Формула Тейлора с остатком в форме Пеано

Формулировка:

Если существует $latex f^{(n)}(x_{0}) $, то $latex f(x) $ представима в следующем виде:

$latex f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(x-x_{0})^{k}+o((x-x_{0})^{n})_{x\to x_{0}} &s=2$

Это выражение $latex f(x) $ называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (или локальной формулой Тейлора)

Доказательство:

Для начала докажем Лемму

Пусть функции $latex \varphi(x),\psi(x) $ определены в  $latex \delta $  окрестности точки $latex x_{0} $ и удовлетворяют следующим условиям:

  1. $latex \forall x \in U_{\delta} \exists \varphi^{(n+1)}(x),\psi^{(n+1)}(x); $
  2. $latex \varphi(x_{0})=\varphi'(x_{0})=…=\varphi^{(n)}(x_{0})=0 $, $latex \psi(x_{0})=\psi'(x_{0})=…=\psi^{(n)}(x_{0})=0 $
  3. $latex \psi(x)\neq0,\psi^{k}(x)\neq 0 \forall x\in U_{\delta}(x_{0}),k=\overline{1,n+1} $

Тогда $latex \forall x\in U_{\delta}(x_{0}) $ существует точка $latex \xi $, принадлежащая интервалу с концами $latex x_{0} $ и $latex x $ такая, что $latex \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)} &s=2$

Доказательство 

Пусть, например, $latex x \in (x_{0},x_{0}+\delta) $. Тогда применяя к функциям $latex \varphi $ и $latex \psi $ на отрезке $latex [x_{0},x] $ теорему Коши и учитывая, что $latex \varphi(x)=\psi(x)=0 $ по условию, получаем

$latex \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi(x)-\varphi(x_{0})}{\psi(x)-\psi(x_{0})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}&s=2$, $latex x_{0}<\xi_{1}<x $

Аналогично, применяя к функциям $latex \varphi’ $ и $latex \psi’ $ на отрезке $latex [x_{0},\xi_{1}] $ теорему Коши, находим

$latex \frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi'(\xi_{1})-\varphi'(x_{0})}{\psi'(\xi_{1})-\psi'(x_{0})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})}&s=2$, $latex x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1} $

Из этих двух равенств следует, что

$latex \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=\frac{\varphi»(\xi_{2})}{\psi»(\xi_{2})}&s=2$, $latex x_{0}<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta $

Применяя теорему Коши последовательно к функциям $latex \varphi» $ и $latex \psi» $,$latex \varphi^{(3)} $ и $latex \psi^{(3)} $,…,$latex \varphi^{(n)} $ и $latex \psi^{(n)} &s=1$ на соответствующих отрезках получаем

$latex \frac{\varphi(x)}{\psi(x)}=\frac{\varphi'(\xi_{1})}{\psi'(\xi_{1})}=…=\frac{\varphi^{n}(\xi_{n})}{\psi^{n}(\xi_{n})}=\frac{\varphi^{n+1}(\xi)}{\psi^{n+1}(\xi)} &s=2$

где $latex x_{0}<\xi<\xi_{n}<…<\xi_{2}<\xi_{1}<x<x_{0}+\delta $

Равенство доказано для случая, когда $latex x \in(x_{0},x_0+\delta) $, аналогично рассматривается случай, когда $latex x \in(x_0-\delta,x_{0}) $.

Теперь, когда лемма доказана, приступим к доказательству самой теоремы:

Из существования $latex f^{(n)}(x_{0}) $ следует, что функция $latex f(x_{0}) $ определена и имеет производные до $latex (n-1) $ порядка включительно в $latex \delta $ окрестности точки  $latex x_{0} $

Обозначим $latex \varphi(x)=r_{n}(x),\psi(x)=(x-x_{0})^{n} $, где  $latex r_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x) $.

Функции $latex \varphi(x) $ и $latex \psi(x) $ удовлетворяют условиям леммы, если заменить номер $latex n+1 $ на $latex n-1 $

Используя ранее доказанную лемму и учитывая, что $latex r_{n}^{(n-1)}(x_{0})=0 $ получаем

$latex \frac{r_{n}(x)}{(x-x_{0})^{n}}=\frac{r_{n}^{n-1}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0})}{n!(\xi-x_{0})} &s=2$, $latex \xi=\xi(x)(*) $

где $latex x_{0}<\xi<x<x_{0}<x_{0}+\delta $ или $latex x_{0}-\delta<x<\xi<x_{0} $.

Пусть $latex x\to x_{0} $, тогда из неравенств следует, что $latex \xi \to x_{0} $, и в силу существования $latex f^{(n)}(x_{0}) $ существует

$latex \lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(x)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{x-x_0}= &s=2$

$latex =\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{r_{n}^{(n-1)}(\xi)-r_{n}^{(n-1)}(x_{0)}}{\xi-x_{0}}=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0 &s=2$

Так как выполняются равенства $latex r_{n}(x_{0})=r_{n}'(x_{0})=…=r_{n}^{(n)}(x_{0})=0 $

Таким образом, правая часть формулы $latex (*) $ имеет при $latex x\to x_{0} $ предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, так же равный нулю. Это означает, что $latex r_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}),x\to x_{0} $, то есть $latex f(x)-P_{n}(x)=o((x-x_{0})^{n}) $, что и требовалось доказать.

Пример:

Разложить функцию $latex y=\cos^{2}(x) $ в окрестности точки $latex x_{0}=0 $  по Тейлору с остатком в форме Пеано.

Решение

Табличное разложение косинуса имеет следующий вид:

$latex \cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-…+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1}) &s=1$

Представим функцию $latex \cos^{2}(x) $ в виде:

$latex \cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x) &s=1$

Заменим в табличном разложении $latex x $ на $latex 2x $ и подставим представление косинуса.Получим

$latex \cos^{2}(x)=1-x^2+\frac{x^{4}}{3}-…+(-1)^{n} \frac{2^{2n-1}x^{2n}}{2n!}+o(x^{2n+1}) &s=1$

Источники:

  1. Конспект по курсу математического анализа Лысенко З.М.
  2. Тер-Крикоровв А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа -М.:ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001.-672 с. гл. IV §18 с. 161.

Тест на знание формулы Тейлора(ост.Пеано)

Проверьте себя на знание доказательства и применения формулы Тейлора с остатком в форме Пеано.

Остатки формулы Тейлора



Остаток формулы Тейлора (стандартное обозначение- $latex r_{n} (x_{0},x) $) можно определить, как:
  1. Погрешность, которая возникает при замене функции $latex y=f(x) $ многочленом $latex P_{n}(x_{0},x) .$ Если выполнены условия теоремы о представлении формулы $latex f$ в виде многочлена Тейлора, то для значений $latex x$ из окрестности точки $latex x_{0},$ для которых погрешность $latex r_{n}(x_{0},x) $ достаточно мала, многочлен $latex P_{n}(x_{0},x) $ дает приближенное представление функции.
  2. (На рисунке) Разница значений функции $latex f(x) $ и выражающим её многочленом Тейлора в точке $latex x_{0} :$$latex f(x)-P_{n}(x_{0},x)=r_{n}(x_{0},x) $ (уклонение полинома $latex P_{n} $ от функции $latex f(x) $).

r(x0,x)

Существует 3 основных представления остаточного члена:

  1. В форме Лагранжа: $$ \large r_{n} (x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(x+\theta(x-x_{0}))}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1} , \ $$$latex 0< \theta < 1 .$$$\ $$
  2. В форме Коши: $$\large r_{n} (x_{0},x) =\frac{f^{(n+1)}(x_{0}+\theta_{1}(x-x_{0}))}{n!}(1-\theta_{1}(x-x_{0}))^{n}(x-x_{0})^{n+1} , \ $$$latex 0< \theta_{1} < 1 .$$$\ $$
  3. В форме Пеано: $$ \large r_{n} (x_{0},x) =o((x-a)^{n}) , \ $$ при $latex x\rightarrow a .$

Примеры:

  1. Написать разложение функции $latex e^{\sin (x)} $ до $latex x^{3} $ с остатком в форме Пеано.
    Спойлер

    $$ e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+\frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+\frac{1}{6}\sin ^{3}(x)+o(\sin ^{3}(x)) $$ Ввиду эквивалентности бесконечно малых $latex x $ и $latex \sin (x) $ это все равно, что $latex o(x^{3}) ,$ то есть:
    $latex e^{\sin (x)}=1+\sin (x)+ $$latex \frac{1}{2} \sin ^{2}(x)+ $$latex \frac{1}{6} \sin ^{3}(x)+o(x^{3}) \sin(x)= $$latex x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{4}) \Rightarrow $$latex e^{sin(x)}=1+(x-\frac{1}{6} x^{3} )+ $$latex \frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3}) $
    Член с $latex x^{3} $ аннулируется и, окончательно, имеем: $$ e^{ \sin (x)}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{3}) $$ $$\ $$

  2. [свернуть]