Лемма о степени произведения двух многочленов

Лемма. Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.

Рассмотрим многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$$ $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}.$$ По определению произведения многочленов, коэффициенты $p\left(x\right)$ равны $$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},\;\left(i = 0, 1, \ldots, n+m-1, n+m\right).$$ Рассмотрим коэффициент многочлена $p\left(x\right)$ при $x^{n+m}:$ $$c_{n+m}=\sum_{\alpha+\beta=n+m}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{n}b_{m}.$$ Очевидно, $a_{n}b_{m}\neq 0,$ иначе хоть один из множителей был бы равен нулю и степени $u\left(x\right)$ и/или $v\left(x\right)$ были бы нарушены. Тогда $c_{n+m}\neq 0$ и $\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=n+m.$

Примеры решения задач

Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.

  1. Вычислить $\deg\left(p\left(x\right)\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=6x^8-19x^7+40x^6-52x^5+74x^4-60x^3+34x^2+5x+50,$$ $$v\left(x\right)=42.$$
    Решение

    Очевидно, умножение на число не изменит степени многочлена. Однако, убедимся в этом с помощью леммы, считая $v\left(x\right)$ многочленом нулевой степени. $$\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=8+0=8.$$

  2. Определить степень произведения $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=10x^7+26x^6+46x^5+56x^4+114x^3+80x^2+48x+70,$$ $$v\left(x\right)=39x^5+185x^4+193x^3+81x^2+56x+20.$$
    Решение

    Воспользуемся леммой. Пусть $p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right).$ Тогда: $$\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=7+5=12.$$

Смотрите также

  1. А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва:Наука, 1968. — 431с. (c. 132)
  2. Р.Галлагер Теория информации и надежная связь. -М.:»Советское радио», 1974. — 720с. (c. 232-233)
  3. Белозёров Г.С. Конспект лекций.

Лемма о степени произведения двух многочленов

Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Лемма о степени произведения двух многочленов».

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *