Определение. Последовательность $\left\{x_n\right\}$ называется бесконечно малой, если $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = 0$.
Легко видеть, что последовательность $\left\{x_n\right\}$ сходится к числу $a$ тогда и только тогда, когда последовательность $a_n = x_n — a$ бесконечно малая. Используя это, можно дать следующее равносильное определение предела.
Определение. Число $a$ называется пределом последовательности $\left\{ x_n\right\}$, если последовательность $\left\{x_n — a\right\}$ бесконечно малая.
Следует, однако, понимать, что при таком определении предела нужно отдельно определять понятие бесконечно малой последовательности, а именно, бесконечно малой называть такую последовательность $\left\{ x_n\right\}$, что для любого $\varepsilon > 0$ найдется номер $N = N(\varepsilon) \in \mathbb{N}$, такой, что при любом $n \geq N$ справедливо неравенство $|x_n| < \varepsilon$.
Теорема (свойства бесконечно малых последовательностей).
1) Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малыми последовательностями.
2) Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.
Доказательство. Свойство 1) следует из арифметических свойств переделов (теорема 7).
Докажем 2). Пусть $\left\{a_n\right\}$ — бесконечно малая, а $\left\{x_n\right\}$ ограниченная последовательности. Обозначим $\beta_n = a_nx_n$. Поскольку $\left\{x_n\right\}$ ограничена, то существует такое $A > 0$, что $|x_n| \leq A$ при любом $ n \in \mathbb{N}$. Зададим $\varepsilon > 0$ и, пользуясь тем, что $\left\{a_n\right\}$ бесконечно малая, найдем такой номер $N$, что при всех $n \geq N$ справедливо неравенство $|a_n| < \frac{\varepsilon}{A}$. Тогда для $n \geq N$ получим $|\beta_n| = |a_n|$ $|x_n| \leq A$ $|a_n| < \varepsilon$, а это означает, что последовательность $\left\{\beta_n\right\}$ бесконечно малая. $\small\Box$
Бесконечно большие последовательности
Выше мы показали, что каждая сходящаяся последовательность ограничена. Иначе говоря, всякая неограниченная последовательность расходится. Мы выделим некоторые специальные классы неограниченных последовательностей.
Определение. Говорят, что последовательность $\left\{x_n\right\}$ стремится к $+\infty$, если для любого действительного числа $M$ найдется номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $M$, такой, что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $x_n > M$. В этом случае пишут $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = +\infty$, или $x_n \rightarrow + \infty$ при $n \rightarrow \infty$.
Говорят, что последовательность $\left\{x_n\right\}$ стремится к $-\infty$, если для любого действительного числа $M$ найдется номер $N$, зависящий, вообще говоря, от $M$, такой, что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $x_n < -M$. В этом случае пишут $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = -\infty$, или $x_n \rightarrow -\infty$ при $n \rightarrow \infty$.
Последовательность $\left\{x_n\right\}$ называется бесконечно большой, если модули её элементов стремятся к $+\infty$ $(\lim\limits_{n\to\infty} |x_n| = +\infty)$, т.е. если для любого $M$ найдется номер $N$, такой, что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $|x_n| > M$. Обозначают это так: $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \infty$, или $x_n \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$.
Иллюстрация
Ясно, что каждое из условий $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = +\infty$, или $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = -\infty$ влечет $\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \infty$. Обратное неверно. Например, последовательность $x_n = (-1)^nn$ стремится к $\infty$, но не стремится ни к $+\infty$, ни к $-\infty$.
Напомним, что неограниченная последовательность $\left\{x_n\right\}$ — это такая, что для любого $M$ найдется такой номер $n$, что $|x_n| > M$. Ясно, что каждая бесконечно большая последовательность неограничена, но обратное неверно. Например, последовательность $x_n = n^{(-1)^n}$ неограничена, но не является бесконечно большой.
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями устанавливает следующее
Утверждение. Пусть $x_n \neq 0$ $(n = 1, 2,\dots)$. Тогда последовательность $\left\{x_n\right\}$ бесконечно большая в том и только в том случае, когда последовательность $ a_n = \frac{1}{x_n} $ бесконечно малая.
Доказательство этого утверждения сразу следует из эквивалентности двух следующих неравенств: $|a_n| < \varepsilon$ и $|x_n| = |\frac{1}{a_n}| > \frac{1}{\varepsilon}$. Например, если $\left\{x_n\right\}$ — бесконечно большая, то для заданного $\varepsilon > 0$ найдем такой номер $N$, что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $|x_n| > \frac{1}{\varepsilon}$. Тогда для $n \geq N$ будем иметь $|a_n| = |\frac{1}{x_n}| < \varepsilon$, а это и означает, что последовательность $\left\{a_n\right\}$ бесконечно малая.
Доказательство обратного утверждения аналогично.$\small\Box$
Некоторые виды неопределенностей.
Пусть $x_n \rightarrow +\infty$, $y_n \rightarrow +\infty$. Тогда легко убедится в том, что $x_n + y_n \rightarrow +\infty$ и $x_ny_n \rightarrow +\infty$. Однако, об $x_n — y_n$ ничего определенного сказать нельзя. Так, например, если $x_n = n^2 \rightarrow +\infty$, $y_n = n \rightarrow +\infty$, то $x_n — y_n = n^2 — n \geq n$ $(n \geq 2)$ и $x_n — y_n \rightarrow +\infty$. Для $x_n = n, y_n = n^2$ имеем $x_n — y_n = n — n^2 \geq -n$ и $x_n — y_n \rightarrow -\infty$. Если же $x_n = n \rightarrow +\infty$, $y_n = n + (-1)^n \rightarrow + \infty$, то последовательность $x_n — y-n = (-1)^{n+1}$ не имеет предела.
Говорят, что разность двух стремящихся к $+\infty$ последовательностей составляет неопределенность вида $\left[(+\infty) — (+\infty)\right]$. Другой вид неопределенности $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ — отношение двух стремящихся к $\infty$ последовательностей, т.е. $\frac{x_n}{y_n}$, где $x_n \rightarrow \infty $, $y_n \rightarrow \infty $. Вы самом деле, для $x_n = n^2$, $y_n = n$ имеем $\frac{x_n}{y_n} = n \rightarrow \infty $, $\frac{y_n}{x_n} = \frac{1}{n} \rightarrow 0$. Если же $x_n = (2 + (-1)^n)n$, $y_n = n$, то отношение $\frac{x_n}{y_n} = 2 + (-1)^n$, очевидно, не имеет предела.
Так как обратная к бесконечно большой является бесконечно малой последовательностью, то получаем еще такие виды неопределенностей: $\left[0 \cdot \infty\right] = \left[\frac{1}{\infty} \cdot \infty\right] = \left[\frac{\infty}{\infty}\right] = \left[\frac{0}{0}\right]$. Приведите соответствующие примеры.
Комментарий
По данной теме существует множество примеров, в которых встречаются вышеописанные неопределенности. Раскрыть их позволяют эквивалентные бесконечно малые последовательности. Читателю может ознакомиться с ними ниже.
Эквивалентные бесконечно малые последовательности
Определение. Две бесконечно малые последовательности $\left\{\alpha_n\right\}$ и $\left\{\beta_n\right\}$ называются эквивалентными, если $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\alpha_n}{\beta_n} = 1$. Пишут так: $\alpha_n \sim \beta_n$.
При $n \rightarrow 0$ справедливы следующие отношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):
- $\sin{n} \sim n, $
- $\tan{n} \sim n, $
- $1-\cos{n} \sim \frac{1}{2}n^2, $
- $\frac{\pi}{2} — \arccos{n} \sim n, $
- $\arcsin{n} \sim n, $
- $\arctan{n} \sim n, $
- $a^n-1 \sim n \ln{a}, $
- $\log_a(1+n) \sim \frac{n}{\ln{a}}, $
- $(1+n)^\alpha — 1 \sim \alpha \cdot n.$
Примеры решения задач
Рассмотрим примеры задач, в которых фигурируют бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.
- Определить будет ли последовательность $x_n = \frac{n}{n^2 + 1}$ бесконечно малой.
Решение
Найдем предел $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{n^2 + 1} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n^2}}{\frac{n^2 + 1}{n^2}} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{n^2 + 1} = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{0}{1 + \frac{1}{n^2}} = $ $ = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{0}{1 + 0} = 0.$
Предел последовательности равен нулю, а значит она бесконечно малая.
- Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n} = 0$.
Решение
Последовательность $(-1)^n$ ограничена, а $\frac{1}{n}$ бесконечно малая, так как $\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0$. Согласно теореме о свойствах бесконечно малых последовательностей, произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную будет бесконечно малой последовательностью, значит и $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n} = 0$.
- Доказать, что $x_n = \frac{1}{n^4}$ бесконечно малая.
Решение
Так как $x_n = \frac{1}{n^4} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$ и $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0$, имеем произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей. По теореме о свойствах бесконечно малых, последовательность $x_n$ — бесконечно малая.
- Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n2^n = \infty$.
Решение
Докажем, что последовательность бесконечно большая. Согласно определению, последовательность $\left\{x_n\right\}$ называется бесконечно большой, если для любого $M$ найдется номер $N$, такой, что для всех $n \geq N$ справедливо неравенство $|x_n| > M$. Найдем этот номер $N$.
$|(-1)^n2^n| \geq M$, значит $2^n \geq M$. Прологарифмировав обе части неравенства по основанию $2$, получаем $n \geq \log_2M$.
Выберем наименьшее $N$, удовлетворяющее данному условию, а это $N = [|\log_2M|] + 1$.
Так как $N$ существует, последовательность будет бесконечно большой, а значит и $\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n2^n = \infty$.
- Найти предел последовательности $x_n = \frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{4^{\frac{1}{n}} — 1}$.
Решение
Сделаем замену $\frac{1}{n} = x$ и тогда $x \rightarrow 0$.
$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{n})}{4^{\frac{1}{n}} — 1} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{4^x-1} = [\frac{\infty}{\infty}]$.
Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми последовательностями для раскрытия неопределенности.
$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{4^x-1} \sim \lim\limits_{x \to 0} \frac{x}{x\ln4} = \frac{1}{\ln4}$.
Литература
- Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
- Коляда В.И., Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса : Астропринт , 2009. с. 24-26.
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1962. — 607 с. — c. 47-56.
- Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. — С. 45-50.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Пройдите этот тест для проверки своих знаний вышеизложенного материала.
