Задача М1314 з журналу «Квант» 1991 року №11
Умова
\(ABCD\) — випуклий чотирикутник, діагоналі котрого перетинаються в точці \(O\). Нехай \(P\) та \(Q\) — центри кіл, описаних навколо трикутників \(ABO\) і \(CDO\).
Доведіть, що \(AB+CD\leq4PQ\)
Розв’язання
Нехай \(O\) — точка перетину діагоналей чоторикутника \(ABCD\). Проведемо пряму, що ділить кути \(BOA\) та \(COD\) навпіл і, що перетинає кола, описані навколо трикутників \(AOB\) і \(COD\) у точках \(K\) і \(L\) відповідно. (малюнок)
Нехай \(PM\) та \(QN\) — перпендикуляри, опущені із точок \(P\) і \(Q\) на пряму \(KL\).
Так як сума кутів \(\angle KBO\) і \(\angle KAO\) = \(180^{\circ}\), один з цих двох кутів не є гострим. Будемо для визначенності вважати, що таким кутом є \(KBO\).
З трикутника \(KBO\) отримаємо, що \(КО > KB\). А так як трикутник \(AKB\) — рівнобедрений, $$2KB = KB + KA > AB.$$
Отже, \(2KO > AB\). Аналогічно доводиться, що \(2LO > CD\).
Але тоді $$4PQ \geq 4MN = 2KL = 2KO + 2LO > AB + CD.$$