Теорема.
Если $a$ и $b -$ комплексные числа, то можно утверждать, что модуль произведение равен произведению модулей. Т.е. $\left|a\right| \cdot \left|b\right| = \left|a \cdot b\right|.$
Пусть комплексные числа $a$ и $b$ заданы в тригонометрической форме: $a = r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)), b = r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’)).$ Перемножим эти числа: $$a \cdot b = (r(\cos(\phi)+i \sin(\phi))) \cdot (r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))) =$$ $$= rr'(\cos(\phi)\cos(\phi’) + i \cos(\phi)\sin(\phi’) + i \sin(\phi)\cos(\phi’) — \sin(\phi)\sin(\phi’)) =$$ $$= rr'(\cos(\phi + \phi’) + i \sin(\phi + \phi’)).$$ После сокращения мы получили запись произведения $ab$ в тригонометрической форме. Следовательно, $\left| ab \right| = \left| a \right| \cdot \left| b \right|.$
Теорема.
Если $a$ и $b -$ комплексные числа, то можно утверждать, что модуль частного равен частному модулей. Т.е. $\dfrac{\left| a \right|}{\left| b \right|} = \left| \dfrac{a}{b} \right|.$
Пусть комплексные числа $a$ и $b$ заданы в тригонометрической форме: $a = r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)), b = r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’)),$ причём $b$ $\neq$ $0, $ т.е. $r’$ $\neq$ $0.$ Тогда $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{r(\cos(\phi)+i \sin(\phi))}{r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))} =$$ $$= \dfrac{r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)) \cdot r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))}{r'(\cos(\phi’)^{2} + \sin(\phi)^{2})} =$$ $$= \dfrac{r}{r’}\left(\cos(\phi)\cos(\phi’) + i \sin(\phi)\cos(\phi’) — i \cos(\phi)\sin(\phi’) + \right.$$ $$\left. + \sin(\phi)\sin(\phi’) \right) = \dfrac{r}{r’}\left(\cos(\phi — \phi’\right) + i \sin\left(\phi — \phi’) \right).$$ Следовательно, $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{\left| a \right|}{\left| b \right|}.$
Литература
- Личный конспект, основанный на лекциях Г. С. Белозёрова.
- А.Г. Курош Курс высшей алгебры — Москва: Физмалит, 1968. -431с. (с. 118-120).
Равенства для модулей произведения и частного.
Проверим как Вы усвоили материал.
Лемма о степени произведения двух многочленов
Лемма. Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей.
Рассмотрим многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$$ $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}.$$ По определению произведения многочленов, коэффициенты $p\left(x\right)$ равны $$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},\;\left(i = 0, 1, \ldots, n+m-1, n+m\right).$$ Рассмотрим коэффициент многочлена $p\left(x\right)$ при $x^{n+m}:$ $$c_{n+m}=\sum_{\alpha+\beta=n+m}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{n}b_{m}.$$ Очевидно, $a_{n}b_{m}\neq 0,$ иначе хоть один из множителей был бы равен нулю и степени $u\left(x\right)$ и/или $v\left(x\right)$ были бы нарушены. Тогда $c_{n+m}\neq 0$ и $\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=n+m.$
Примеры решения задач
Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.
- Вычислить $\deg\left(p\left(x\right)\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=6x^8-19x^7+40x^6-52x^5+74x^4-60x^3+34x^2+5x+50,$$ $$v\left(x\right)=42.$$
Решение
Очевидно, умножение на число не изменит степени многочлена. Однако, убедимся в этом с помощью леммы, считая $v\left(x\right)$ многочленом нулевой степени. $$\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=8+0=8.$$
- Определить степень произведения $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right),$ если: $$u\left(x\right)=10x^7+26x^6+46x^5+56x^4+114x^3+80x^2+48x+70,$$ $$v\left(x\right)=39x^5+185x^4+193x^3+81x^2+56x+20.$$
Решение
Воспользуемся леммой. Пусть $p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right).$ Тогда: $$\deg\left(p\left(x\right)\right)=\deg\left(u\left(x\right)\right)+\deg\left(v\left(x\right)\right)=7+5=12.$$
Смотрите также
- А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва:Наука, 1968. — 431с. (c. 132)
- Р.Галлагер Теория информации и надежная связь. -М.:»Советское радио», 1974. — 720с. (c. 232-233)
- Белозёров Г.С. Конспект лекций.
Лемма о степени произведения двух многочленов
Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Лемма о степени произведения двух многочленов».
Операции над многочленами
Сложение многочленов
Определение. Пусть даны многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.$$ Будем считать, что $n\geqslant m.$ Тогда их суммой является многочлен $$s\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ каждый коэффициент $c_{i}$ которого получается сложением соответствующих коэффициентов $a_{i}$ и $b_{i},$ $\left(i = 0, 1, \ldots, n-1, n\right).$ Причём, если $n\geqslant i>m,$ то считаем, что $b_{i}=0.$
Замечание. Можно определить и вычитание многочленов, как сложение с противоположным. «Нулём» будет выступать нулевой многочлен $\left(0\right),$ а противоположный данному многочлен получается заменой всех коэффициентов на противоположные: $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$-u\left(x\right)=-a_{n}x^{n}-a_{n-1}x^{n-1}-\ldots-a_{2}x^{2}-a_{1}x-a_{0}.$$
Основные свойства сложения
1. Степень суммы. Степень суммы двух многочленов меньше либо равна наибольшей из степеней слагаемых. (Лемма)
2. Коммутативность: $u\left(x\right)+v\left(x\right)=v\left(x\right)+u\left(x\right).$
Пусть $$u\left(x\right)+v\left(x\right)=s_{1}\left(x\right),\; v\left(x\right)+u\left(x\right)=s_{2}\left(x\right).$$ Рассмотрим коэффициенты $s_{1}\left(x\right)$ и $s_{2}\left(x\right).$ Они равны в силу коммутативности сложения чисел $\left(a_{i}+b_{i}=b_{i}+a_{i}\right),$ а значит, $s_{1}\left(x\right)=s_{2}\left(x\right),$ что доказывает коммутативность сложения многочленов.
3. Ассоциативность: $\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)+w\left(x\right)=u\left(x\right)+\left(v\left(x\right)+w\left(x\right)\right).$
Пусть коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right)$ и $w\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ и $c_{i}$ соответственно. Зададим их суммы: $$\left(u\left(x\right)+v\left(x\right)\right)+w\left(x\right)=f\left(x\right),$$ $$u\left(x\right)+\left(v\left(x\right)+w\left(x\right)\right)=g\left(x\right).$$ Для доказательства ассоциативности, докажем равенство $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right).$ Рассмотрим общие формулы их коэффициентов: $$f_{i}=\left(a_{i}+b_{i}\right)+c_{i},$$ $$g_{i}=a_{i}+\left(b_{i}+c_{i}\right).$$ Аналогично коммутативности, равенство этих двух многочленов следует из ассоциативности операции сложения для чисел, из чего и следует ассоциативность сложения многочленов.
Умножение многочленов
Определение. Пусть даны многочлены $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}.$$ Тогда их произведением является многочлен $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ образующийся в результате простого умножения $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)$ и приведения подобных членов. Таким образом, каждый коэффициент произведения $$\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},\; \left(i = 0, 1, \ldots, n+m-1, n+m\right).$$
Замечание. Для многочленов операция обратная умножению (деление) не определена. Однако, существует алгоритм деления с остатком.
Основные свойства умножения
1. Степень произведения. Степень произведения двух многочленов равна сумме степеней множителей. (Лемма)
2. Коммутативность: $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right).$
Рассмотрим многочлены $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ из определения произведения. Пусть $$f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{n+m}x^{n+m}+c_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},$$ $$g\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right)=d_{n+m}x^{n+m}+d_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}.$$ Тогда, коэффициенты многочлена $f\left(x\right)$ равны $\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},$ а многочлена $g\left(x\right)$ — $\displaystyle d_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}b_{\beta}a_{\alpha}.$ Из очевидного равенства этих сумм вытекает равенство $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right),$ а значит, $u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot u\left(x\right)$ и коммутативность доказана.
3. Ассоциативность: $\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)\cdot w\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \left(v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)\right).$
Пусть коэффициенты $u\left(x\right),$ $v\left(x\right)$ и $w\left(x\right)$ равны $a_{i},$ $b_{i},$ и $c_{i}$ соответственно, а именно: $$u\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$ $$v\left(x\right)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0},$$ $$w\left(x\right)=c_{s}x^{s}+c_{s-1}x^{s-1}+\ldots+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}.$$ Теперь, зададим их произведения в нужном порядке: $$f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=d_{n+m}x^{n+m}+d_{n+m-1}x^{n+m-1}+\ldots+d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0},$$ $$g\left(x\right)=v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)=r_{m+s}x^{m+s}+r_{m+s-1}x^{m+s-1}+\ldots+r_{2}x^{2}+r_{1}x+r_{0},$$ $$h\left(x\right)=\left(u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)\right)\cdot w\left(x\right)=k_{n+m+s}x^{n+m+s}+\ldots+k_{2}x^{2}+k_{1}x+k_{0},$$ $$l\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \left(v\left(x\right)\cdot w\left(x\right)\right)=p_{n+m+s}x^{n+m+s}+\ldots+p_{2}x^{2}+p_{1}x+p_{0}.$$ Для доказательства ассоциативности, докажем равенство многочленов $h\left(x\right)$ и $l\left(x\right).$ Рассмотрим общую формулу коэффициента $h\left(x\right):$ $$\displaystyle k_{i}=\sum_{q+\gamma =i}d_{q}c_{\gamma }=\sum_{q+\gamma =i}\left( \sum_{\alpha +\beta =q}^{}\left(a_{\alpha }b_{\beta }\right)\cdot c_{\gamma }\right) = \sum_{\alpha +\beta +\gamma=i}a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }.$$ Теперь покажем, что общую формулу коэффициента $l\left(x\right)$ можно привести к такому же виду: $$\displaystyle p_{i}=\sum_{\alpha+q=i}a_{\alpha}r_{q}=\sum_{\alpha+q=i}\left( a_{\alpha}\cdot \sum_{\beta+\gamma=q}b_{\beta}c_{\gamma} \right)= \sum_{\alpha +\beta +\gamma=i}a_{\alpha }b_{\beta }c_{\gamma }.$$ Из равенства коэффициентов следует равенство многочленов, что и доказывает ассоциативность.
Примеры решения задач
Читателю предлагается решить эти примеры и сравнить своё решение с приведённым.
-
Сложить многочлены $3x^4+2x^3-4x^2-8x+10$ и $8x^3-4x^2-9x-10.$
Решение
Воспользуемся определением суммы многочленов: $$\left(3x^4+2x^3-4x^2-8x+10\right)+\left(8x^3-4x^2-9x-10\right)=$$ $$=\left(3+0\right)x^4+\left(2+8\right)x^3+\left(-4+\left(-4\right)\right)x^2+\left(-8+\left(-9\right)\right)x+\left(10-10\right)=$$ $$=3x^4+10x^3-8x^2-17x.$$
-
Найти разность $7x^7+10x^6-20x^5+10x^4-13x^3+8x^2+11x+19$ и $5x^7-10x^5+7x^4+x^3+11x^2+20x+11.$
Решение
Сложим первый многочлен с противоположным второму: $$7x^7+10x^6-20x^5+10x^4-13x^3+8x^2+11x+19 +$$ $$+\left(-5x^7+10x^5-7x^4-x^3-11x^2-20x-11\right)=$$ $$=\left(7-5\right)x^7+\left(10+0\right)x^6+\left(-20+10\right)x^5+\left(10-7\right)x^4+$$ $$+\left(-13-1\right)x^3+\left(8-11\right)x^2+\left(11-20\right)x+\left(19-11\right)=$$ $$=2x^7+10x^6-10x^5+3x^4-14x^3-3x^2-9x+8.$$
-
Найти произведение $2x^2+5x-1$ и $4x^2-x+3.$
Решение
Умножим два многочлена и приведём подобные: $$\left(2x^2+5x-1\right)\cdot \left(4x^2-x+3\right)=$$ $$=8x^4-2x^3+6x^2+20x^3-5x^2+15x-4x^2+x-3=$$ $$=8x^4+\left(20-2\right)x^3+\left(6-5-4\right)x^2+\left(15+1\right)x-3=$$ $$=8x^4+18x^3-3x^2+16x-3.$$
-
Найти произведение $-3x^2+7x+9$ и $6x^2+2x+8.$
Решение
На этот раз, воспользуемся общей формулой коэффициента из определения произведения многочленов. Тогда: $$u\left(x\right)=-3x^2+7x+9,\;a_{2}=-3,a_{1}=7,a_{0}=9,$$ $$v\left(x\right)=6x^2+2x+8,\;b_{2}=6,b_{1}=2,b_{0}=8,$$ $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=c_{4}x^4+c_{3}x^3+c_{2}x^2+c_{1}x+c_{0}.$$ По определению, $\displaystyle c_{i}=\sum_{\alpha+\beta=i}^{}a_{\alpha}b_{\beta},$ $\left(i=0,1,2,3,4\right).$ Вычислим их. $$c_{0}=\sum_{\alpha+\beta=0}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{0}=9\cdot 8=72,$$ $$c_{1}=\sum_{\alpha+\beta=1}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=9\cdot 2 + 7\cdot 8=74,$$ $$c_{2}=\sum_{\alpha+\beta=2}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}=9\cdot 6+7\cdot 2+\left(-3\right)\cdot 8=44,$$ $$c_{3}=\sum_{\alpha+\beta=3}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}=7\cdot 6+\left(-3\right)\cdot 2=36,$$ $$c_{4}=\sum_{\alpha+\beta=4}^{}a_{\alpha}b_{\beta}=a_{2}b_{2}=-3\cdot 6=-18.$$ Имеем: $$p\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot v\left(x\right)=-18x^4+36x^3+44x^2+74x+72.$$
Смотрите также
- А.Г. Курош Курс высшей алгебры. — Издание девятое. — Москва: Наука, 1968. — 431с. (c. 130-134)
- К.Д. Фадеев Лекции по алгебре. — Москва: Наука, 1984. — 416с. (c. 54-55)
- А.И. Кострикин Введение в алгебру. Основы алгебры. — Москва: Физматлит, 1994. -320с. (с. 211-212)
- Белозёров Г.С. Конспект лекций.
Операции над многочленами
Этот тест призван проверить Ваши знания по теме «Операции над многочленами».