Критерий Сильвестра

Формулировка

Квадратичная форма Q\left(x \right) в \mathbb{R}^{n} положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы B, имеющие вид
$$\Delta_{m}=\begin{vmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&…&b_{1,m}\\b_{2,1}&b_{2,2}&…&b_{2,m}\\…&…&…&…\\b_{m,1}&b_{m,2}&…&b_{m,m}\end{vmatrix},m=1,…,n\left(b_{ij}=b_{ji}, \forall i,j\right)$$
— положительны.

Доказательство

Достаточность

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции и вспомогательной леммой.

Лемма

Квадратичная форма тогда и только тогда является положительно определённой, когда она приводится к диагональному виду \sum_{i=1}^{n}{a_{i}x_{i}^{2}}, a_{i}>0, i=1,...,n , а значит, и к каноническому виду Q\left(y \right)=\sum_{i=1}^{n}{y_{i}^{2}}, где y_{i}=\sqrt{a_{i}}x_{i}, i=1,...,n.

База индукции

Для n=1 достаточность очевидна.

Предположение индукции

Положим, что для n>1 из положительности угловых миноров матрицы квадратичной формы n-1 порядка включительно следует возможность приведения квадратичной формы от n-1 переменных x_{1}, x_{2},...,x_{n-1} к виду Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}.

Шаг индукции

Покажем, что достаточность имеет место и для квадратичной формы, зависящей от n переменных.

В выражении для квадратичной формы, зависящей от n переменных x_{1}, x_{2},...,x_{n-1}, x_{n}, выделим слагаемые, содержащие x_{n}:

Q\left(x \right)=\sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}+2\sum_{j=1}^{n-1}{b_{jn}x_{j}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}.

Сумма \sum_{j=1}^{n-1}{\sum_{i=1}^{n-1}{b_{ji}x_{j}x_{i}}}=Q^{*}\left(x_{1}, x_{2},...,x_{n-1} \right) в правой части этого равенства является квадратичной формой Q^{*}\left(x \right), зависящей от n-1 переменной, причём её угловые миноры совпадают с угловыми минорами Q\left(x \right) её матрицы до порядка n-1 включительно, которые положительны по условию.

Следовательно, по предположению индукции, квадратичная форма Q^{*}\left(x \right) положительно определённа и для неё существует невырожденная замена переменных

x_{i}=\sum_{i=1}^{n-1}{\gamma _{ji}y_{i}}, j=1,...,n-1,

приводящая её к каноническому виду: Q^{*}\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}.
Запишем квадратичную форму Q\left(x \right) в новых переменных:

Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n-1}{y_{i}^{2}}+2\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'}y_{i}x_{_{n}}}+b_{nn}x_{n}^{2}

и выделим полные квадраты по y_{1}, ... y_{n-1}:

Q(x)=\sum_{i=1}^{n-1}{(y_{i}^{2}+2b_{in}^{'}y_{i}x_{n}+b_{in}^{'2}x_{n}^{2})}+(b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'2}})x_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n-1}{z_{i}^{2}}+b_{nn}^{''}x_{n}^{2},

где b_{nn}^{''}=b_{nn}-\sum_{i=1}^{n-1}{b_{in}^{'2}}, z_{i}=y_{i}+b_{in}^{'}x_{n}, i=1,...,n-1.

В матричном виде эту замену переменных можно описать как

\begin{pmatrix}z_{1}\\ z_{2}\\ ...\\ z_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0  &...  &0  &b'_{1,n} \\  0& 1 & ... & 0 & b'_{2,n}\\  ...&  ...& ... &...  &... \\ 0 & 0 & ... &  1& b'_{n-1,n}\\  0& 0 & ... & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ ...\\ y_{n-1}\\ x_{n}\end{pmatrix},

и поскольку её определитель отличен от нуля, то эта замена невырожденная.

Наконец, определитель матрицы квадратичной формы сохраняет знак при замене базиса. Определитель матрицы B квадратичной формы в исходном базисе положительный, поскольку этот определитель является угловым минором порядка n. Но из выражения для Q \left(x \right) в конечно базисе мы получаем, что определитель квадратичной формы Q \left(x \right) равен b''_{nn}. Поэтому b''_{nn}>0 и можно ввести переменную z_{n}=\sqrt{b''_{nn}}x_{n}, в результате чего получаем канонический вид квадратичной формы Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}.

Отсюда следует, что квадратичная форма Q\left(x \right) положительно определена.

Достаточность доказана.

Необходимость

Дано, что квадратичная функция положительно определена, нужно доказать положительность угловых миноров её матрицы. Снова применим метод математической индукции по числу переменных n.

База индукции

Для n=1 достаточность очевидна.

Предположение индукции

Пусть для n>1 и для форм от меньшего числа переменных утверждение теоремы верно.

Шаг индукции

Поскольку квадратичная форма Q^{*}\left(x \right) из доказательства достаточности также является положительно определённой, то по предположению индукции следует, что её угловые миноры, совпадающие с угловыми минорами матрицы B до порядка n>1, положительны. А определитель самой матрицы B, который является угловым минором порядка n,положителен, поскольку Q\left(x \right) приводится к каноническому виду Q\left(x \right)=\sum_{i=1}^{n}{z_{i}^{2}}, и определитель матрицы полученной при этом квадратичной формы равен 1 и имеет такой же знак, как и определитель матрицы B.

Необходимость доказана.

Теорема доказана.

Следствие

Для того, чтобы квадратичная форма Q\left(x \right) в \mathbb{R}^{n} была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры её матрицы B имели чередующиеся знаки, начиная с минуса.

Примеры

При решении воспользоваться критерием Сильвестра.

Пример 1

Определить вид квадратичной формы Q\left(x_{1},x_{2} \right)=x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}.

Пример 2

Определить вид квадратичной формы Q\left(x_{1},x_{2},x_{3} \right)=-4x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}-x_{3}^{2}

[spoilergroup]

Пример 1

Построим матрицу квадратичной формы:

\begin{pmatrix}1 &-0,5\\ -0,5&2 \end{pmatrix}

Посчитаем определители угловых миноров.

\Delta _{1}=1, \Delta _{2}=1,75

Квадратичная форма положительно определённая по критерию Сильвестра.

[свернуть]

Пример 2

Построим матрицу квадратичной формы:

\begin{pmatrix}-4 &0  &0\\  0&  -2&0 \\ 0 &  0&-1 \end{pmatrix}

Посчитаем определители угловых миноров.

\Delta _{1}=-4, \Delta _{2}=8, \Delta _{3}=-8

Квадратичная форма отрицательно определённая по следствию из критерия Сильвестра.

[свернуть]

[/spoilergroup]

Литература

Тест на умение применить критерий Сильвестра

Тест на умение применить критерий Сильвестра для определения вида квадратичных форм.