Математический анализ студентам прикладной математики читается на протяжении трех семестров и играет очень важную роль в создании математического фундамента для большинства читаемых в дальнейшем курсов. В результате изучения дисциплины, в первую очередь вырабатываются навыки доказательного мышления, осваиваются основные принципы непрерывной математики, дифференциального и интегрального исчисления. В связи с очень различным уровнем математической подготовки, с которым приходят студенты на первый курс университета, преподавание математического анализа преследует еще одну важную задачу — дать возможность студентам хотя бы частично восполнить пробелы в своем школьном математическом образовании.
Далее перечислены некоторые темы, которые изучаются в данном учебном курсе. Те из них, для которых будут появляться дополнительные студенческие материалы или электронные конспекты будут становиться гиперссылками.
Выбор дисциплины «Математический анализ» в качестве тематики курсовых работ по дисциплине «Основы интернет технологий» связано еще и со знаменательной датой, которую мы будем отмечать 5-го июня этого года (в самый разгар зачетной недели). В этот день исполняется 125 лет со дня рождения великого одессита, выпускника нашего университета, автора самого издаваемого математического труда за всю историю существования математики как науки и учебной дисциплины. Наверное Вы уже догадались, что речь идет о Григории Михайловиче Фихтенгольце, авторе трёхтомного учебника «Курс дифференциального и интегрального исчисления».
- Действительные числа
- Пределы последовательностей
Спойлер- Определение предела последовательности и ее геометрический смысл
- Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности
- Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами
- Бесконечно малые последовательности и их свойства
- Бесконечно большие последовательности, их свойства и связь с бесконечно малыми последовательностями
- Арифметические операции со сходящимися последовательностями
- Предел монотонной последовательности
- Число $e$
- Подпоследовательности
- Частичный предел
- Верхний и нижний пределы
- Теорема Коши-Кантора о вложенных отрезках
- Теорема Больцано-Вейерштрасса
- Фундаментальные последовательности
- Критерий Коши сходимости последовательности
[свернуть] - Пределы функций
Спойлер- Определение предела по Коши и по Гейне, их эквивалентность
- Геометрический смысл предела
- Единственность предела, локальная ограниченность функции, имеющей предел
- Различные типы пределов: односторонние конечные пределы
- Различные типы пределов: бесконечные пределы в конечной точке и на бесконечности
- Бесконечно малые функции
- Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями и с неравенствами
- Пределы монотонных функций
- Критерий Коши существования предела
[свернуть] - Непрерывные функции
Спойлер- Определение непрерывности по Коши и по Гейне
- Геометрический смысл непрерывности
- Классификация точек разрыва
- Точки разрыва монотонной функции
- Свойства функций, непрерывных в точке
- Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции
- Вторая теорема Вейерштрасса о достижении верхней и нижней граней
- Первая теорема Коши о нулях непрерывной функции
- Вторая теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции
- Обратная функция
- Теорема о непрерывности обратной функции
- Предел функции $ \frac{\sin x}{x} $ при $ x \to {0} $
- Непрерывность элементарных функций
- Замена переменной при вычислении пределов
- Предел функции $ {\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$ при $ x \to {0} $. Следствия
- Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов
- Таблица эквивалентных
- Бесконечно малая функция в сравнении с другой
- Символ Ландау
- Равномерная непрерывность
- Теорема Кантора
[свернуть] - Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Спойлер- Задачи, которые приводят к понятию производной
- Определение производной
- Геометрический смысл производной
- Непрерывность в точке и существование производной в точке
- Односторонние и бесконечные производные
- Дифференцируемые функции и дифференциал
- Критерий дифференцируемости функции
- Геометрический смысл дифференциала
- Дифференцируемость и арифметические операции
- Дифференцируемость обратной функции
- Дифференцируемость сложной функции
- Таблица производных
- Производные и дифференциалы высших порядков
- Точки экстремума
- Теорема Ферма о корне производной
- Геометрический смысл теоремы Ферма
- Теорема Ролля о корне производной
- Формула конечных приращений Лагранжа
- Геометрический смысл формулы Лагранжа и её следствия
- Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений)
- Правило Лопиталя о раскрытии неоднозначностей
- Определение многочлена Тейлора
- Остатки формулы Тейлора
- Теорема про остаток формулы Тейлора
- Следствия: остаток в форме Коши и в форме Лагранжа
- О приближенном вычислении с помощью формулы Тейлора
- Оценка погрешности формулы Тейлора
- Формула Тейлора с остатком в форме Пеано
- Единственность полинома Тейлора
- Применение формулы Тейлора к нахождению пределов
- Разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена
- Условия монотонности функции в терминах производной
- Необходимые и достаточные условия существования экстремумов
- Наибольшее и наименьшее значения функции
- Выпуклость функции и её геометрическая интерпретация
- Достаточные условия строгой выпуклости
- Точки перегиба
- Необходимые и достаточные условия точки перегиба
- Асимптоты и их поиск
[свернуть] - Неопределенный интеграл
Спойлер- Определение первообразной
- Теорема о разнице двух первообразных
- Пример функции, не имеющей первообразной
- Неопределенный интеграл и его свойства
- Таблица основных интегралов
- Метод подстановки
- Метод интегрирования по частям
- Интегрирование рациональных функций
- Интегрирование функций вида $R \left( x, \left( \frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r_1}, \cdots, \left( \frac{ax+b}{cx+d} \right)^{r_n} \right)$.
- Интегрирование дифференциального бинома
- Интегрирование рациональных функций от $\sin x$, $\cos x$ и $\sinh x$, $\cosh x$ (доп.)
- Универсальная подстановка
[свернуть] - Определенный интеграл Римана
Спойлер- Задачи, которые приводят к понятию определенного интеграла Римана
- Определение интегральных сумм и их пределов
- Определение интеграла Римана
- Ограниченность интегрируемой по Риману функции
- Пример ограниченной функции, не интегрируемой по Риману
- Суммы Дарбу и их свойства
- Критерии интегрируемости по Риману в терминах сумм Дарбу
- Критерии интегрируемости по Риману в терминах колебаний
- Интегрируемость по Риману непрерывных функций и кусочно-непрерывных функций
- Интегрируемость по Риману монотонных функций
- Свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями
- Свойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирования
- Свойства определенного интеграла, связанные с неравенствами
- Интеграл положительной функции
- Монотонность интеграла Римана
- Оценка модуля интеграла
- Интегральная теорема о среднем и следствия
- Определение интеграла с переменным верхним пределом
- Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом
- Дифференцируемость интеграла с переменным верхним пределом в точке непрерывности подынтегральной функции
- Существование первообразной у непрерывной функции
- Общий вид первообразной у непрерывной на отрезке функции
- Теорема Ньютона-Лейбница
- Примеры применения теоремы Ньютона-Лейбница
- Замена переменной в интеграле Римана
- Интегрирование по частям в интеграле Римана
- Примеры приближенного вычисления определенных интегралов по формуле Тейлора
- Оценка погрешности приближенного вычисления определенных интегралов по формуле Тейлора
- Вычисление площадей плоских областей, заданных параметрически и в полярных координатах
- Вычисление пути и его длины
- Теорема о вычислении длины спрямляемых пути, следствия
- Определение тела вращения и его объема
- Вычисление объема тела вращения, следствия
- Определение площади поверхности вращения
- Теорема о вычислении площади поверхности вращения, следствия
[свернуть] - Топология пространства $ \mathbb{R}^{n} $
Спойлер- Пространство $ \mathbb{R}^{n} $ и операции в нем
- Нормы в $ \mathbb{R}^{n} $
- Неравенство Коши-Буняковского
- Открытые множества и их свойства
- Примеры открытых множеств
- Замкнутые множества
- Двойственность открытых и замкнутых множеств
- Свойства замкнутых множеств
- Примеры замкнутых множеств
- Компактные множества
- Лемма Гейне-Бореля
- Лемма Больцано-Вейерштрасса
- Критерий компактности в $ \mathbb{R}^{n} $
- Определение предела сходящейся последовательности
- Единственность предела сходящейся последовательности
- Ограниченность сходящейся последовательности
- Фундаментальные последовательности и их свойства
[свернуть] - Непрерывные отображения
Спойлер- Определение предела функции по Коши и по Гейне, их эквивалентность
- Предел функции по множеству
- Непрерывность функции по множеству
- Повторные пределы
- Бесконечные пределы
- Определение непрерывности функции в точке. Непрерывность по отдельным переменным
- Арифметические свойства непрерывных функций
- Непрерывность сложной функции
- Локальные свойства функций, непрерывных в точке
- Теорема Вейерштрасса о непрерывных на компактных множествах функциях
- Равномерная непрерывность функции: теорема Кантора
[свернуть] - Дифференцируемые отображения в $ \mathbb{R}^{n}$
Спойлер- Определение дифференцируемой функции
- Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью в точке
- Дифференциал
- Определение частной производной и её геометрический смысл
- Дифференцируемость функции в точке и существование частных производных
- Производная по направлению. Теорема о вычислении производной по направлению дифференцируемой функции
- Градиент функции и его геометрический смысл
- Критерий дифференцируемости функции
- Достаточные условия дифференцируемости функции в точке
- Дифференцируемость композиции дифференцируемых функций
- Формула конечных приращений Лагранжа
- Частные производные высших порядков
- Теорема о смешанных производных
- Определение дифференциалов высших порядков и их свойства
- Определение неявной функции одной переменной
- Теорема о неявной функции одной переменной
- Теорема о неявной функции многих переменных
- Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа
- Следствие (Формула Тейлора с остатком в форме Пеано)
- Определение локального экстремума. Необходимые условия экстремума в терминах частных производных и дифференциала
- Определение стационарной точки. Пример функции, не достигающей экстремума в стационараной точке
- Необходимые условия экстремума в терминах второго дифференциала
- Определение квадратичной формы. Знакоопределённые квадратичные формы
- Критерий Сильвестра
- Достаточные условия экстремума
- Достаточные условия экстремума для функции двух переменных
- Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа
- Зависимость функций
[свернуть] - Числовые ряды
Спойлер- Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости
- Свойства сходящихся рядов
- Критерий Коши
- Гармонический ряд
- Критерий сходимости рядов с неотрицательными слагаемыми
- Обобщённый гармонический ряд
- Признак сравнения
- Признак Даламбера
- Признак Коши
- Интегральный признак
- Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница
- Абсолютная и условная сходимость
- Абсолютная и условная сходимость рядов
- Признаки Абеля и Дирихле
- Признаки Абеля и Дирихле сходимости числовых рядов
[свернуть] - Несобственные интегралы
Спойлер- Несобственные интегралы на неограниченном промежутке
- Несобственные интегралы от неограниченных функций
- Линейность несобственных интегралов
- Формулы Ньютона-Лейбница
- Интегрирование по частям
- Замена переменной
- Критерий сходимости несобственных интегралов
- Признак сравнения несобственных интегралов
- Критерий Коши сходимости несобственных интегралов
- Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
- Признаки Абеля и Дирихле
[свернуть] - Функциональные последовательности и ряды
Спойлер- Равномерная сходимость последовательностей и рядов
- Критерий равномерной сходимости в терминах точной верхней грани. Критерий Коши
- Признак равномерной сходимости: Вейерштрасса, Абеля, Дирихле
- Равномерная сходимость и непрерывность
- Равномерная сходимость и интегрирование
- Равномерная сходимость и дифференцируемость
[свернуть] - Степенные ряды
- Ряды Тейлора
- Ряды Фурье
Спойлер- Ортонормированные системы в Гильбертовых пространствах
- Ряды Фурье по ортонормированным системам
- Минимальное свойство частичных сумм рядов Фурье. Неравенство Бесселя
- Замкнутые и полные ортонормированном системы. Равенство Парсеваля
- Ряды Фурье по тригонометрической системе
- Условия сходимости тригонометрического ряда Фурье в точке. Признак Дини. Следствия
- Суммируемостью рядов Фурье методом Фейера
- Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими полиномами
[свернуть] - Интегралы, зависящие от параметра
Спойлер- Собственные интегралы, зависящие от параметра, и их свойства
- Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость. Критерий Коши
- Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра
- Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.
- Интеграл Эйлера-Пуассона
- Интегралы Эйлера
- Определение интеграла Фурье
- Представление функции интегралом Фурье
- Интегралы в смысле главного значения. Комплексная форма интеграла Фурье
[свернуть] - Кратные интегралы
- Криволинейные интегралы
Спойлер- Определение криволинейных интегралов первого рода и их свойства. Физический смысл
- Вычисление криволинейных интегралов первого рода
- Определение криволинейных интегралов второго рода и их свойства. Физический смысл
- Вычисление криволинейных интегралов второго рода
- Условия независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования
- Критерий потенциальности поля
[свернуть] - Интегралы по поверхности
Спойлер- Сторона и ориентация поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Край поверхности
- Площадь поверхности. Формула для вычисления площади поверхности.
- Поверхностные интегралы I рода: свойства, вычисление, примеры
- Поверхностные интегралы II рода: свойства, вычисление, примеры
- Поток, дивергенция, ротор векторного поля. Примеры.
- Формула Остроградского-Гаусса. Примеры.
- Циркуляция векторного поля. Примеры
- Формула Стокса. Примеры
[свернуть]