6.3 Интегрирование рациональных функций.

Рациональной функцией (или дробью) называется функция вида
$$f(x) = \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)},$$
где $P(x)$ и $Q(x)$ – многочлены. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то рациональная дробь называется правильной. Ясно, что каждая рациональная дробь может быть представлена в виде
$$\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} = R(x) + \displaystyle\frac{P_{1}(x)}{Q(x)},$$
где $R(x)$ – многочлен, а дробь $\displaystyle\frac{P_{1}(x)}{Q(x)}$ – правильная. Поскольку интегралы от многочленов вычисляются совсем просто, то мы будем рассматривать методы интегрирования правильных дробей.

Будем различать следующие четыре вида дробей:

  • $\displaystyle\frac{A}{x-a}$, где $A$, $a$ — постоянные.
  • $\displaystyle\frac{A}{(x-a)^k}$, где $A$, $a$ — постоянные, $k = 2,3 \ldots$
  • $\displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q}$, где $M$, $N$, $p$, $q$ – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.
  • $\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k}$, где $M$, $N$, $p$, $q$ – постоянные, квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней.

Покажем как вычисляются интегралы от каждой из этих дробей.

  • $\int \displaystyle\frac{a}{x-a}dx = A\ln\left | x — a \right | + C$.
  • $\int \displaystyle\frac{a}{(x-a)^k}dx = -\frac{A}{k-1}\cdot \displaystyle\frac{1}{(x-a)^{k-1}} + C$.
  • $\int \displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q}dx$. Для вычисления этого интеграла представим подынтегральное выражение в виде
    $$\displaystyle\frac{Mx + N}{x^2 + px + q} = \displaystyle\frac{\frac{M}{2}(2x+p) + N — p\frac{M}{2}}{x^2 + px + q} = \displaystyle\frac{M}{2} \cdot \displaystyle\frac{2x+p}{x^2 + px + q} + \displaystyle\frac{N-p\displaystyle\frac{M}{2}}{x^2 + px + q}.$$
    Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену $t = x^2 + px + q$. Тогда получим
    $$\int \displaystyle\frac{2x + p}{x^2 + px + q} = \ln(x^2 + px + q) + C.$$
    Для вычисления интеграла от второго слагаемого справа выделим полный квадрат в знаменателе, т.е. представим знаменатель в виде $x^2 + px + q = (x+\displaystyle\frac{p}{2})^2 + q — \displaystyle\frac{p^2}{4}$. Поскольку квадратный трехчлен в знаменателе не имеет действительных корней, то его дискриминант $\displaystyle\frac{p^2}{4} — q < 0$. Обозначим $a^2 = q — \displaystyle\frac{p^2}{4}$. Выполняя замену $x + \displaystyle\frac{p}{2} = t$, получим
    $$\int \displaystyle\frac{1}{x^2 + px + q}dx = \int \displaystyle\frac{1}{(x+\displaystyle\frac{p}{2})^2 + a^2}dx = \int \displaystyle\frac{dt}{t^2 + a^2} = \frac{1}{a^2} \int \displaystyle\frac{dt}{\displaystyle\frac{t^2}{a^2} + 1} =\\= \displaystyle\frac{1}{a} \int \displaystyle\frac{d(\displaystyle\frac{t}{a})}{(\displaystyle\frac{t}{a})^2 + 1} = \displaystyle\frac{1}{a} \text{arctg}\: \displaystyle\frac{t}{a} + C .$$
    Возвращаясь теперь к старой переменной, получим исходный интеграл.
  • $\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k}$. Для вычисления этого интеграла, как и в предыдущем случае, представим подынтегральное выражение в виде
    $$\displaystyle\frac{Mx + N}{(x^2 + px + q)^k} = \displaystyle\frac{\frac{M}{2}(2x + p) + N — p\displaystyle\frac{M}{2}}{(x^2 + px + q)^k} =\\=\displaystyle\frac{M}{2} \cdot \displaystyle\frac{2x+p}{(x^2 + px + q)^k} + \displaystyle\frac{N-p\frac{m}{2}}{(x^2 + px + q)^k}.$$
    Для вычисления интеграла от первого слагаемого справа, очевидно, достаточно выполнить замену $t = x^2 + px + q.$ Тогда получим
    $$\int \displaystyle\frac{2x + p}{(x^2 + px + q)^k}dx = \displaystyle\frac{1}{-k+1}(x^2+px+q)^{-k+1} +C.$$
    Для вычисления интеграла от второго слагаемого, как и в предыдущем случае, выделим полный квадрат из квадратного трехчлена в знаменателе. Тогда после замены переменной $t = x+\displaystyle\frac{p}{2}$ он сведется к интегралу вида $\int \displaystyle\frac{dt}{(t^2+a^2)^k}$. Обозначим этот интеграл через $I_{k}$ и выведем рекуррентную формулу для вычисления этого интеграла. Будем применять формулу интегрирования по частям. Имеем
    $$ I_{k} = \int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^k} = \begin{bmatrix}u = \displaystyle\frac{1}{(t^2+a^2)^k}, & dv = dt \\ du = -\displaystyle\frac{2kt}{(t^2+a^2)^{k+1}}, & v = t \end{bmatrix} =\\=\displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2k\int \displaystyle\frac{t^2}{(t^2 + a^2)^{k+1}}dt = \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k}+2k\int\displaystyle\frac{t^2 + a^2 — a^2}{(t^2 + a^2)^{k+1}}dt =\\= \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2k\int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^k} — 2ka^2 \int \displaystyle\frac{dt}{(t^2 + a^2)^{k+1}} =\\= \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} + 2kI_{k} — 2ka^2I_{k+1}.$$
    Отсюда находим
    $$I_{k+1} = \displaystyle\frac{1}{2ka^2}\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{t}{(t^2 + a^2)^k} +(2k-1)I_k \end{bmatrix} (k = 1,2,\ldots).$$
    При этом, как мы уже вычислили ранее,
    $$I_{1} = \int \displaystyle\frac{dt}{t^2 + a^2} = \displaystyle\frac{1}{a} \text{arctg}\:\displaystyle\frac{t}{a} + C.$$
    Итак, и в этом случае мы получили правило вычисления интеграла от дроби четвертого вида.

Из основной теоремы алгебры следует, что каждый многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде произведения конечного числа линейных сомножителей вида $x — a$ и квадратичных сомножителей вида $x^2 + px + q$, где $\displaystyle\frac{p^2}{4} — q < 0$. Именно, справедливо равенство
$$Q(x) = A(x-a_1)^{k_1}\ldots(x-a_r)^{k_r}(x^2+p_1x+q_1)^{m_1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s}, (1)$$
где $k_i$ и $m_i$ – целые неотрицательные числа.
С использованием этого представления можно показать, что справедлива следующая

Теорема. Пусть $\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}$ – правильная дробь, знаменатель которой допускает разложение (1). Тогда эта дробь единственным образом может быть представлена в виде суммы простых дробей, т.е.
$$\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{k_i}\displaystyle\frac{A_{ij}}{(x-a_i)^j} + \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{m_i}\displaystyle\frac{M_{ij}x + N_{ij}}{(x^2 + P_ix+q_i)^j}.$$

Выше уже показано, что интеграл от каждой простой дроби выражается через элементарные функции. Таким образом, справедлива

Теорема. Каждая рациональная дробь имеет первообразную, которая выражается через элементарные функции, а именно, с помощью рациональных функций, логарифмической функции и арктангенса.

Метод Остроградского. Этот метод интегрирования рациональных дробей предназначен для выделения рациональной части из интеграла от рациональной функции. Именно, используя представление (1), интеграл от правильной дроби представляется в виде
$$\int \displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} =\\=\int \displaystyle\frac{P(x)}{A(x-a_1)^{k_1}\ldots(x-a_r)^{k_r}(x^2+p_1x +q_1)^{m_1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s}}dx =\\=\int \displaystyle\frac{R_{k_1 + \ldots + k_r + 2(m_1 + \ldots + m_s) — r — 2s — 1}(x)dx}{A(x-a_1)^{k_1-1}\ldots(x-a_r)^{k_r-1}(x^2+p_1x +q_1)^{m_1-1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)^{m_s-1}} +\\+ \int \displaystyle\frac{S_{r+2r-1}(x)}{A(x-a_1)…(x-a_r)(x^2+p_1x +q_1)^{m_1-1}\ldots(x^2+p_sx+q_s)}dx,$$
где многочлены $R_{k_1+\ldots+k_r+2(m_1 + \ldots + m_s)-r-2s-1}(x)$ и $S_{r+2s-1}(x)$ степени $k_1+\ldots+k_r+2(m_1+\ldots+m_s)-r-2s-1$ и $r+2s-1$ соответственно имеют неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты находятся затем из условия равенства производных левой и правой частей записанного равенства. Таким образом, вычисление интеграла от правильной дроби сводится к вычислению интеграла от другой правильной дроби, у которой в знаменателе все множители в первой степени. Такой интеграл вычисляется, как указано выше, путем разложения подынтегрального выражения
на простые дроби. Тем самым отпадает необходимость в использовании полученной выше рекуррентной формулы для вычисления интегралов от простой дроби четвертого типа.

Примеры решения задач

  1. Найти неопределенный интеграл $I = \int \displaystyle\frac{2x^2 — 3x + 3}{x^3 — 2x^2 + x}dx$.
    Решение

    Разложим знаменатель на множители: $x^3 -2x^2 + x = x(x-1)^2$. Тогда подынтегральная функция представима в виде

    $$\displaystyle\frac{2x^2-3x+3}{x(x-1)^2} = \displaystyle\frac{A}{x} + \displaystyle\frac{B}{x-1} + \displaystyle\frac{C}{(x-1)^2},$$
    где $A$, $B$, $C $ – постоянные коэффициенты. Для их нахождения приведем выражение справа к общему знаменателю и, приравнивая числители полученных дробей, найдем

    $$2x^2-3x+3=A(x-1)^2 + Bx(x-1)+Cx.$$

    Поскольку это тождество имеет место при всех $x$, кроме $x=0,x=1,$ то коэффициенты этих многочленов при одинаковых степенях $x$ равны. Приравнивая их, получаем линейную систему уравнений

    $$\left.\begin{matrix}x^2 : & A+B=2\\ x : & -2A-B+C=-3\\ x^0 : & A=3\end{matrix}\right\}$$

    Решая эту систему, находим $A = 3$, $B = −1$, $C = 2.$ Подставляя эти значения в разложение подынтегральной функции и вычисляя соответствующие интегралы, получаем
    $$I=3\ln\left | x \right | — \ln \left | x-1 \right | — \displaystyle\frac{2}{x-1} + C = \ln \displaystyle\frac{\left | x \right |^3}{\left | x-1 \right |} — \displaystyle\frac{2}{x-1} +C.$$

  2. Найти неопределенный интеграл $I = \int \displaystyle\frac{x dx}{x^3 + 1}dx$.
    Решение

    Как и в предыдущем примере, разложим на множители знаменатель:

    $$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1).$$
    Раскладываем подынтегральное выражение с неопределнными коэффициентами
    $$\displaystyle\frac{x}{x^3 + 1} = \displaystyle\frac{A}{x+1} + \displaystyle\frac{Mx+N}{x^2-x+1},$$
    откуда $x = A(x^2−x+1)+(Mx+N)(x+1)$. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, составляем линейную систему для нахождения чисел $A$, $M$, $N$:
    $$\left.\begin{matrix}x^2 : & 0+A+M,\\ x : & 1=-A+M+N,\\ x^0 : & 0=A+N.\end{matrix}\right\}$$
    Решая эту систему, находим $A = −\displaystyle\frac{1}{3}, M = N =\displaystyle\frac{1}{3}$. Поэтому
    $$I=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{3}\int \displaystyle\frac{x+1}{x^2-x+1}dx=\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\int \displaystyle\frac{2x-1}{x^2-x+1}dx + \displaystyle\frac{1}{2}\int \displaystyle\frac{dx}{x^2-x+1}=\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \displaystyle\frac{1}{2} \int \displaystyle\frac{dx}{(x — \displaystyle\frac{1}{2})^2 + \displaystyle\frac{3}{4}} =\\=-\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left | x+1 \right | + \displaystyle\frac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\text{arctg}\:\displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\displaystyle\frac{1}{2}) + C.$$

  3. Найти неопределенный интеграл $\int \displaystyle\frac{(x^2 — 19x + 6)}{(x-1)(x^2 + 5x + 6)}dx$
    Решение

    Разложим знаменатель на множители: $(x-1)(x^2+5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3).$ Тогда подынтегральная функция представима в виде:
    $$\displaystyle\frac{x^2-19x+6}{(x-1)(x^2+5x+6)} = \displaystyle\frac{A}{x-1} + \displaystyle\frac{B}{x+2} + \displaystyle\frac{C}{x+3}$$
    Для нахождения $A, B$ и $C$ приведем выражение справа к общему знаменателю и, приравнивая числители полученных дробей, найдем
    $$A(x^2 + 5x + 6) + B(x^2 + 2x — 3) + c(x^2 + x — 2) = x^2 -19x+6$$
    Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, составляем систему линейных уравнений для нахождения чисел $A, B, C$
    $$\left.\begin{matrix} x^2 : & 1=A+B+C \\ x : & -19 = 5A+2B+C \\ x^0 : & 6=6A-3B-2C \end{matrix}\right\}$$
    Решаем систему, получаем значения $A = -1; B = -16; C=18$. Возвращаемся к изначальному интегралу и находим окончательное решение
    $$\int (-\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{16}{x+2}+\displaystyle\frac{18}{x+3})dx = -\ln\left | x-1 \right | — 16\ln\left | x+2 \right |+18\ln\left | x+3 \right | + C.$$

  4. Найти неопределенный интеграл $\int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{x^3+8}dx$
    Решение

    По формуле суммы кубов раскладываем знаменатель на множители, используя формулу сокращенного умножения $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
    $$\int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{x^3+8}dx = \int \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{(x+2)(x^2-2x+4)}dx.$$
    Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей
    $$\displaystyle\frac{A}{x+2} +\displaystyle\frac{Bx+C}{x^2-2x+4} = \displaystyle\frac{x^2-6x+8}{(x+2)(x^2-2x+4)}.$$
    Приводим дробь к общему знаменателю
    $$A(x^2 — 2x + 4) + B(x^2 + 2x) + C(x+2) = x^2-6x+8$$
    Составим и решим систему
    $$\left.\begin{matrix}x^2 : & A+B=1\\ x : & -2A+2B+C=-6\\ x^0 : & 4A+2C=8\end{matrix}\right\}$$
    Подставим значения $A = 2$, $B = -1$, $C = 0$ в функцию и найдем интеграл
    $$\int (\displaystyle\frac{2}{x+2} — \displaystyle\frac{x}{x^2-2x+4})dx = 2\int \displaystyle\frac{dx}{x+2} + \int \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}d(x^2-2x+4) — dx}{x^2 -2x +4} =\\= 2\ln \left | x+2 \right | — \displaystyle\frac{1}{2}\int\displaystyle\frac{d(x^2-2x+4)}{x^2-2x+4} — \int\displaystyle\frac{dx}{x^2-2x+1 +3} = \\= 2\ln \left | x+2 \right | — \frac{1}{2}\ln(x^2 — 2x + 4) — \int \frac{d(x-1)}{(x-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \\= 2\ln \left | x+2 \right | — \frac{1}{2}\ln(x^2 — 2x + 4) — \frac{1}{\sqrt{3}}\text{arctg}\:(\frac{x-1}{\sqrt{3}}) + C.$$

Интегрирование рациональных функций

Тест на тему: Интегрирование рациональных функций

Литература:

Смотрите также:

 

Следствия из основной теоремы алгебры. Канонические разложения.



Задача 1

Разложить на линейные (неприводимые) множители полином f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6.

Спойлер
  1. Каноническое разложение многочлена — разложение на неприводимые множители.
  2. Всякий многочлен f(x) с вещественными коэффициентами представим единственным образом в виде произведения своего старшего коэффициента и линейных многочленов вида (x-\alpha ), соответствующих его действительным корням, и квадратных вида (x-\alpha )\cdot (x-\overline{\alpha } )= x^{2} - (\alpha + \overline{\alpha } ) +\alpha \cdot \overline{\alpha }, соответствующих парам сопряжённых комплексных корней (следствие из основной теоремы алгебры для вещественного случая).
  3. Дискриминант для уравнения третей степени выглядит, как: D(f)= -4a_{2}^{3}a_4 + a_{2}^{2}a_{3}^{2} - 4a_1 a_{3}^{3} + 18a_1 a_2 a_3 a_4 - 27a_{1}^{2} a_{4}^{2}.
  4. Если комплексное (но не действительное) число \alpha служит корнем многочлена f(x), с действительными коэффициентами, то корнем для f(x) будет и сопряжённое число \overline{\alpha }.
  5. Любой многочлен выше второй степени (и при том нечётной) с вещественными коэффициентами точно имеет хотя бы один вещественный корень.
  6. Исходя из основной теоремы алгебры, и всего вышесказанного данный многочлен степени 3 точно имеет 3 комплексных корня, однако он имеет вещественные коэффициенты, так что возможны 3 случая:

    • D(f)>0 \Rightarrow полином имеет 3 различных вещественных корня.
    • D(f)=0 \Rightarrow хотя бы 2 корня совпадают.
    • $latex D(f)<0 \Rightarrow $ уравнение имеет один вещественный и пару сопряжённых корней.

[свернуть]

Спойлер

  1. Найти дискриминант и определить какими будут корни (комплексными или вещественными)
  2. Согласно результату подобрать оптимальный способ нахождения корней (например формула Кардано или Виета) и найти их.
  3. Согласно найденным корням разложить на линейные (неприводимые) множители полиномы.
  4. [свернуть]

Спойлер

  1. Найдём дискриминант многочлена f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6.
    D(f)= -4a_{2}^{3}a_4 + a_{2}^{2}a_{3}^{2} - 4a_1 a_{3}^{3} - 27a_{1}^{2} a_{4}^{2} + 18a_1 a_2 a_3 a_4=-4\cdot (-6)^{3}\cdot (-6)+(-6)^2 \cdot 11^{2} - 4\cdot 1\cdot 11^{3} -27\cdot 1^2 \cdot (-6)^{2}+18\cdot (-6) \cdot (-6) \cdot 11=-5184+4356-5324-972+7128=4
  2. Подберём метод решения. D(f)=4>0 \Rightarrow все корни вещественные,следовательно будет удобно использовать формулу Виета (которая также является одним из следствий основной теоремы алгебры).
    Найдём корни. По теореме Виета для кубического полинома имеем, что:

    • x_{1} + x_{2} + x_{3}= -\frac{a_{1}}{a_{2}}
    • x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = \frac {a_{3}}{a_{1}}
    • x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = - \frac{a_{4}}{a_{1}}

    Учитывая значения коэффициентов (а в особенности то, что a_1 = 1) имеем:

    • x_{1} + x_{2} + x_{3}= 6
    • x_1 \cdot x_2 +x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 = 11
    • x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = 6

    Очевидно, что x_1 =1, x_2 = 2, x_3 = 3.

  3. Учитывая найденные корни, разложим данный полином. Все корни данного полинома являются вещественными, а старший многочлен равен 1, следовательно разложение будет вида (x-\alpha _1 )(x-\alpha _2 )(x-\alpha _3 ), где \alpha _i , i= \overline{1,3} — соответствующие корни многочлена. Имеем:
    f(x) = x ^{3}-6\cdot x^{2}+11\cdot x -6=(x-1)(x-2)(x-3). Задача решена.

    [свернуть]

Задача 2

Разложить на неприводимые вещественные множители многочлен f(x)=x^6 +27.

Спойлер

  1. Всякий многочлен f(x) с вещественными коэффициентами представим единственным образом в виде произведения своего старшего коэффициента и линейных многочленов вида (x-\alpha ), соответствующих его действительным корням, и квадратных вида (x-\alpha )\cdot (x-\overline{\alpha } )= x^{2} - (\alpha + \overline{\alpha } ) +\alpha \cdot \overline{\alpha }, соответствующих парам сопряжённых комплексных корней (следствие из основной теоремы алгебры для вещественного случая).
  2. Если комплексное (но не вещественное) число \alpha служит корнем многочлена f(x) с вещественными коэффициентами, то корнем для этого многочлена f(x) также будет и сопряжённое к нему \overline{\alpha }.
    [свернуть]

Спойлер

Учтите, что f(x)=x^{6} +27 \Rightarrow x=\sqrt[6]{-27}, а также, если x \in \mathbb{C} \Rightarrow существует ровно n различных значений для \sqrt[n]{x}, причём полученных по формуле: x=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi),\sqrt[n]{x}=w_{k}, k = \overline{0,n-1},w_k = \sqrt[n]{r}\cdot (\cos \frac{\phi + \pi \cdot k}{n} + i\cdot \sin \frac{\phi + \pi \cdot k}{n})

[свернуть]

Спойлер

Как было написано в указаниях к решению, f(x)=x^{6} +27 \Rightarrow x=\sqrt[6]{-27}, однако следует помнить, что если x \in \mathbb{C} \Rightarrow существует ровно n различных значений для \sqrt[n]{x}, причём полученных по формуле: x=r\cdot (\cos \phi +i\cdot \sin \phi),\sqrt[n]{x}=w_{k}, k = \overline{0,n-1},w_k = \sqrt[n]{r}\cdot (\cos \frac{\phi + \pi \cdot k}{n} + i\cdot \sin \frac{\phi + \pi \cdot k}{n}). Для начала переведём -27 в тригонометрический вид комплексного числа: -27 = -27 +0\cdot i = 27\cdot (\cos (-\pi )+i\cdot \sin (-\pi )). Теперь мы можем воспользоватся формулой, описанной ранее:

  1. w_0 = \sqrt[6]{27}\cdot (\cos -\frac{\pi}{6} + i\cdot \sin -\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}- i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
  2. w_1 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
  3. w_2 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{3\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{3\pi}{6})=i\cdot \sqrt{3}
  4. w_3 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{5\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{5\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
  5. w_4 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{7\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{7\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} }{2}- i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
  6. w_5 = \sqrt{3}\cdot (\cos \frac{9\pi}{6} + i\cdot \sin \frac{9\pi}{6})=-i\cdot \sqrt{3}
  7. Заметим, что w_0 = \overline{w_1}, w_2 = \overline{w_5}, w_3 = \overline{w_5}, как и должно быть, ведь если комплексное (но не вещественное) число служит корнем многочлена с вещественными коэффициентами, то корнем для этого многочлена также будет и сопряжённое к нему.
    Так, как все корни данного многочлена комплексные, то все множители будут вида (x-w_k )\cdot (x-\overline{w_k } )=x^{2} - (w_k + \overline{w_k } )\cdot x  +w_k \cdot \overline{w_k }, k=\overline{0,n-1}. Данный полином шестой степени, следовательно он имеет 6 корней, однако, так, как они комплексные, то для разложения в вещественные множители, сопряжённые значения будут перемножены и в итоге мы получим 3 множителя. Найдём их, учитывая написанное выше (w_0 = \overline{w_1}, w_2 = \overline{w_5}, w_3 = \overline{w_5}):

    1. m_1 = x^2 - (w_0 + w_1)x + w_0 \cdot w_1 = x^2 - (\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})x +(\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=x^2-x+3
    2. m_2 = x^2 - (w_3 + w_4)x + w_3 \cdot w_4 = x^2 - (-\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} + i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})x +(-\frac{3}{2}-i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})\cdot (-\frac{3}{2}+i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=x^2+x+3
    3. m_3 = x^2 - (w_2 + w_5)x + w_2 \cdot w_5 = x^2 - (i\cdot \sqrt{3}-i\cdot \sqrt{3})x +i\cdot \sqrt{3}\cdot (-i\cdot \sqrt{3})=x^2+3
    4. В результате имеем: f(x) = x^6 +27 = (x^2-x+3)(x^2+x+3)(x^2+3)

      [свернуть]

Задача 3

Построить полином по заданной таблице значений, пользуясь формулой Лагранжа:

0 1 2 3
x 1 2 3 4
y 2 1 4 3

Спойлер

Одним из следствий из основной теоремы алгебры является то, что всегда существует многочлен не более, чем n-ной степени, принимающий наперёд заданные значения (y_0,y_1,...y_{n+1}) при n+1 заданных значениях неизвестного (x_0,x_1,\dots x_{n+1}), и по Лагранжу такой многочлен определяется формулой: $$ f(x)=\underset{i=1} {\overset{n+1} {\sum }} \frac{y_i (x-a_1)(x-a_2)\dots (x-a_{i-1})(x-a_{i+1})\dots (x-a_{n+1})}{(a_i -a_1)(a_i -a_2)\dots (a_i -a_{i-1})(a_i -a_{i+1})\dots (a_i -a_{n+1})}$$

[свернуть]

Спойлер

Подставим данные значения в интерполяционную формулу Лагранжа, получим:
\large \frac{2(x-2)(x-3)(x-4)}{(1-2)(1-3)(1-4)}+\large \frac{(x-1)(x-3)(x-4)}{(2-1)(2-3)(2-4)}+\large \frac{4(x-1)(x-2)(x-4)}{(3-1)(3-2)(3-4)}+\large \frac{3(x-1)(x-2)(x-3)}{(4-1)(4-2)(4-3)}=\large -\frac{1}{3}(x-2)(x-3)(x-4)-\large \frac{1}{2}(x-1)(x-3)(x-4)+\large 2(x-1)(x-2)(x-4)+\large \frac{1}{2}(x-1)(x-2)(x-3)=\large -\frac{4}{3}x^3+10x^2-\frac{65}{3}x+15

[свернуть]

Рекомендуемая литература:

  1. (Теоретические сведения) А. Г. Курош «Курс высшей алгебры», Издание 9, 1968 года, стр. 147-161
  2. (Практические задания) Д. К. Фадеев, И. С. Соминский «Сборник задач по высшей алгебре», Издание 10, 1972 года, стр. 83-110
  3. Курош А. Г. «Курс высшей алгебры» девятое издание, 1968 года, стр. 147-166
  4. Белозеров Г.С. Конспект лекций

Канонические разложения.


Таблица лучших: Следствия из основной теоремы. Канонические разложения.

максимум из 30 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных