Геометрический смысл теоремы Ферма

Формулировка

Касательная к графику функции в точке локального экстремума [latex](x_{0},f(x_{0}))[/latex] параллельна оси абсцисс.

Ferma

Замечание

Теорема неверна, если функцию [latex]f(x)[/latex] рассматривать на замкнутом отрезке [latex][a,b].[/latex]

Пример

Функция [latex]f(x)=x[/latex] на отрезке [latex][0; 1][/latex] в точке [latex]x=0[/latex] принимает наименьшее, а в точке [latex]x=1[/latex] наибольшее значение, однако, как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице.

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165
  • sernam.ru

Необходимые и достаточные условия существования экстремумов. Примеры.

 Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка $latex x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $latex f(x)$, если выполняется условие: [latex] \exists U_{\delta }(x_{0}) :[/latex][latex] \forall x\in U_{\delta }(x_{0}) f(x_{0})\geq[/latex][latex] f(x).[/latex]
Аналогично точка $latex x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $latex f(x)$ , если выполняется условие: [latex] \exists U_{\delta }(x_{0}):[/latex][latex]\forall x\in U_{\delta}(x_{0}) f(x_{0})\leq [/latex][latex]f(x).[/latex]

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.
Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка $latex x_{0}$ — точка экстремума функции $latex f(x)$, то она критическая.

Доказательство

По условию точка $latex x_{0}$ — точка экстремума функции $latex f(x)$ $latex \Rightarrow $ по теореме Ферма производная $latex {f}'(x_{0})=0$ $latex \Rightarrow $ точка $latex x_{0}$ является критической.

Пример:

Найти экстремум функции $latex f(x)=x^{3}-$ $latex 6x^{2}+9x-4$.
Найдем производную этой функции:$latex {f}’=3x^{2}-12x+9$ $latex \Rightarrow $ критические точки задаются уравнением $latex 3x^{2}-12x+9 =0$. Корни этого уравнения $latex x_{1}=3$ и $latex x_{2}=1$.

Svg.4.ex

Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: $latex f(3)=27-$ $latex 54+27-4=-4$ и $latex f(1)=1-6+9-4=0$ $latex \Rightarrow $ в точке  $latex x_{1}=3$ функция имеет минимум, равный -4, а в точке $latex x_{2}=1$ функция имеет максимум, равный 0.

Замечания:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пример:

Рассмотрим функцию $latex f(x)=x^{3}$. Построим график этой функции:

Svg.4.ex

Производная данной функции в точке $latex x_{0}=0$ $latex {f}'(0)=0$ $latex \Rightarrow$ $latex x_{0}$ по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.

 

Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)

Пусть функция $latex f(x)$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $latex x_{0}$, кроме, быть может, самой точки $latex x_{0}$ и непрерывна в этой точке. Тогда:

  1. Если производная $latex {f}’$ меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку $latex x_{0}$: $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}-\delta ;x_{0}) {f}'(x)<$ $latex 0$ и $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)> $ $latex 0$, то $latex x_{0}$ — точка строго минимума функции $latex f(x).$
  2. Если производная $latex {f}’$ меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку $latex x_{0}$: $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}-\delta;x_{0} ){f}'(x)>$ $latex 0$ и  $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)< $ $latex 0$, то $latex x_{0}$ — точка строго максимума функции $latex f(x).$

Доказательство

Пусть, например, $latex {f}’$ меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку $latex x_{0}$ на сегменте $latex \left [ x;x_{0} \right ].$ Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: $latex f(x)-f(x_{0})$ $latex ={f}'(\xi)(x-x_{0})$, $latex \xi \in (x;x_{0})$. Поскольку при переходе через точку $latex x_{0}$ функция меняет знак с «-» на «+», то $latex {f}'(\xi)<0$ и $latex x< x_{0}$, то $latex x- x_{0}<0$ $latex f(x)-f(x_{0})>0.$
Аналогично рассмотрим сегмент $latex \left [ x_{0};x \right ]$, получим
$latex f(x)-f(x_{0})>0$ $latex \Rightarrow$ $latex f(x_{0})< f(x)$ $latex \Rightarrow$   $latex x_{0}$ — точка строгого минимума функции.

Замечания:

Если $latex x_{0}$ — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная $latex {f}’ (x) $ меняет знак при переходе через точку $latex x_{0}.$

Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)

Пусть дана функция $latex f(x)$, она определена в некоторой окрестности точки $latex x_{0} $, ее первая производная $latex {f}'(x_{0})=0$ и пусть $latex \exists {f}»(x_{0})$, тогда:

  1. Если $latex {f}»(x_{0})>0$, то точка $latex x_{0}$ — точка строгого минимума;
  2. Если $latex {f}»(x_{0})<0$, то точка $latex x_{0}$ — точка строгого максимума.

Доказательство

Докажем теорему для первого случая, когда $latex {f}»(x_{0})>0$. По скольку $latex {f}»(x_{0})$ непрерывна, то на достаточно малом интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta)$, т.к $latex {f}»(x_{0})>0$, то $latex {f}'(x_{0})$ возрастает в этом интервале. $latex {f}'(x_{0})=0$, значит $latex {f}'(x_{0})<0$ на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ и  $latex {f}'(x_{0})>0$ на интервале $latex (x_{0} ;x_{0}+\delta)$.
Таким образом функция $latex f(x)$ убывает на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ и возрастает на интервале $latex (x_{0} ;x_{0}+\delta)$ $latex \Rightarrow$ по первому достаточному условию экстремума функция в точке $latex x_{0}$ имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.

Замечания:

Если $latex {f}'(x)=0$ и $latex {f}»(x)=0$, то функция $latex f(x)$ может и не иметь экстремум в точке $latex x_{0}.$

Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)

Пусть функция $latex f(x) $ определена в некоторой окрестности точки $latex x_{0} $, и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть $latex \exists f^{(n)}(x_{0})$, $latex n> 2$ и [latex] {f}'(x_{0})={f}»(x_{0})=…[/latex][latex]=f^{(n-1)}(x_{0})=0[/latex], [latex] f^{(n)}(x_{0})\neq 0.[/latex] Тогда:

  1. Если $latex n=2k$ (т.е $latex n$ — четное), то $latex x_{0}$ — точка экстремума:
    • если $latex f^{(n)}(x_{0})<0$, то $latex x_{0}$ — точка локального максимума;
    • если $latex f^{(n)}(x_{0})>0$, то $latex x_{0}$ — точка локального минимума;
  2. Если $latex n=2k+1$ (т.е $latex n$ — нечетное), то $latex x_{0}$ — не является точкой экстремума.

Доказательство

Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки $latex x_{0}$ с остатком в форме Пеано: $latex f(x)=f(x_{0})+ $ $latex \frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+… +$ $latex \frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}+$ $latex \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $latex o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}$.
По скольку все производные до $latex (n-1) $ порядка включительно равны нулю получим: [latex] f(x)-f(x_{0})=[/latex][latex]\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+[/latex][latex]o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.[/latex] Запишем полученное выражение в виде: [latex] f(x)-f(x_{0})=[/latex][latex]\frac{f(n)(x_{0})}{n!}(x-[/latex][latex]x_{0})\left [ 1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}} \right ][/latex]. Выражение $latex [1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n})}]>1$. Пусть $latex n=2k$ $latex \Rightarrow$ $latex (x-x_{0}) ^{n}> 0$, [latex] \text{sign}(f(x)-f(x_{0}))=[/latex] [latex] \text{sign} (\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n})[/latex]. Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку $latex x_{0}$ зависит от четности $latex n$. Последний факт и доказывает теорему.

Список литературы:

Экстремум функции

Тест для проверки знаний по теме «Экстремум функции».

Таблица лучших: Экстремум функции

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Точки экстремума

Локальный минимум.
Пусть [latex]f(x)[/latex] лежит выше [latex]f(x_{0})[/latex] для всех [latex]x\in U_{\delta }(x_{0})[/latex] тогда говорят, что функция имеет локальный минимум в точке [latex]x_{0}.[/latex]

Локальный максимум.
Пусть [latex]f(x)[/latex] лежит ниже [latex]f(x_{0})[/latex] для всех [latex]x\in U_{\delta }(x_{0})[/latex] тогда говорят, что функция имеет локальный максимум в точке [latex]x_{0}.[/latex]

Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.

Это были формальные определения, но можно объяснить иначе:
Возьмем некоторую точку на графике функции и некоторую ее окрестность. Если в окрестности это наивысшая точка, то назовем ее локальным максимумом, если же самая низкая, то минимумом.

inf
sup
Пример

Найти экстремумы функции [latex]f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14.[/latex]

Спойлер

Так как [latex]f'(x) = 6x^{2} — 30x +36 = 6(x -2)(x — 3),[/latex] то критические точки функции [latex]x_{1} = 2 [/latex] и [latex]x_{2}=3.[/latex] Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку [latex]x_{1} = 2 [/latex] производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку [latex]x_{2}=3[/latex] производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке[latex]x_{2}=3[/latex] у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
[latex]x_{1} = 2 [/latex] и [latex]x_{2}=3,[/latex] найдем экстремумы функции: максимум [latex]f(2) = 14[/latex] и минимум [latex]f(3) = 13.[/latex]

[свернуть]

Точки экстремума

Этот тест создан чтобы проверить ваше понимание темы «Точки экстремума»

Литература

  • Конспект лекций Лысенко З.М.
  • Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.164