Равенства для модулей произведения и частного

Теорема.
Если $a$ и $b -$ комплексные числа, то можно утверждать, что модуль произведение равен произведению модулей. Т.е. $\left|a\right| \cdot \left|b\right| = \left|a \cdot b\right|.$

Пусть комплексные числа $a$ и $b$ заданы в тригонометрической форме: $a = r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)), b = r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’)).$ Перемножим эти числа: $$a \cdot b = (r(\cos(\phi)+i \sin(\phi))) \cdot (r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))) =$$ $$= rr'(\cos(\phi)\cos(\phi’) + i \cos(\phi)\sin(\phi’) + i \sin(\phi)\cos(\phi’) — \sin(\phi)\sin(\phi’)) =$$ $$= rr'(\cos(\phi + \phi’) + i \sin(\phi + \phi’)).$$ После сокращения мы получили запись произведения $ab$ в тригонометрической форме. Следовательно, $\left| ab \right| = \left| a \right| \cdot \left| b \right|.$

Теорема.
Если $a$ и $b -$ комплексные числа, то можно утверждать, что модуль частного равен частному модулей. Т.е. $\dfrac{\left| a \right|}{\left| b \right|} = \left| \dfrac{a}{b} \right|.$

Пусть комплексные числа $a$ и $b$ заданы в тригонометрической форме: $a = r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)), b = r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’)),$ причём $b$ $\neq$ $0, $ т.е. $r’$ $\neq$ $0.$ Тогда $$\dfrac{a}{b} = \dfrac{r(\cos(\phi)+i \sin(\phi))}{r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))} =$$ $$= \dfrac{r(\cos(\phi)+i \sin(\phi)) \cdot r'(\cos(\phi’)+i \sin(\phi’))}{r'(\cos(\phi’)^{2} + \sin(\phi)^{2})} =$$ $$= \dfrac{r}{r’}\left(\cos(\phi)\cos(\phi’) + i \sin(\phi)\cos(\phi’) — i \cos(\phi)\sin(\phi’) + \right.$$ $$\left. + \sin(\phi)\sin(\phi’) \right) = \dfrac{r}{r’}\left(\cos(\phi — \phi’\right) + i \sin\left(\phi — \phi’) \right).$$ Следовательно, $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{\left| a \right|}{\left| b \right|}.$

Литература

  1. Личный конспект, основанный на лекциях Г. С. Белозёрова.
  2. А.Г. Курош Курс высшей алгебры — Москва: Физмалит, 1968. -431с. (с. 118-120).

Равенства для модулей произведения и частного.

Проверим как Вы усвоили материал.

Евклидово пространство

Определение 1. Пусть дано вещественное линейное пространство $E$. Оно называется евклидовым, если на нем задано отображение из каждой пары векторов в соответствующее ей вещественное число. Назовем это отображение скалярным произведением. Отображение должно удолетворять следующим аксиомам:

  1. $\left(x, y \right) = \left(y, x \right),$
  2. $\left(\lambda x, y \right) = \lambda \left(x, y \right),$
  3. $\left(x + y, z \right) = \left(x, z\right) + \left(y, z\right),$
  4. $\left(x, x \right) > 0 \quad при \quad x \not= 0; (x, x) = 0 \quad при \quad x = 0; \forall x, y, z \in E, \forall \lambda \in R.$

Отсюда можно получить ряд следствий:

  1. $\left(x, \lambda y\right) = \lambda \left(x, y \right)$,
  2. $\left(x, y + z \right) = \left(x, y \right) + \left(x, z \right)$,
  3. $\left(x {-} z, y \right) = \left(x, y \right){-}\left(z, y \right)$,
  4. $\left(x, y {-} z \right) = \left(x, y \right){-}\left(x, z \right)$,
  5. $\forall a = \sum\limits_{j = 1}^m \alpha_j x_j$, $b = \sum\limits_{i = 1}^n \beta_i y_i: \\ \left(x, y\right) = \left(\sum\limits_{j = 1}^m \alpha_j x_j, b = \sum\limits_{i = 1}^n \beta_i y_i\right) = \sum\limits_{j = 1}^m \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_j \beta_i \left(x_j, y_i \right)$

Любое n-мерное линейное пространство можно превратить в евклидово(с помощью определения в нем скалярного произведения). В n-мерном линейном пространстве скалярное произведение можно задать различными способами.

Например, возьмем в произвольном вещественном пространстве $G$ его некоторый базис $g = {e_1, e_2, \cdots, e_n}$ и два любых вектора $x$, $y$. Допустим, $$x = \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_i e_i \quad y = \sum\limits_{i = 1}^n \beta_i e_i$$

Теперь можно ввести скалярное произведение: $\left(x, y\right) = \sum\limits_{i = 1}^n \alpha_i \beta_i.$

Любое подпространство из $E$ может быть Евклидовым, если в нем сохраняется скалярное произведение, определенное в $E$.

Определение 2. Пусть дан вектор $x$, принадлежащий евклидову пространству. Если $(x, x) = 1$, то этот вектор называется нормированным. Ненулевой вектор можно нормировать, если умножить его на произвольное число $\lambda$: $$\left(\lambda x, \lambda x \right) = \lambda^2 \left(x, x\right) = 1.$$

Значит, нормирующий множитель $\left(\lambda \right) = \left( x, x \right)^{{-}\frac{1}2}$

Определение 3. Пусть вектор $x$ принадлежит евклидову пространству $E$. Длиной вектора $x$ назовем число $\mid x \mid = + \sqrt{\left(x, x\right)}$, где $x \in R.$ Данное определение имеет свойства длины:

  1. $\mid 0 \mid = 0.$
  2. $\mid x \mid > 0, если x \not= 0.$
  3. $\mid \lambda \cdot x \mid = {\mid \lambda \mid}{\mid x \mid}$ — свойство абсолютной однородности.

Определение 4. Пусть даны векторы $x, y$, принадлежащие евклидову пространствую. Тогда $ \displaystyle \cos \left(x, y \right) = \frac{ \left(x, x \right)}{{ \mid x \mid}{ \cdot}{ \mid y \mid}}, 0 \leqslant \left(x, y \right) \leqslant \pi$ — косинус угла между этими векторами

Рассмотрим применимость школьной геометрии к геометрии евклидова пространства. Пусть заданы два вектора $x, y \in E; x \not= 0, y \not= 0$ — две стороны треугольника. Тогда разность $y-x$ — третья сторона. С помощью формулы для угла можно вычислить квадрат третьей стороны: $${\mid y-x\mid}^2 = \left(y-x, y-x \right) = {\mid y \mid}^2+{\mid x \mid}^2 {-} 2 \left(y, x\right) = {\mid y \mid}^2+{\mid x \mid}^2 {-} \mid y \mid \mid x \mid \cos \left(b, a\right)$$

Получили теорему косинусов. Разумеется, если $y \bot x$, то треугольник является прямоугольным. Также, из последней формулы можно получить теорему Пифагора: ${\mid y-x\mid}^2 = {\mid y \mid}^2+{\mid x \mid}^2.$ Из той же формулы получаем отношение длин сторон треугольника, если оценивать множитель $cos(b^a)$ сверху: $${\mid y-x\mid}^2 \leqslant {\mid y \mid}^2+{\mid x \mid}^2 {+} 2{\mid y \mid}{\mid x \mid} = \left({\mid y \mid}+{\mid x \mid}\right)^2 \Rightarrow \mid y-x \mid \leqslant {\mid y \mid}+{\mid x \mid}.$$

И снизу: $${\mid y-x\mid}^2 \leqslant {\mid y \mid}^2+{\mid x \mid}^2 {-} 2{\mid y \mid}{\mid x \mid} = \left({\mid y \mid}-{\mid x \mid}\right)^2 \Rightarrow \mid y-x \mid \leqslant {\mid y \mid}-{\mid x \mid}.$$

Литература

  1. Электронный конспект по линейной алгебре Белозерова Г.С.
  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра.Стр. 88-90
  3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры.Стр. 211-212

Теорема об умножении определителей

Теорема. Определитель произведения нескольких квадратных матриц порядка $n$ равен произведению определителей этих матриц: $$\textrm{det}(A \cdot B)=\textrm{det}(A) \cdot \textrm{det}(B)$$ или полная формула: $$\textrm{det}\left (\prod_{i=1}^{k}A_i\right )= \prod_{i=1}^{k}\textrm{det} A_i, A_i\in\left(P\right), i=1, \ldots, k.$$

Рассмотрим случай $k=2$. Допустим заданы две матрицы $A=\left \| a_{ij} \right \|\in M_n\left ( P \right )$ и $B=\left \| b_{ij} \right \|\in M_n\left ( P \right )$. Воспользуемся вспомогательной блочной матрицей $C=\begin{Vmatrix}A & 0\\-E & B\end{Vmatrix}$ размера $2n\times 2n$, определитель которой имеет вид: $$\Delta = \begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12} &\cdots & a_{1n} &0 & 0 & \cdots & 0\\
a_{21}&a_{22} &\cdots & a_{2n} &0 & 0 & \cdots & 0 \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
a_{n1}&a_{n2} &\cdots & a_{nn} &0 & 0 & \cdots & 0\\
-1& 0 & \cdots & 0 & b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
0 & -1 & \cdots & 0 & b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
0 & 0 & \cdots & -1 & b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn}
\end{vmatrix}$$
Вычислим $\Delta$ используя теорему Лапласа. Замечаем, что отличным от нуля будет только $\textrm{det}(A)$. Следовательно, $\Delta=\textrm{det}(A) \cdot \textrm{det}(B)$. Теперь с помощью элементарных преобразований изменим $\Delta$ так, что в итоге получим определитель вида $\begin{vmatrix}A & C\\ -E & O\end{vmatrix}$. Где $C$ является произведением матриц $A$ и $B$. Первый столбец умножим на $b_{11}$ и прибавим к $\left ( n+1 \right)$-му столбцу, второй на элемент $b_{21}$ и вновь прибавим к $\left ( n+1 \right )$-му столбцу. Так же обнулим остальные элементы матрицы $B$. Записав подробнее полученный определитель имеем: $$\Delta = \begin{vmatrix}
a_{11}&a_{12} &\cdots & a_{1n} & c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n}\\
a_{21}&a_{22} &\cdots & a_{2n} & c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
a_{n1}&a_{n2} &\cdots & a_{nn} & c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\
-1& 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot &\cdot & \cdot & \cdot\\
0 & 0 & \cdots & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{vmatrix}$$ Снова вычислим определитель $\Delta$, разложением по последним $n$ столбцам. В этом случае отличным от нуля минором $n-$го порядка будет определитель матрицы $C$. Поэтому $\Delta= \textrm{det}C\cdot\textrm{det}\left (-E\right )=\textrm{det}C\cdot\left ( -1 \right )^{n}\cdot\left (-1\right )^{S_1+S_2},$ где $$S_1=\sum_{k=n+1}^{2n}k, \textrm{ a } S_2=\sum_{k=1}^{n}k.$$ В результате получаем $\Delta=\textrm {det}C\cdot\left ( -1 \right )^{2n\left ( n^{2}+n \right )}=\textrm {det}C.$ Теперь, подставляя имеем доказательство теоремы: $$\Delta=\textrm {det}C=\textrm{det}(A \cdot B)=\textrm{det}(A) \cdot \textrm{det}(B).$$

Замечание Теорема остается верной для любого из возможных правил умножения матрицы на матрицу:

  1. строка на строку;
  2. строка на столбец;
  3. столбец на строку;
  4. столбец на столбец.

Теорема об умножении определителей является следствием формулы Бине-Коши. Это теорема об определителе произведения прямоугольных матриц, в случае если это произведение дает квадратную матрицу. Справедлива для матриц с элементами любого коммутативного кольца.

Теорема. Пусть даны две матрицы $A$ и $B$ размеров $\left ( m\times n \right )$ и $\left ( n\times m \right )$ соответственно. Определитель матрицы равен нулю, если $m > n$, и равен сумме произведений всех соответствующих миноров $m \leqslant n$. Миноры матриц $A$ и $B$ одинакового порядка, равного наименьшему из чисел n и m, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах матрицы $A$ и строках матрицы $B$ с одинаковыми номерами: $$\textrm{det}AB=\sum_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }A_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }B_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m },$$
где $A_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }$ — минор матрицы $A$, составленный из столбцов с номерами $\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m$, и $B_{\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m }$ — минор матрицы $B$, составленный из строк с номерами $\gamma_1<\gamma_2<\cdots<\gamma_m$.

Аналогично доказательству теоремы об умножении определителей, используя теорему Лапласа в общей формулировке.

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры решения задач связанных с рассмотренной теоремой. Читателю рекомендовано попытаться решить задачи самостоятельно, а затем сверить свое решение с приведенным ниже.

  1. Найти определитель произведения матриц: $$A=\begin{Vmatrix}3 & 4\\ 1 & -8\end{Vmatrix},
    B=\begin{Vmatrix}2 & 9\\ -1 & 5\end{Vmatrix}$$

    Решение

    Находим определители данных матриц второго порядка: $\begin{vmatrix}3 & -4\\ 1 & -6\end{vmatrix}=-18+4=-14
    $ и $\begin{vmatrix}2 & 7\\ 1 & 5\end{vmatrix}=10-7=3$. По теореме об определителе произведения матриц получаем: $$\textrm{det}(A \cdot B)=\textrm{det}\left (A \right ) \cdot \textrm{det}\left ( B \right )=\left ( -14\right )\cdot\left ( 3 \right )=-42.$$ Вычислим этот же определитель, находя произведение матриц: $$A\cdot B=\begin{vmatrix}3 & -4\\ 1 & -6\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}2 & 7\\ 1 & 5\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 & 1\\ -4 & -23\end{vmatrix}$$ Следовательно, $\textrm{det}\left (A\cdot B\right )=-46+4=-42$. Результаты совпадают.

  2. Найти определитель матрицы пятого порядка: $$M=\begin{Vmatrix}
    1 & 2 & u & v & w\\
    3 & 4 & x & y & z\\
    0 & 0 & 3 & 2 & 1\\
    0 & 0 & 2 & 5 & 3\\
    0 & 0 & 3 & 4 & 2
    \end{Vmatrix}$$

    Решение

    Разобьём данную матрицу на 4 блока, $M=\begin{Vmatrix}A & B\\ O & C\end{Vmatrix}$ где $A=\begin{Vmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{Vmatrix}$,
    $B=\begin{Vmatrix}u & v & w\\ x & y & z\end{Vmatrix}$, $O=\begin{Vmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\\ 0 & 0\end{Vmatrix}$, $C=\begin{Vmatrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 3 \\3 & 4 & 2\end{Vmatrix}$.
    Представим блочную матрицу как произведение (в справедливости этого представления можно убедиться, найдя произведение по правилам умножения блочных матриц). $$D=\begin{Vmatrix}
    A & B\\
    C & D
    \end{Vmatrix} = \begin{Vmatrix}
    E_2 & O^T\\
    O & C
    \end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix}
    E_2 & B\\
    O & E_3
    \end{Vmatrix} \cdot \begin{Vmatrix}
    A & O^T\\
    O & E_3
    \end{Vmatrix} ,$$ где $E_2,E_3$ — единичные матрицы соответствующих порядков.
    $\begin{vmatrix}
    A & O^T\\
    O & E_3
    \end{vmatrix} = \textrm{det}A =\left | A \right |$, $\begin{vmatrix}
    E_2 & O^T\\
    O & C
    \end{vmatrix} = \textrm{det}C =\left | C \right|$.
    Матрица $\begin{Vmatrix}
    E_2 & B\\
    O & E_3
    \end{Vmatrix}$ — треугольная с единицами на главной диагонали, следовательно ее определитель равен $1$ По теореме об определителе произведения получаем:
    $$\begin{vmatrix}
    A & B\\
    O & C
    \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}
    E_2 & O^T\\
    O & C
    \end{vmatrix}\ \cdot \begin{vmatrix}
    E_2 & B\\
    O & E_3
    \end{vmatrix}\ \cdot\begin{vmatrix}
    A & O^T\\
    O & E_3
    \end{vmatrix}=\left | C \right |\cdot 1\cdot\left | A \right |=\left | A \right |\cdot\left | C \right |$$ Найдем $\textrm{det}A$ и $\textrm{det}C$. $\begin{vmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{vmatrix}=-2$ $\begin{vmatrix}3 & 2 & 1\\ 2 & 5 & 3 \\3 & 4 & 2\end{vmatrix}=-15-8-36+30+18=-3$. Подставляя, получаем, $\textrm{det}M=-2\cdot -3=-6$

  3. Смотрите также:

    1. Белозеров Г.С. Конспект лекций по линейной алгебре.
    2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра; 5-е изд., стереотипное. ФИЗМАТЛИТ. — 2002. С. 38-39
    3. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Основы алгебры С.138-139
    4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, С.93-95
    5. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов.— M.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.— 416 с. C. 130-134

    Теорема об умножении определителей

    Тест на знание темы «Теорема об умножении определителей».

Основная теорема арифметики

Теорема. Любое натуральное число больше единицы может быть разложено в виде простых множителей и это разложение единственно (если не учитывать порядок множителей).

Докажем существование такого разложения и то, что оно единственно.

Существование. Пусть $n \in N, n > 1$ и мы имеем два варианта.Если $n$ простое, и тогда разложение уже получено, либо $n$ составное, а значит может быть представлено в виде $n=p_{0}a_{0}$, где $p_0$ — наименьший делитель $n$. Допустим $a_{0}>1$, а значит у нас снова два варианта. Либо $a_{0}$ — простое, либо оно составное и может быть представлено как $a_{0}=p_{1}a_{1}$, где $p_1$ — наименьший делитель $a_{0}$. Таким образом мы дойдем до $a_{m-1}=p_{m}a_{m}$, где $a_{m}=1$. Тогда $n=p_{0}p_{1}p_{2}\ldots p_{m}$, где $p_{i}, i=\overline{0, m}$ является простым по лемме (1) о простоте наименьшего делителя.

Единственность. Пусть существуют два разложения числа $n\in N, n > 1$ на простые множители. Тогда $p_{1}p_{2}\ldots p_{n}=q_{1}q_{2}\ldots q_{m}$. Так как $p_{1}p_{2}\ldots p_{n}$ разложение $n$, а значит является его делителем, то $p_{1} \mid q_{1}q_{2}\ldots q_{m}$. Если точнее, оно делит $q_{j}, j= \overline{1, m}$.Но так как $q_{j}$ и $p_{1}$ — простые, то это возможно только в том случае, если $p_{1}=q_{i}$. Так как порядок множителей не имеет значения, пусть это будет $q_{1}$. И тогда мы можем сократить равенство на $p_{1}$ и получим $p_{2}\ldots p_{n}=q_{2}\ldots q_{m}$. Повторяя рассуждения, мы придем к тому, что кончатся множители одного разложения (предположим что $n < m$) и мы получим такое равенство $1= q_{n}q_{n+1} \ldots q_{m}$. Однако, так как все множители — простые, а значит (по определению простого числа) найдено противоречие. Это доказывает единственность.

Так как в разложении целого числа могут оказаться одинаковые множители, то можно обозначить количество вхождений множителя его степенью : $$n=p^{a_{1}}_{1}p^{a_{2}}_{2}\ldots p^{a_{n}}_{n}, $$ где $p_{i} \neq p_{j}$ при $i, j = \overline{1, n}, i \neq j$. Это называется каноническим разложением числа.

Примеры
  1. Каноническим разложением числа $100$ будет $2^{2} \cdot 5^{2}$.
  2. Каноническим разложением числа $255$ будет $3^{1} \cdot 5^{1} \cdot 17^{1}$.
  3. Каноническим разложением числа $53$ будет $53^{1}$.

Тест на канонические разложения

Тест для проверки понимания изложенной выше темы.

Литература

  1. Электронный конспект по алгебре. Автор Белозеров.Г.С.
  2. И.М.Виноградов. Основы теории чисел. 6-ое издание, 1952 год. стр.20-22.
  3. Д.К.Фадеев. Лекции по алгебре. 1984 год. стр. 14-15.

Теорема о «чужих дополнениях»

Теорема. Если элементы некоторой строки (столбца) умножить на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца), то сумма этих произведений будет равна $0$.

Разложение по строке: $$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\ldots+a_{in}A_{kn}=\sum_{k=1}^{n} a_{ij}A_{kj}=0$$

Разложение по столбцу: $$a_{1j}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nk}=\sum_{k=1}^{n} a_{ij}A_{ik}=0$$

Пусть $\Delta$ – определитель порядка $n$. Тогда $$\sum_{j=1}^{n} a_{i j} A_{k j}=\left\{\begin{array}{l} \Delta, & если & k = i \\0, &если & k \neq i \end{array}\right.$$

Рассмотрим определитель матрицы $A=\left\|a_{i j}\right\| \in M_{n}(P)$. Прибавим $k$-ю строку к $i$-й, отчего определитель матрицы не изменится в соответствии со свойством определитель не изменится, если к какой-либо его строке (столбцу) прибавить (как матрицу) другую его строку (столбец), умноженную (-ого) на произвольный элемент поля. Отсюда, в частности, следует, что определитель, содержащий равные строки (столбцы), равен нулю. Теперь распишем по теореме о разложении определителя по строке (столбцу) определитель новой матрицы, разлагая его по $i$-й строке. Получим $$\Delta=\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i j}+a_{k j}\right) A_{i j}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} A_{i j}+\sum_{j=1}^{n} a_{k j} A_{i j}=$$ $$=\Delta+\sum a_{k j} A_{i j} \Rightarrow \sum_{j=1}^{n} a_{k j} A_{i j}=0 $$

Примеры

    1. Вычислим определитель матрицы $$A=\left(\begin{array}{ll}3 & 5 & 7 & 2\\7 & 6 & 3 & 7\\5 & 4 & 3 & 5\\-5 & -6 & -5 & -4\end{array}\right)$$
Нахождение определителя матрицы $А$

В этой матрице нет строк (столбцов) содержащих ноль, а значит, выберем любую строку (столбец), например, 3-ю строку. $$\operatorname{det}A = \left|\begin{array}{cccc}3 & 5 & 7 & 2 \\7 & 6 & 3 & 7 \\5 & 4 & 3 & 5\\-5 & -6 & -5 & -4\end{array}\right|= 5 \cdot\left|\begin{array}{ccc}5 & 7 & 2 \\6 & 3 & 7 \\-6 & -5 & -4\end{array}\right| \cdot(-1)^{3+1}+$$ $$+4 \cdot\left|\begin{array}{ccc}3 & 7 & 2 \\7 & 3 & 7\\-5 & -5 & -4\end{array}\right| \cdot(-1)^{3+2}+ 3\cdot\left|\begin{array}{ccc}3 & 5 & 2 \\7 & 6 & 7 \\-5 & -6 &-4\end{array}\right| \cdot(-1)^{3+3}+$$ $$+5\cdot\left|\begin{array}{ccc}3 & 5 & 7 \\7 & 6 & 3\\-5 & -6 & -5\end{array}\right| \cdot(-1)^{3+4}$$

Применяя правило Саррюса найдем миноры 3-го порядка. Получим, что

$$\operatorname{det}A = 5\cdot(-35) -4\cdot(-20)+3\cdot(-5)-5\cdot(-20) =$$ $$=-175+80-15+100 = -10 \Rightarrow \operatorname{det}A = -10 $$

[свернуть]
  1. Вычислим определитель матрицы $$B=\left(\begin{array}{ll}3 & 1 & 1 & 0\\0 & 1 & 5 & 4\\-1 & -4 & 0 & 2\\-1 & 0 & 2 & 2\end{array}\right)$$
    Нахождение определителя матрицы $B$

    $$\operatorname{det}B = \left|\begin{array}{cccc}3 & 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 5 & 4 \\-1 & -4 & 0 & 2\\-1 & 0 & 2 & 2\end{array}\right|= 3 \cdot\left|\begin{array}{ccc}1 & 5 & 4 \\-4 & 0 & 2 \\0 & 2 & 2\end{array}\right| \cdot(-1)^{1+1}+$$ $$+\left|\begin{array}{ccc}0 & 5 & 4 \\-1 & 0 & 2\\-1 & 2 & 2\end{array}\right| \cdot(-1)^{1+2}+ \left|\begin{array}{ccc}0 & 1 & 4\\-1 & -4 & 2\\-1 & 0 &2\end{array}\right| \cdot(-1)^{1+3}$$ $$\operatorname{det}A = 3\cdot4-(-8)-16 = 4\Rightarrow \operatorname{det}A = 4 $$

    [свернуть]

Литература

  1. Конспект лекций по линейной алгебре. Белозёров Г.С. Глава IV. Матрицы и определители.
  2. Конспект лекций по линейной алгебре. Марков В.Т МГУ 2013 год (стр. 29)
  3. Конспект лекций по линейной алгебре. Факультет математики НИУ ВШЭ
  4. В.Воеводин Линейная алгебра М.: Наука, 1980, глава 7, §62, «Матрицы и определители» — стр 201
  5. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1968, издание 9, глава 1, §4, «Определители n-го порядка»

Теорема о «чужих дополнениях»

Тест на теорму о «чужих дополнениях»