Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление

Смешанное произведение векторов

Определение
Векторы $a, b,$ и $c,$ сведенные к общему началу, образуют тройку векторов.

Определение
Тройка некомпланарных векторов $\langle a, b, c \rangle$ называется правой, если направление вектора $a$ совмещается с направлением вектора $b$ кратчайшим путём при повороте против часовой стрелки вокруг вектора $c$ (рисунок 1).

Определение
Тройка некомпланарных векторов $\langle a, b, c \rangle$ называется левой, если направление вектора $a$ совмещается с направлением вектора $b$ кратчайшем путём при повороте по часовой стрелки вокруг вектора $c$ (рисунок 2).

Рисунок 1

Рисунок 2

Любая некомпланарная тройка векторов задаёт параллелепипед, ребрами которого выступают эти векторы. Если же векторы компланарны или два из них коллинеарны, то параллелепипед вырождается в параллелограмм.

Определение
Ориентированным объемом параллелепипеда, заданного тройкой векторов, называют его объем с соответствующим знаком. Знак зависит от ориентации тройки: «$+$», если тройка правая, и «$-$», если левая. И обозначают $\pm V.$ В случае вырождения в параллелограмм, ориентированный объем будем считать равным нулю.

Определение
Смешанным произведением называют число $([a, b], c),$ равное скалярному произведению вектора, полученного векторным произведением $a$ и $b,$ на вектор $c.$

Теорема
Смешанное произведение трех векторов равно ориентированному объему параллелепипеда, заданного тройкой этих векторов.

Пусть даны некомпланарные векторы $a, b$ и $c.$ Будем считать, что $a \ne \lambda b,$ где $\lambda \in \mathbb {R}.$ Тройка $\langle a, b, c \rangle$ задает параллелепипед (рисунок 3). Обозначим вектор $[a, b]$ как $d.$ По свойствам векторного произведения вектор $d$ перпендикулярен грани параллелепипеда, образованной векторами $a$ и $b,$ а его длина равна площади $S$ этой самой грани. Тогда $(d, c) = S \left |c \right | \cos {\varphi},$ где $\varphi$ — угол между векторами $c$ и $d,$ а $\left |c \right | \cos {\varphi}$ есть высота параллелепипеда со знаком, который зависит от $\varphi:$ «$+$» при $ \varphi < 90^{\circ}$ и «$-$» при $ \varphi > 90^{\circ}.$ То есть $\pm V = ([a, b], c).$ Что и требовалось доказать.

Рисунок 3

Замечание
Если $\varphi = 90^{\circ},$ то не выполняется условие компланарности и $\pm V = 0.$

Свойства смешанного произведения

  1. $(a, b, c) = (c, a, b) = (b, c, a) =-(b, a, c) =-(c, b, a) =-(a, c, b);$
  2. $([a, b], c) = (a, [b, c]);$
  3. $(\lambda a, b, c) = (a, \lambda b, c) = (a, b, \lambda c) = \lambda (a, b, c), \\(a_1 + a_2, b, c) = (a_1, b, c) + (a_2, b, c). \\ (a, b_1 + b_2, c) = (a, b_1, c) + (a, b_2, c), \\(a, b, c_1 + c_2) = (a, b, c_1) + (a, b, c_2);$
  4. Система векторов $\langle a, b, c \rangle$ компланарная тогда и только тогда, когда $(a, b, c) = 0.$
  1. Это свойство следует из теоремы, т.к ориентированный объем параллелепипеда в результате перестановки векторов может поменять только знак.
  2. Следует из теоремы и свойства 1.
  3. Линейность смешанного произведения имеет место в силу линейности скалярного произведения и свойств 1 и 2.
  4. Необходимость. Выше оговаривалось, что при попытке построить параллелепипед на компланарной тройке векторов, он вырождается в параллелограмм. В силу теоремы $(a, b, c) = \pm V = 0.$
    Достаточность. Если $ a \ne 0, b \ne0 , c \ne 0$ и $(a, b, c) = 0 ,$ то либо $[a, b]$ равно нулевому вектору, либо $c \perp [a,b]$. Из определения нулевого вектора и свойств векторного произведения следует, что тройка $\langle a, b, c \rangle$ компланарная.

Замечание
В силу свойства 2 смешанное произведение можно записывать как $(a, b, c).$

Координатное представление

Пусть векторы заданы координатами: $a = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3),$ $b = (\beta_1, \beta_2, \beta_3),$ $с = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3).$ Учитывая формулы для скалярного и векторного произведения в координатном представлении , получим
$$(a, b, c) = \gamma_1 \alpha_2 \beta_3 + \gamma_2 \alpha_3 \beta_1 + \gamma_3 \alpha_1 \beta_2-\gamma_1 \alpha_3 \beta_2-\gamma_2 \alpha_1 \beta_3-\gamma_3 \alpha_2 \beta_1 = \\ = \gamma_1 \left| \begin{array}{rr} \alpha_2 & \alpha_3 \\ \beta_2 & \beta_3 \end{array} \right|-\gamma_2 \left| \begin{array}{rr} \alpha_1 & \alpha_3 \\ \beta_1 & \beta_3 \end{array} \right| + \gamma_3 \left| \begin{array}{rr} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \beta_1 & \beta_2 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{rrr} \alpha_1 & \alpha_2 & \alpha_3 \\ \beta_1 & \beta_2 & \beta_3 \\ \gamma_1 & \gamma_2 & \gamma_3 \end{array} \right| $$

Примеры решения задач

  1. Найти $(a, b, c).$ Если $ a = (6, 4, -1), b = (-2, 0, 5), c = (3, -4, 7)$
    Решение

    $(a, b, c) = \left | \begin{array}{rrr} 6 & 4 & -1 \\ -2 & 0 & 5 \\ 3 & -4 & 7 \end{array} \right | = 3 \left| \begin{array}{rr} 4 & -1 \\ 0 & 5 \end{array} \right|-(-4) \left| \begin{array}{rrr} 6 & -1 \\ -2 & 5 \end{array} \right| + \\ + 7 \left| \begin{array}{rr} 6 & 4 \\ -2 & 0 \end{array} \right| = 60+120-8+56 = 228.$

    [свернуть]
  2. Определить ориентацию тройки векторов $\langle a, b, c \rangle.$ Если $ a = (1, 0, 3), b = (-3, 1, 1), c = (-1, 0, -2)$
    Решение

    Поскольку знак ориентированного объема зависит от ориентации тройки векторов, на которой он построен, то, вычислив его, мы узнаем ориентацию тройки $\langle a, b, c \rangle.$
    $$(a, b, c) = \left | \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ -3 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \end{array} \right | = -2 + 3 = 1 .$$ $1 > 0 ,$ значит $\langle a, b, c \rangle$ является правой.

    [свернуть]
  3. Даны векторы $ a = (2, 2, 1), b = (-4, 2, 7), c = (-1, 4, 8)$ и $d = (2, 6, 9).$ Определить все компланарные тройки векторов.
    Решение

    Воспользуемся свойством 4:
    $$(a, b, c) = \left | \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ -4 & 2 & 7 \\ -1 & 4 & 8 \end{array} \right | = 32-14-16+2-56+64 = 12 ;$$
    $$(a, b, d) = \left | \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ -4 & 2 & 7 \\ 2 & 6 & 9 \end{array} \right | = 36+28-24-4-84+72 = 24 ;$$
    $$(a, c, d) = \left | \begin{array}{rrr} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 9 \\ -1 & 4 & 8 \end{array} \right | = 72+32-6-8-96+18 = 12 ;$$
    $$(b, c, d) = \left | \begin{array}{rrr} -4 & 2 & 7 \\ 2 & 6 & 9 \\ -1 & 4 & 8 \end{array} \right | = -144+32-42-56+192+18 = 0$$
    Тройка векторов $\langle b, c, d \rangle$ является компланарной.

    [свернуть]
  4. Найти угол между векторами $c$ и $[a,b]$ Если $ a = (-1, 6, 1), b = (2, -4, -2), c = (5, -4, 3)$
    Решение

    Из определения смешанного произведения следует, что $(a, b, c) = \left |[a, b] \right | \left |c \right | \cos {\varphi}$, где $\varphi$ — угол, который и надо найти. Тогда
    $ \cos {\varphi} = \frac {(a, b, c)}{\left |[a, b] \right | \left |c \right |}.$ Начнем вычисления: $$(a, b, c) = \left | \begin{array}{rrr} -1 & 6 & 1 \\ 2 & -4 & -2 \\ 5 & -4 & 3 \end{array} \right | = 12-60-8+20+8-36 = -64$$ $$\left |c \right | = \sqrt {5^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt {25 + 16 + 9} = 5 \sqrt {2}$$ $$\left |[a, b] \right | = \sqrt {\left | \begin{array}{rr} 6 & 1 \\ -4 & -2 \end{array} \right | ^2 + \left | \begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{array} \right | ^2 + \left | \begin{array}{rr} 1 & 6 \\ 2 & -4 \end{array} \right | ^2} =$$$$= \sqrt {(-8)^2 + 0^2 + (-8)^2} = 8 \sqrt {2}$$ $$ \cos {\varphi} = \frac {-64}{5 \sqrt {2} \cdot 8 \sqrt {2}} = -\frac{4}{5}$$ Тогда $\varphi = \arccos ({- \frac {4}{5}}) \approx 143^{\circ}$

    [свернуть]
  5. Дан тетраэдр (рисунок 4), построенный на векторах $ a = (2, -2, -3), b = (-6, 2, -5), c = (4, 0, 5).$ Найти его объем.
    Рисунок 4

    Решение

    $V_{\text {тетраэдра}} = \frac {S_{\text {осн}} h}{3}$ и $S_{\text {осн}} = \frac {\left |[a, b] \right | }{2},$ тогда $$V_{\text {тетраэдра}} = \frac {V_{\text {параллелепипеда}}}{6} = \frac {1}{6} (a, b, c)$$ $$ V_{\text {тетраэдра}} = \frac {1}{6} \left | \begin{array}{rrr} 2 & -2 & 3 \\ -6 & 2 & -5 \\ 4 & 0 & 5 \end{array} \right | = \frac {1}{6} ( 20 + 40 + 24-60) = 4 \text {ед}^3$$

    [свернуть]

Список литературы

  1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. — 400 с. — C. 108-113.
  2. Федорчук В. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. пособие. — М.: Изд-во МГУ, 1990. — 328 с. — С. 71-77.
  3. Личный конспект на основе лекций Белозерова Г. С.

Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление

Тест для проверки знаний по теме «Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление».

Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление: 2 комментария

  1. Совет: в матрицах и определителях с числами выравнивание столбцов желательно делать по правому краю.

    По работе замечаний нет.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *