Теорема о «чужих дополнениях»

Теорема. Если элементы некоторой строки (столбца) умножить на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца), то сумма этих произведений будет равна $0$.

Разложение по строке: $$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\ldots+a_{in}A_{kn}=\sum_{k=1}^{n} a_{ij}A_{kj}=0$$

Разложение по столбцу: $$a_{1j}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nk}=\sum_{k=1}^{n} a_{ij}A_{ik}=0$$

Пусть $\Delta$ – определитель порядка $n$. Тогда $$\sum_{j=1}^{n} a_{i j} A_{k j}=\left\{\begin{array}{l} \Delta, & если & k = i \\0, &если & k \neq i \end{array}\right.$$

Рассмотрим определитель матрицы $A=\left\|a_{i j}\right\| \in M_{n}(P)$. Прибавим $k$-ю строку к $i$-й, отчего определитель матрицы не изменится в соответствии со свойством определитель не изменится, если к какой-либо его строке (столбцу) прибавить (как матрицу) другую его строку (столбец), умноженную (-ого) на произвольный элемент поля. Отсюда, в частности, следует, что определитель, содержащий равные строки (столбцы), равен нулю. Теперь распишем по теореме о разложении определителя по строке (столбцу) определитель новой матрицы, разлагая его по $i$-й строке. Получим $$\Delta=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i j}+a_{k j}\right) A_{i j}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} A_{i j}+\sum_{j=1}^{n} a_{k j} A_{i j}=$$ $$=\Delta+\sum a_{k j} A_{i j} \Rightarrow \sum_{j=1}^{n} a_{k j} A_{i j}=0 $$

Примеры

  1. Вычислим определитель матрицы $$A=\left(\begin{array}{ll}3 & 5 & 7 & 2\\7 & 6 & 3 & 7\\5 & 4 & 3 & 5\\-5 & -6 & -5 & -4\end{array}\right)$$
  2. 

    Нахождение определителя матрицы $А$

    В этой матрице нет строк (столбцов) содержащих ноль, а значит, выберем любую строку (столбец), например, 3-ю строку. $$\operatorname{det}A = \left|\begin{array}{cccc}3 & 5 & 7 & 2 \\7 & 6 & 3 & 7 \\5 & 4 & 3 & 5\\-5 & -6 & -5 & -4\end{array}\right|= 5 \cdot\left|\begin{array}{ccc}5 & 7 & 2 \\6 & 3 & 7 \\-6 & -5 & -4\end{array}\right| \cdot(-1)^{3+1}+$$ $$+4 \cdot\left|\begin{array}{ccc}3 & 7 & 2 \\7 & 3 & 7\\-5 & -5 & -4\end{array}\right| \cdot(-1)^{3+2}+ 3\cdot\left|\begin{array}{ccc}3 & 5 & 2 \\7 & 6 & 7 \\-5 & -6 &-4\end{array}\right| \cdot(-1)^{3+3}+$$ $$+5\cdot\left|\begin{array}{ccc}3 & 5 & 7 \\7 & 6 & 3\\-5 & -6 & -5\end{array}\right| \cdot(-1)^{3+4}$$

    Применяя правило Саррюса найдем миноры 3-го порядка. Получим, что

    $$\operatorname{det}A = 5\cdot(-35) -4\cdot(-20)+3\cdot(-5)-5\cdot(-20) =$$ $$=-175+80-15+100 = -10 \Rightarrow \operatorname{det}A = -10 $$

    [свернуть]

  3. Вычислим определитель матрицы $$B=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 5 & 4\\-1 & -4 & 0 & 2\\-1 & 0 & 2 & 2\end{array}\right)$$
  4. Нахождение определителя матрицы $B$

    $$\operatorname{det}B = \left|\begin{array}{cccc}3 & 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 5 & 4 \\-1 & -4 & 0 & 2\\-1 & 0 & 2 & 2\end{array}\right|= 3 \cdot\left|\begin{array}{ccc}1 & 5 & 4 \\-4 & 0 & 2 \\0 & 2 & 2\end{array}\right| \cdot(-1)^{1+1}+$$ $$+\left|\begin{array}{ccc}0 & 5 & 4 \\-1 & 0 & 2\\-1 & 2 & 2\end{array}\right| \cdot(-1)^{1+2}+ \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 4\\-1 & -4 & 2\\-1 & 0 &2\end{array}\right| \cdot(-1)^{1+3}$$ $$\operatorname{det}B = 3\cdot4-(-8)-16 = 4\Rightarrow \operatorname{det}B = 4 $$

    [свернуть]
  5. Вычислим определитель матрицы $$C=\left(\begin{array}{cccc}3 & -1 & 7 & 2 \\4 & 0 & 2 & 2 \\9 & 3 & 4 & -5 \\5 & 4 & -2 & 6\end{array}\right)$$
Нахождение определителя матрицы $C$

$$ \begin{array}{l}\operatorname{det}C = \left|\begin{array}{cccc}3 & -1 & 7 & 2 \\4 & 0 & 2 & 1 \\9 & 3 & 4 & -5 \\5 & 4 & -2 & 6\end{array}\right|=4 \cdot\left|\begin{array}{ccc}-1 & 7 & 2 \\3 & 4 & -5 \\4 & -2 & 6\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+1} + \\ + 2 \cdot\left|\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 2 \\9 & 3 & -5 \\5 & 4 & 6\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+3}+\left|\begin{array}{ccc}3 & -1 & 7 \\9 & 3 & 4 \\5 & 4 & -2 \end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4} \\ \operatorname{det}C = 1296-470+43=869 \Rightarrow \operatorname{det}C = 869 \end{array} $$

[свернуть]

Литература

  1. Конспект лекций по линейной алгебре. Белозёров Г.С. Глава IV. Матрицы и определители.
  2. Конспект лекций по линейной алгебре. Марков В.Т МГУ 2013 год (стр. 29)
  3. Конспект лекций по линейной алгебре. Факультет математики НИУ ВШЭ
  4. В.Воеводин Линейная алгебра М.: Наука, 1980, глава 7, §62, «Матрицы и определители» — стр 201
  5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, издание 9, глава 1, §4, «Определители n-го порядка»

Тест на знание теоремы о «чужих дополнениях»

Тест на теорму о «чужих дополнениях»