M699. О полукруге, разрезанном на два криволинейных треугольника, в которые вписаны окружности

Задача из журнала «Квант» (1981 год, 8 выпуск)

Условие

Полукруг с диаметром $AB$ разрезан отрезком $CD$, перпендикулярным $AB$, на два криволинейных треугольника $ACD$ и $BCD$, в которые вписаны окружности, касающиеся $AB$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что а) $|AD| = |AF|$, б) $|DF|$ — биссектриса угла $BDC$, в) величина угла $EDF$ не зависит от выбора точки $C$ на $AB$.

Решение

а) Пусть $O$ — центр данного полукруга. Будем считать, что $|AO| = 1$. Пусть, для определенности, точка $C$ лежит между $B$ и $O$ и $|OC| = a$ (см. рисунок).

Применяя теорему Пифагора к треугольникам $ADC$ и $ODC$, получаем $|AD|^2 — |AC|^2 = |OD|^2 — |OC|^2$, то есть $|AD|^2 = |AC|^2 + |OD|^2 — |OC|^2$, или $|AD|^2 = (1 + a)^2 + 1 — a^2 = 2 + 2a$.

Пусть $O_1$ — центр окружности, вписанной в криволинейный треугольник $BDC$, $r$ — её радиус. Из прямоугольного треугольника $OO_1F$ находим $(1 — r)^2 = r^2 + (a + r)^2$, или $(a + r)^2 + 2r = 1$. Поскольку $|AF|^2 = (1 + a + r)^2 = 1 + 2a + 2r + (a + r)^2 = 2 + 2a$, получаем $|AF| = |AD|$. (Аналогично доказывается $|BD| = |BE|$.)

б) Треугольник $ADF$ — равнобедренный, так что $\widehat{AFD} = \widehat{ADF}$. Далее, $\widehat{AFD} = \widehat{BDF} + \widehat{DBF}$, $\widehat{ADF} = \widehat{ADC} + \widehat{CDF}$ и $\widehat{ADC} = \widehat{DBF}$; поэтому $\widehat{CDF} = \widehat{BDF}.$

в) из решения пункта б) следует, что $\widehat{EDF} = \widehat{EDC} + \widehat{CDF} = \displaystyle{1\over 2}\widehat{ADB} = \displaystyle{\pi\over 4}$.

В.Сендеров