Остатки формулы Тейлора



Остаток формулы Тейлора (стандартное обозначение- r_{n} (x_{0},x) ) можно определить, как:
  1. Погрешность, которая возникает при замене функции y=f(x) многочленом P_{n}(x_{0},x) . Если выполнены условия теоремы о представлении формулы f в виде многочлена Тейлора, то для значений x из окрестности точки x_{0}, для которых погрешность r_{n}(x_{0},x) достаточно мала, многочлен P_{n}(x_{0},x) дает приближенное представление функции.
  2. (На рисунке) Разница значений функции f(x) и выражающим её многочленом Тейлора в точке x_{0} :f(x)-P_{n}(x_{0},x)=r_{n}(x_{0},x) (уклонение полинома P_{n} от функции f(x) ).

r(x0,x)

Существует 3 основных представления остаточного члена:

  1. В форме Лагранжа: $$ \large r_{n} (x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(x+\theta(x-x_{0}))}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} , \ $$0< \theta < 1 .$$\ $$
  2. В форме Коши: $$\large r_{n} (x_{0},x) =\frac{f^{(n+1)}(x_{0}+\theta_{1}(x-x_{0}))}{n!}(1-\theta_{1}(x-x_{0}))^{n}(x-x_{0})^{n+1} , \ $$0< \theta_{1} < 1 .$$\ $$
  3. В форме Пеано: $$ \large r_{n} (x_{0},x) =o((x-a)^{n}) , \ $$ при x\rightarrow a .

Примеры:

  1. Написать разложение функции e^{\sin (x)} до x^{3} с остатком в форме Пеано.
    Спойлер

    $$ e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+\frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+\frac{1}{6}\sin ^{3}(x)+o(\sin ^{3}(x)) $$ Ввиду эквивалентности бесконечно малых x и \sin (x) это все равно, что o(x^{3}) , то есть:
    e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+ \frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+ \frac{1}{6} \sin ^{3}(x)+o(x^{3}) \sin(x)= x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{4}) \Rightarrow e^{sin(x)}=1+(x-\frac{1}{6} x^{3} )+ \frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})
    Член с x^{3} аннулируется и, окончательно, имеем: $$ e^{ \sin (x)}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{3}) $$ $$\ $$

  2. [свернуть]