Бином Ньютона — формула, представляющая выражение $latex (a+b)^{n}$ при $latex n>0$ в виде:
$latex (a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}a^{n-2}b^{2}+ $
$latex C_{n}^{3}a^{n-3}b^{3}+\cdots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+b^{n}$,
где $latex C_{a}^{b}$ — число сочетаний из $latex a$ элементов по $latex b$ элементов.
$latex C_{n}^{k}=\frac {n!}{k!(n-k)!}$.
Докажем верность данного утверждения:
$latex \square$ Доказательство методом математической индукции.
$latex 1)$ Для $latex n= 1 $ :
$latex a+b=C_{1}^{0}a^{1-0}b^{0}+C_{1}^{1}a^{1-1}b^{1}= $
$latex a*1+b*1=a+b.$
Для $latex n=1$ утверждение выполняется.
$latex 2)$ Предположим, что утверждение выполняется для $latex n=k$.
$latex (a+b)^{k}=C_{k}^{0}a^{k-0}b^{0}+C_{k}^{1}a^{k-1}b^{1}+ $
$latex C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+C_{k}^{k}a^{0}b^{k}=$
$latex a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+C_{k}^{2}a^{k-2}b^{2}+\cdots+$
$latex C_{k}^{k-1}a^{1}b^{k-1}+b^{k}=\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}.$
$latex 3)$ Докажем верность формулы для $latex n=k+1$.
Докажем, что $latex (a+b)^{k+1}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$.
$latex (a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}= $
$latex (a+b)\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i}= $
$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}$
Вынесем слагаемое при $latex i=0$ из первой суммы:
$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i} = a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$
Вынесем слагаемое при $latex i=k$ из последней суммы:
$latex \sum\limits_{i=0}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}= $
$latex b^{k+1} + \sum\limits_{i=0}^{k-1}C_{k}^{i}a^{k-i}b^{i+1}= $
$latex b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$
Прибавим данные суммы:
$latex=a^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+ $
$latex b^{k+1}+\sum\limits_{i=1}^{k}C_{k-1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$
$latex =a^{k+1}+b^{k+1}+ $
$latex \sum\limits_{i=1}^{k}(C_{k}^{i}+C_{k}^{i-1})a^{k-i+1}b^{i}=$
$latex =\sum\limits_{i=0}^{0}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$
$latex \sum\limits_{i=k+1}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}+$
$latex \sum\limits_{i=1}^{k}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}=$
$latex =\sum\limits_{i=0}^{k+1}C_{k+1}^{i}a^{k-i+1}b^{i}$ $latex \blacksquare$
Также с помощью бинома Ньютона строится треугольник Паскаля, в котором числа в строке обозначают коэффициенты при соответствующих степенях:
Примеры:
$latex 1)$ $latex (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+\frac{3!}{1!*2!}ab^{2}+b{3}= $
$latex a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.$
$latex 2)$ $latex (a+b+c)^{4}=?$
$latex (a+b+c)^{4}=(a+(b+c))^{4}= $
$latex a^{4}+a^{3}(b+c)\frac{4!}{3!}+a^{2}(b+c)^{2}\frac{4!}{2!2}+ $
$latex a(b+c)^{3}\frac{4!}{3!}+(b+c)^{4}= $
$latex a^{4}+a^{3}b\frac{4!}{3!}+a^{3}c\frac{4!}{3!}+a^{2}b^{2}\frac{4!}{2!2!}+2a^{2}bc\frac{4!}{2!}+ $
$latex a^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+ab^{3}\frac{4!}{3!}+3ab^{2}c\frac{4!}{1*2*3}+$
$latex +3abc^{2}\frac{4!}{1*2*3}+ac^{3}\frac{4!}{3!}+ $
$latex b^{4}+b^{3}c\frac{4!}{3!}+b^{2}c^{2}\frac{4!}{2!2!}+bc^{3}\frac{4!}{3!}+c^{4}=$
$latex =a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}b+a^{3}c+b^{3}c)+ $
$latex 6(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})+4(b^{3}a+c^{3}a+ c^{3}b)+ $
$latex 12(a^{2}bc+b^{2}ac+c^{2}ab).$
Список литературы:
- Лысенко З.М. Конспект лекций по курсу математического анализа.
- В.И.Коляда, А.А.Кореновский «Курс лекций по мат.анализу, часть 1» (Одесса «Астропринт» , 2009г.), стр.5.
Тест "Бином Ньютона"
Тестовые вопросы по вышеизложенной теме.
Таблица лучших: Тест "Бином Ньютона"
Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
---|---|---|---|---|
Таблица загружается |