Касательная к графику функции в точке локального экстремума [latex](x_{0},f(x_{0}))[/latex] параллельна оси абсцисс.
Замечание
Теорема неверна, если функцию [latex]f(x)[/latex] рассматривать на замкнутом отрезке [latex][a,b].[/latex]
Пример
Функция [latex]f(x)=x[/latex] на отрезке [latex][0; 1][/latex] в точке [latex]x=0[/latex] принимает наименьшее, а в точке [latex]x=1[/latex] наибольшее значение, однако, как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице.
Литература
Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 1988. стр.165
Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.
Точка $latex x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $latex f(x)$, если выполняется условие: [latex] \exists U_{\delta }(x_{0}) :[/latex][latex] \forall x\in U_{\delta }(x_{0}) f(x_{0})\geq[/latex][latex] f(x).[/latex]
Аналогично точка $latex x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $latex f(x)$ , если выполняется условие: [latex] \exists U_{\delta }(x_{0}):[/latex][latex]\forall x\in U_{\delta}(x_{0}) f(x_{0})\leq [/latex][latex]f(x).[/latex]
Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.
Теорема (необходимое условие экстремума)
Если точка $latex x_{0}$ — точка экстремума функции $latex f(x)$, то она критическая.
Доказательство
По условию точка $latex x_{0}$ — точка экстремума функции $latex f(x)$ $latex \Rightarrow $ по теореме Ферма производная $latex {f}'(x_{0})=0$ $latex \Rightarrow $ точка $latex x_{0}$ является критической.
Пример:
Найти экстремум функции $latex f(x)=x^{3}-$ $latex 6x^{2}+9x-4$.
Найдем производную этой функции:$latex {f}’=3x^{2}-12x+9$ $latex \Rightarrow $ критические точки задаются уравнением $latex 3x^{2}-12x+9 =0$. Корни этого уравнения $latex x_{1}=3$ и $latex x_{2}=1$.
Как видно по рисунку функция имеет максимум в точке 1, а минимум в точке 3.
Подставим эти значения чтобы убедиться в исходную функцию: $latex f(3)=27-$ $latex 54+27-4=-4$ и $latex f(1)=1-6+9-4=0$ $latex \Rightarrow $ в точке $latex x_{1}=3$ функция имеет минимум, равный -4, а в точке $latex x_{2}=1$ функция имеет максимум, равный 0.
Замечания:
Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Пример:
Рассмотрим функцию $latex f(x)=x^{3}$. Построим график этой функции:
Производная данной функции в точке $latex x_{0}=0$ $latex {f}'(0)=0$ $latex \Rightarrow$ $latex x_{0}$ по определению является критической точкой, однако в этой точке функция не имеет экстремума.
Теорема (первое достаточное условие экстремума в терминах первой производной)
Пусть функция $latex f(x)$ определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки $latex x_{0}$, кроме, быть может, самой точки $latex x_{0}$ и непрерывна в этой точке. Тогда:
Если производная $latex {f}’$ меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку $latex x_{0}$: $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}-\delta ;x_{0}) {f}'(x)<$ $latex 0$ и $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)> $ $latex 0$, то $latex x_{0}$ — точка строго минимума функции $latex f(x).$
Если производная $latex {f}’$ меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку $latex x_{0}$: $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}-\delta;x_{0} ){f}'(x)>$ $latex 0$ и $latex \forall x\in $ $latex (x_{0}; x_{0}+\delta) {f}'(x)< $ $latex 0$, то $latex x_{0}$ — точка строго максимума функции $latex f(x).$
Доказательство
Пусть, например, $latex {f}’$ меняет знак с «-» на «+». Рассмотрим точку $latex x_{0}$ на сегменте $latex \left [ x;x_{0} \right ].$ Воспользуемся теоремой о конечных приращениях Лагранжа: $latex f(x)-f(x_{0})$ $latex ={f}'(\xi)(x-x_{0})$, $latex \xi \in (x;x_{0})$. Поскольку при переходе через точку $latex x_{0}$ функция меняет знак с «-» на «+», то $latex {f}'(\xi)<0$ и $latex x< x_{0}$, то $latex x- x_{0}<0$ $latex f(x)-f(x_{0})>0.$
Аналогично рассмотрим сегмент $latex \left [ x_{0};x \right ]$, получим
$latex f(x)-f(x_{0})>0$ $latex \Rightarrow$ $latex f(x_{0})< f(x)$ $latex \Rightarrow$ $latex x_{0}$ — точка строгого минимума функции.
Замечания:
Если $latex x_{0}$ — точка строго экстремума, то из этого не следует, что производная $latex {f}’ (x) $ меняет знак при переходе через точку $latex x_{0}.$
Теорема (второе достаточное условие строгого экстремума в терминах второй производной)
Пусть дана функция $latex f(x)$, она определена в некоторой окрестности точки $latex x_{0} $, ее первая производная $latex {f}'(x_{0})=0$ и пусть $latex \exists {f}»(x_{0})$, тогда:
Если $latex {f}»(x_{0})>0$, то точка $latex x_{0}$ — точка строгого минимума;
Если $latex {f}»(x_{0})<0$, то точка $latex x_{0}$ — точка строгого максимума.
Доказательство
Докажем теорему для первого случая, когда $latex {f}»(x_{0})>0$. По скольку $latex {f}»(x_{0})$ непрерывна, то на достаточно малом интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0}+\delta)$, т.к $latex {f}»(x_{0})>0$, то $latex {f}'(x_{0})$ возрастает в этом интервале. $latex {f}'(x_{0})=0$, значит $latex {f}'(x_{0})<0$ на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ и $latex {f}'(x_{0})>0$ на интервале $latex (x_{0} ;x_{0}+\delta)$.
Таким образом функция $latex f(x)$ убывает на интервале $latex (x_{0}-\delta ;x_{0})$ и возрастает на интервале $latex (x_{0} ;x_{0}+\delta)$ $latex \Rightarrow$ по первому достаточному условию экстремума функция в точке $latex x_{0}$ имеет минимум.
Аналогично доказывается второй случай теоремы.
Замечания:
Если $latex {f}'(x)=0$ и $latex {f}»(x)=0$, то функция $latex f(x)$ может и не иметь экстремум в точке $latex x_{0}.$
Теорема (третье достаточное условие строгого экстремума в терминах производных порядка больше двух)
Пусть функция $latex f(x) $ определена в некоторой окрестности точки $latex x_{0} $, и в этой точке существуют производные до n-го порядка пусть $latex \exists f^{(n)}(x_{0})$, $latex n> 2$ и [latex] {f}'(x_{0})={f}»(x_{0})=…[/latex][latex]=f^{(n-1)}(x_{0})=0[/latex], [latex] f^{(n)}(x_{0})\neq 0.[/latex] Тогда:
Если $latex n=2k$ (т.е $latex n$ — четное), то $latex x_{0}$ — точка экстремума:
если $latex f^{(n)}(x_{0})<0$, то $latex x_{0}$ — точка локального максимума;
если $latex f^{(n)}(x_{0})>0$, то $latex x_{0}$ — точка локального минимума;
Если $latex n=2k+1$ (т.е $latex n$ — нечетное), то $latex x_{0}$ — не является точкой экстремума.
Доказательство
Воспользуемся формулой Тейлора в окрестности точки $latex x_{0}$ с остатком в форме Пеано: $latex f(x)=f(x_{0})+ $ $latex \frac{{f}'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+… +$ $latex \frac{f^{(n-1)}(x_{0})}{(n-1)!}(x-x_{0})^{n-1}+$ $latex \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+$ $latex o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}$.
По скольку все производные до $latex (n-1) $ порядка включительно равны нулю получим: [latex] f(x)-f(x_{0})=[/latex][latex]\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+[/latex][latex]o((x-x_{0})^{n}), x\rightarrow x_{0}.[/latex] Запишем полученное выражение в виде: [latex] f(x)-f(x_{0})=[/latex][latex]\frac{f(n)(x_{0})}{n!}(x-[/latex][latex]x_{0})\left [ 1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n}} \right ][/latex]. Выражение $latex [1+\frac{o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n})}]>1$. Пусть $latex n=2k$ $latex \Rightarrow$ $latex (x-x_{0}) ^{n}> 0$, [latex] \text{sign}(f(x)-f(x_{0}))=[/latex] [latex] \text{sign} (\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n})[/latex]. Отсюда следует, что сохранение или изменение знака приращения функции во время перехода через точку $latex x_{0}$ зависит от четности $latex n$. Последний факт и доказывает теорему.
Список литературы:
В.А.Ильин, Э. Г. Позняк «Основы математического анализа» (часть 1) 4-е издание, 1982, стр. 295;
Лысенко З. М. Конспект по математическому анализу.
Вартанян Г. М. Конспект по математическому анализу.
Пусть [latex]f(x)[/latex] лежит выше [latex]f(x_{0})[/latex] для всех [latex]x\in U_{\delta }(x_{0})[/latex] тогда говорят, что функция имеет локальный минимум в точке [latex]x_{0}.[/latex]
Локальный максимум.
Пусть [latex]f(x)[/latex] лежит ниже [latex]f(x_{0})[/latex] для всех [latex]x\in U_{\delta }(x_{0})[/latex] тогда говорят, что функция имеет локальный максимум в точке [latex]x_{0}.[/latex]
Точки локального максимума и минимума называют точками локального экстремума.
Это были формальные определения, но можно объяснить иначе:
Возьмем некоторую точку на графике функции и некоторую ее окрестность. Если в окрестности это наивысшая точка, то назовем ее локальным максимумом, если же самая низкая, то минимумом.
Пример
Найти экстремумы функции [latex]f(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x-14.[/latex]
Спойлер
Так как [latex]f'(x) = 6x^{2} — 30x +36 = 6(x -2)(x — 3),[/latex] то критические точки функции [latex]x_{1} = 2 [/latex] и [latex]x_{2}=3.[/latex] Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку [latex]x_{1} = 2 [/latex] производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку [latex]x_{2}=3[/latex] производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке[latex]x_{2}=3[/latex] у функции минимум. Вычислив значения функции в точках
[latex]x_{1} = 2 [/latex] и [latex]x_{2}=3,[/latex] найдем экстремумы функции: максимум [latex]f(2) = 14[/latex] и минимум [latex]f(3) = 13.[/latex]
[свернуть]
Точки экстремума
Лимит времени: 0
Навигация (только номера заданий)
0 из 3 заданий окончено
Вопросы:
1
2
3
Информация
Этот тест создан чтобы проверить ваше понимание темы «Точки экстремума»
Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.
Тест загружается...
Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.
Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:
Результаты
Правильных ответов: 0 из 3
Ваше время:
Время вышло
Вы набрали 0 из 0 баллов (0)
Рубрики
Математический анализ0%
максимум из 6 баллов
Место
Имя
Записано
Баллы
Результат
Таблица загружается
Нет данных
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
Загрузка
1
2
3
С ответом
С отметкой о просмотре
Задание 1 из 3
1.
Количество баллов: 2
Можно ли сказать, что локальный максимум является самой высокой точкой функции?
Правильно
Неправильно
Задание 2 из 3
2.
Количество баллов: 2
Рассортируйте функции по убыванию их графиков на отрезке [-1,1]
$$arcctgx$$
$$y=2$$
$$arcsinx$$
$$\sqrt{x}$$
Правильно
Неправильно
Задание 3 из 3
3.
Количество баллов: 2
Чему равна производная функции в точке экстремума?
Правильно
Неправильно
Литература
Конспект лекций Лысенко З.М.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа, физмат-лит, 2001. стр.164