Теорема об умножении определителей

Теорема об умножении определителей. Определитель произведения двух квадратных матриц порядка $n$ равен произведению определителей этих матриц: $$\det (A \cdot B)=\det (A) \cdot \det (B)$$ или полная формула: $$\det\left (\prod_{i=1}^{k}A_i\right )= \prod_{i=1}^{k}\det A_i, A_i\in\left(P\right), i=1, \ldots, k.$$

Для доказательства рассмотрим случай $k=2$. Допустим заданы две матрицы $A=\left \| a_{ij} \right \|\in M_n\left ( P \right )$ и $B=\left \| b_{ij} \right \|\in M_n\left ( P \right )$. Воспользуемся вспомогательной блочной матрицей $C=\begin{Vmatrix}A & 0\\-E & B\end{Vmatrix}$ размера $2n\times 2n$, определитель которой имеет вид: $$\Delta = \begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12} &\cdots & a_{1n} &0 & 0 & \cdots & 0\\
a_{21}&a_{22} &\cdots & a_{2n} &0 & 0 & \cdots & 0 \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
a_{n1}&a_{n2} &\cdots & a_{nn} &0 & 0 & \cdots & 0\\
-1& 0 & \cdots & 0 & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
0 & -1 & \cdots & 0 & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
0 & 0 & \cdots & -1 & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}$$
Вычислим $\Delta$ используя теорему Лапласа. Замечаем, что отличным от нуля будет только $det(A)$. Следовательно, $\Delta=\det(A) \cdot \det(B)$. Теперь с помощью элементарных преобразований изменим $\Delta$ так, что в итоге получим определитель вида $\begin{vmatrix}A & C\\ -E & O\end{vmatrix}$. Где $C$ является произведением матриц $A$ и $B$. Первый столбец умножим на $b_{11}$ и прибавим к $\left ( n+1 \right)$-му столбцу, второй на элемент $b_{21}$ и вновь прибавим к $\left ( n+1 \right )$-му столбцу. Так же обнулим остальные элементы матрицы $B$. Записав подробнее полученный определитель имеем: $$\Delta = \begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12} &\cdots & a_{1n} & c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\
a_{21}&a_{22} &\cdots & a_{2n} & c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
a_{n1}&a_{n2} &\cdots & a_{nn} & c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\
-1& 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
0 & 0 & \cdots & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{vmatrix}$$ Снова вычислим определитель $\Delta$, разложением по последним $n$ столбцам. В этом случае отличным от нуля минором $n-$го порядка будет определитель матрицы $C$. Поэтому $\Delta= \det C\cdot\det\left (-E\right )=\det C\cdot\left ( -1 \right )^{n}\cdot\left (-1\right )^{S_1+S_2},$ где $$S_1=\sum_{k=n+1}^{2n}k, \textrm{ a } S_2=\sum_{k=1}^{n}k.$$ В результате получаем $\Delta=\det C\cdot\left ( -1 \right )^{2n\left ( n^{2}+n \right )}=\det C.$ Теперь, подставляя имеем доказательство теоремы: $$\Delta=\det C=\det (A \cdot B)=\det (A) \cdot \det (B).$$

Теорема (формула Бине-Коши). Пусть даны две матрицы $A$ и $B$ размеров $\left ( m\times n \right )$ и $\left ( n\times m \right )$ соответственно. Определитель матрицы равен нулю, если $m > n$, и равен сумме произведений всех соответствующих миноров $m$-го порядка мaтрицы $A$ на соответствующие миноры $m$-го порядка матрицы $B$, если $m \leqslant n$. Миноры матриц $A$ и $B$ одинакового порядка, равного наименьшему из чисел n и m, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах матрицы $A$ и строках матрицы $B$ с одинаковыми номерами: $$\det AB=\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }A_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }B_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m },$$
где $A_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }$ — минор матрицы $A$, составленный из столбцов с номерами $\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m$, и $B_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }$ — минор матрицы $B$, составленный из строк с номерами $\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m$.

Допустим $C=AB$, $c_{ij}=\sum_{\gamma=1}^{m}{a_{i\gamma }b_{\gamma i}}$. Значит $$\det C=\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma} \sum_{\gamma_1}{a_{1\gamma_1}b_{\gamma_{1}\sigma(1)}}\ldots \sum_{\gamma_n}{a_{n\gamma_n}b_{\gamma_{n}\sigma(n)}}=$$ $$=\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}^{m}{a_{1\gamma_{1}}}\ldots a_{n_n}\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma}b_{\gamma_1\sigma(1)}\ldots b_{\gamma_n\sigma(n)}=\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}{a_{1\gamma_{1}}\ldots a_{n\gamma_n} B^{\gamma_1\ldots \gamma_n}}.$$ Минор $B^{\gamma_1\ldots \gamma_n}$ не равен нулю только в том случае, когда $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$ попарно различны, значит и суммировать можно по парно различные номера $\gamma_1, \ldots, \gamma_n$. Для любой перестановки $\tau$ этих номеров справедливо $B^{\tau(\gamma_1)\ldots\tau(\gamma_n)}=(-1)^{\tau}B^{\gamma_1\ldots\gamma_n},$ из чего следует $$\sum_{\gamma_1,\ldots,\gamma_n=1}{a_{1\gamma_{1}}\ldots a_{n\gamma_n} B_{\gamma_1\ldots \gamma_n}}=\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_n}{(-1)^\tau a_{1\tau(1)}\ldots a_{n\tau(n)}B_{\gamma_1\ldots\gamma_n}}=$$ $$ =\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}{A_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}B_{\gamma_1<\gamma_2<\ldots<\gamma_m}}.$$