Условие:
Решение:
Пусть наш прямоугольник — [latex]ABCD[/latex]. Докажем, что вершина треугольника разбиения не может лежать внутри прямоугольника. Действительно, допустим противное, пусть хотя бы одна вершина внутри прямоугольника существует. Значит, существуют и стороны треугольников разбиения, которые обладают таким свойством: хотя бы один конец этой стороны лежит внутри прямоугольника. Рассмотрим множество [latex]M[/latex] сторон, обладающих этим свойством. По условию задачи, эта сторона для одного из примыкающих к ней треугольников разбиения служит гипотенузой. Тогда катет этого треугольника, выходящий из этой же точки, а следовательно, тоже принадлежащий множеству [latex]M[/latex], будет короче гипотенузы, т.е. короче кратчайшего отрезка множества [latex]M[/latex]. Противоречие. Итак, все вершины треугольников разбиения лежат на границе прямоугольника.
Теперь рассмотрим самую длинную из сторон треугольников разбиения: пусть это сторона [latex]m[/latex]. Она принадлежит одной из сторон прямоугольника. Действительно, иначе [latex]m[/latex] служила бы катетом для некоторого треугольника, а его гипотенуза был бы ещё длиннее. Пусть [latex]m[/latex] лежит на стороне [latex]AB[/latex] прямоугольника (см. рисунок).
Рассмотрим треугольник разбиения, гипотенузой которого служит [latex]m[/latex]. Вершина его прямого угла может лежать только на стороне [latex]CD[/latex]. Высота этого треугольника равна стороне [latex]BC[/latex]. Но высота [latex]h[/latex] прямоугольного треугольника не превышает половины гипотенузы, следовательно, [latex]mgeq 2h[/latex], откуда [latex]ABgeq 2BC[/latex], что и требуется.