Евклидовой нормой или длиной числа $latex x $ называется число:
[latex] \left \| x \right \|= \sqrt{x\cdot x} = \sqrt{(x_1)^2+…+(x_n)^2} [/latex]
Свойства нормы:
- [latex] \left \| x \right \| \geq 0 [/latex] и $latex \left \| x \right \|=0 $ тогда , когда $latex x=0 $
- [latex] \left \| x+y \right \|\leq \left \| x \right \|+\left \| y \right \|[/latex]
- [latex] \left \| x y \right \|\leq \left \| x \right \| \left \| y \right \|[/latex]
- [latex] \left \| a x \right \|= \left | a \right | \left \| x \right \|[/latex]
- [latex] \left \| x-z \right \|\leq \left \| x-y \right \|+\left \| y-z \right \|[/latex]
В евклидовом пространстве $latex C[a,b] $ всех непрерывных на сегменте $latex a \leq t \leq b $ функций $latex x=x(t) $ со скалярным произведением $latex \int\limits_{a}^{b} x(t)y(t)dt $ норма элемента $latex x=x(t) $ равна $latex \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} $ , а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют вид:
- $latex \left [ \int\limits_{a}^{b}x(t)y(t)dt \right ]^{2} \leq \int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt $ (неравенство Коши-Буняковского)
- $latex \sqrt{\int\limits_{a}^{b}\left [ x(t)+y(t) \right ]^{2}dt} \leq \sqrt{\int\limits_{a}^{b}x^{2}(t)dt} + \sqrt{\int\limits_{a}^{b}y^{2}(t)dt} $ (неравенство треугольника)
Литература:
- У.Рудин «Основы математического анализа» 2-е изд. стр. 29-31, 39-41.