Метка: формула Коши

Следствия: остаток в форме Коши и в форме Лагранжа

Следствие 1.

[latex]\varphi(t)=x-t[/latex];

[latex]\varphi'(t)=-1[/latex];

[latex]r_{n}(x_{0},x)=\frac{0-(x-x_{0})}{-1n!}*f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n}[/latex]

[latex]r_{n}(x_{0},x)=\frac{1}{n!}f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n}*(x-x_{0})[/latex] — ф-ла Коши остатка.

Следствие 2.

[latex]\varphi(t)=(x-t)^{(n+1)}[/latex];

[latex]\varphi'(t)=-(n+1)(x-t)^{n}[/latex];

[latex]r_{n}(x_{0},x)=\frac{0-(x-x_{0})^{(n+1)}}{-1(n+1)(x-x_{0})^{n}n!}*f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n}[/latex];

[latex]r_{n}(x_{0},x)=\frac{(x-x_{0})}{(n+1)n!}*f^{(n+1)}(\xi)*(x-\xi)^{n}[/latex];

[latex]r_{n}(x_{0},x)=\frac{(x-x_{0})^{(n+1)}}{(n+1)!}*f^{(n+1)}(\xi)[/latex] — изящная ф-ла Лагранжа для остатка.

Следствие 3 (ф-ла Тейлора с остатком в изящной ф-ме Лангранжа)

Если [latex]f(t), f'(t),\cdots, f^{(n)}(t) \in C[x_{0},x][/latex] и [latex]\exists f^{(n+1)}(t)[/latex] для [latex]\forall t \in (x_{0},x)[/latex], то имеет место ф-ла Тейлора с остатком в ф-ме Лагранжа:

[latex]f(x)=f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f»(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}++\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{(n+1)}, \xi \in (x_{0},x)[/latex].

Замечание

[latex]n=0[/latex]: [latex]f(x)=f(x_{0})+\frac{f'(\xi)}{1!}(x-x_{0})[/latex]

[latex]f(x)-f(x_{0})= f'(\xi)(x-x_{0})[/latex] — получили ф-лу конечных приращений Лагранжа.

[latex]r_{n}(x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}[/latex].

 

Пример 1.

Доказать:

[latex]x-\frac {x^{3}}{3!}<sin(x)<x- \frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}[/latex]         [latex]\forall x>0[/latex]

[latex]f(x)=sin(x)[/latex]; [latex]x_{0}=0[/latex];

[latex]n=4[/latex]:
[latex]f(x)=\overbrace{f(0)}^0+ \frac {\overbrace{f'(0)}^1}{1!}x+\frac {\overbrace{f»(\xi)}^0}{2!}x^{2}+\frac {\overbrace{f^{(3)}(0)}^{-1}}{3!}x^{3}+\frac {\overbrace{f^{(4)}(0)}^0}{4!}x^{4}+\underbrace{\frac {f^{(5)}(0)}{5!}x^{3}}[/latex]

[latex]sin(x)= \frac{x}{1!}-\frac{x^{3}}{3!}+sin(x\frac{5}{2}\pi)[/latex];

[latex]sin(x\frac{5}{2}\pi)=sin(x+\frac{\pi}{2})=cos(x)[/latex];

[latex]sin^{(5)}(\xi)=cos(\xi)[/latex];

[latex]sin(x)= \frac{x}{1!}-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{cos(\xi)}{5!}x^{5} < x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}[/latex];

[latex]n=2[/latex]:
[latex]f(x)=\overbrace{f(0)}^0+ \frac {\overbrace{f'(0)}^1}{1!}x+\frac {\overbrace{f»(0)}^0}{2!}x^{2}+\frac {f^{(3)}(\xi)}{3!}x^{3}[/latex];

[latex]sin(x)= \frac{x}{1!}-\frac{cos(\xi)}{3!}x^{3} > \frac{x}{1!}-\frac{x^{3}}{3!}[/latex];

[latex]-\frac{cos(\xi)}{3!}x^{3}> \frac{x^{3}}{3!}[/latex];

[latex]\frac{cos(\xi)}{3!}x^{3}\leqslant \frac{x^{3}}{3!} \mid \vdots \frac{x^{3}}{3!}, >0[/latex],

[latex]cos(\xi) \leqslant 1[/latex]

Пример 2.

Доказать: [latex]\mid sin(t)-t\mid\leq \frac{t^{2}}{2}, \forall t \in \mathbb{R}[/latex], [latex]x_{0}=0[/latex];
[latex]n=1[/latex]: [latex]f(0)+\frac{\overbrace{f'(0)}^1}{1!}t+\frac{f»(\xi)}{2!}t^{2}[/latex]

[latex]sin(t)=t-\frac{sin(\xi)}{2!}t^{2}[/latex]
[latex]\mid sin(t)-t\mid=\mid \frac{sin(\xi)}{2!}t^{2}\mid=\frac{1}{2} \mid \overbrace{sin(\xi)}^1\mid t^{2}[/latex]

 

Список литературы:

1. Конспект лекций по математическому анализу (Лысенко З.М.)

2. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 1, 1962 год, стр. 246-257.

 

 

Достаточные условия дифференцируемости функции в точке

Оглавление

На предыдущую

На следующую