем местами первую строку со второй.
        2. Поменяем местами первые две строки.

        Но я благодарен, что Вы дали мне возможность покопаться в тонкостях natural language. У меня уже давно не было проектов по NLP и я ностальгирую :)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *