Рассмотрим последовательность $latex x_n$$latex = (1+\frac{1}{n})^n$, $latex n \in \mathbb{N}$.
Покажем, что последовательность ограничена и возрастает.
Сначала докажем монотонность. Воспользуемся биномом Ньютона:
$latex (a+b)^n$= $latex a^{n}+\frac{n}{1}\cdot a^{n-1}\cdot b+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot a^{n-2}\cdot b^{2}+ \cdots + $
$latex +\frac{n (n-1) (n-2)\cdots (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}\cdot b^{n}$.
Полагая, что $latex a= 1, b= \frac{1}{n}$, получим:
$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= 1+\frac{n}{1}\cdot \frac{1}{n}+\frac{n (n-1)}{1\cdot 2}\cdot \frac{1}{n^{2}}+$
$latex +\frac{n (n-1) (n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}\cdot \frac{1}{n^{3}}+ … + \frac{n (n-1) (n-2)… (n- (n-1))}{1\cdot 2\cdot 3\cdot …\cdot n}\cdot \frac{1}{n^{n}}= $
$latex = 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+\cdots + $
$latex +\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots \cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}).$
$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= 1+1+\frac{1}{1\cdot 2} (1-\frac{1}{n})+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})+ \cdots + $
$latex + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots\cdot n} (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{n-1}{n}). (*)$
Из равенства $latex (*)$ следует, что с увеличением $latex n $ число положительных слагаемых в правой части увеличивается.
Кроме того, при увеличении $latex n$ число $latex \frac{1}{n}$ — убывает,
поэтому величины $latex (1-\frac{1}{n})$, $latex (1-\frac{1}{n})$, $latex \cdots$ возрастают.
Поэтому последовательность {$latex x_n$} = $latex \{ (1+\frac{1}{n})^{n}\}$ — возрастающая, при этом $latex (1+\frac{1}{n})^{n}>2. (**)$
Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства $latex (*)$ на единицу. Правая часть увеличится, получим неравенство:
$latex (1+\frac{1}{n})^{n}<1+1+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+ \cdots +\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n}.$
Усилим полученное неравенство, заменив числа $latex 3, 4, 5, \cdots, n $, стоящие в знаменателях дробей, числом $latex 2$:
$latex (1+\frac{1}{n})^{n} = 1+ (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}).$
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
$latex 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+ \cdots +\frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1\cdot (1- (\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}}= 2 (1-\frac{1}{2^n})<2.$
Поэтому: $latex (1+\frac{1}{n})^{n}<1+2= 3. (***)$
Итак, последовательность ограничена, при этом для $latex n \in \mathbb{N}$ выполняются неравенства $latex (**)$ и $latex (***)$:
$latex 2 < (1+\frac{1}{n})^{n}<3.$
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность имеет предел, обозначаемый обычно буквой $latex e$ :
$latex \lim\limits_{x\overset{}{\rightarrow \infty }}$$latex (1+\frac{1}{n})^{n}= e.$
Определение:
Числом $latex e$ называется предел последовательности $latex x_{n}= (1+\frac{1}{n})^{n}, n \in \mathbb{N},$ т. е. $latex e= \lim\limits_{n \to \infty } (1+\frac{1}{n})^{n}.$
Это число иррациональное и приближенно равно $latex e = 2.718281828\cdots$. Логарифмы с основанием $latex e$ называются натуральными и обозначаются $latex \log_{e}x= \ln x.$ Данный предел называют вторым замечательным пределом. Многие примеры сводятся с помощью простых замен ко второму замечательному пределу. Рассмотрим пример решения на второй замечательный предел.
Пример.
Найти предел $latex \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}.$
Решение.
Преобразуем предел:
$latex \lim\limits_{x \to \infty} (1+\frac{2}{x})^{x}= \lim\limits_{x \to \infty}$ $latex (1+\frac{1}{\frac{x}{2}})^{\frac{x}{2}\cdot 2}= e^{2}.$
Литература
- Портал знаний (Введение в анализ->Последовательности)
- Вартанян Г.М. Конспект лекций по математическому анализу, стр.17 (часть 1)
- В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. Стр. 74-76: М.Наука. — 1982, 616 стр.
Число е
Число е