Форматы семантической разметки

$\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\DeclareMathOperator{\tg}{tg} \DeclareMathOperator{\arctg}{arctg} \newcommand{\rndBrcts}[1]{\left ( #1 \right )} \newcommand{\abs}[1]{\left | #1 \right |}$

  1. .author — автор задачи или решения
  2. .list-latin-bracket — список a) b) c)
  3. .list-cyrilic — список а) б) в)
  4. .list-digits-bracket — список 1) 2) 3)
  5. .literature — список литературы
  6. .literature:before — слово «Литература» перед этим добавляется автоматически
  7. .definition — определение в целом
  8. .concept — определяемое понятие внутри определения
  9. .theorem — вся теорема в целом
  10. .lemma — вся лемма в целом
  11. .provement — доказательство внутри теоремы, леммы и т.п.
  12. .provement:before — начало доказательства, слово «Доказательство» пишется автоматически
  13. .provement:after — конец доказательства, квадратик рисуется автоматически
  14. .consequence — следствие
  15. .criterion — критерий
  16. .property — свойства чего-либо
  17. .remark — замечание
  18. .examples — примеры в целом
  19. .example — пример внутри примеров
  20. .solution — решение внутри примера
  21. .example .statement — условие внутри примера
  22. section p:nth-child(1) — часть внутри абзаца
  23. section p:nth-last-child(1) — последняя часть внутри абзаца
  24. .see-also — смотри также
  25. article — статья
  26. section — раздел статьи
  27. .type — выделение заголовка блока, например слова «определение» или «теорема».
  28. .llms-main — ?
  29. .statement > p — ?
<div type = "theorem">
<p class = "statement">
<span class = "type">Теорема.</span> Пусть существует $\lim \limits_{x \to x_0} \abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}} = K,$ где $0 \leqslant K \lt+\infty.$ Тогда $f\rndBrcts{x} = \underline O \rndBrcts{g\rndBrcts{x}}.$</p>
<p class = "provement">
Рассматриваем случай $x_0 \in \mathbb{R}.$ Зададим $\varepsilon = 1$ и найдем такое $\delta \gt 0,$ что для всех $x,$ удовлетворяющих условию $\abs{x-x_0} \lt \delta,$ справедливо неравенство $\abs{\abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}}-K} \lt 1.$ Последнее неравенство равносильно тому, что
$$K-1 \lt \abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}} \lt K+1.$$ Умножая правое неравенство на $\abs{g\rndBrcts{x}},$ получаем утверждение теоремы.
</p>
</div>

Теорема. Пусть существует $\lim \limits_{x \to x_0} \abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}} = K,$ где $0 \leqslant K \lt+\infty.$ Тогда $f\rndBrcts{x} = \underline O \rndBrcts{g\rndBrcts{x}}.$

Рассматриваем случай $x_0 \in \mathbb{R}.$ Зададим $\varepsilon = 1$ и найдем такое $\delta \gt 0,$ что для всех $x,$ удовлетворяющих условию $\abs{x-x_0} \lt \delta,$ справедливо неравенство $\abs{\abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}}-K} \lt 1.$ Последнее неравенство равносильно тому, что
$$K-1 \lt \abs{\frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}}} \lt K+1.$$ Умножая правое неравенство на $\abs{g\rndBrcts{x}},$ получаем утверждение теоремы.


<p class = "definition">
<span class = "type">Определение</span> Пусть функции $f$ и $g$ определены в <a href = "http://ib.mazurok.com/2018/06/10/limit_of_a_function" target="_blank" rel="noopener noreferrer">проколотой окрестности точки</a> $x_0$ (конечного или бесконечного) и $g\rndBrcts{x} \neq 0.$ Говорят, что $f\rndBrcts{x}$ является <span class = "term">$\overline{o}$-малой</span> относительно $g\rndBrcts{x}$ при $x \to x_0,$ если $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = 0.$ Обозначают это так: $f\rndBrcts{x} = \overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \ \rndBrcts{x \to x_0}.$
</p>

Определение Пусть функции $f$ и $g$ определены в проколотой окрестности точки $x_0$ (конечного или бесконечного) и $g\rndBrcts{x} \neq 0.$ Говорят, что $f\rndBrcts{x}$ является $\overline{o}$-малой относительно $g\rndBrcts{x}$ при $x \to x_0,$ если $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f\rndBrcts{x}}{g\rndBrcts{x}} = 0.$ Обозначают это так: $f\rndBrcts{x} = \overline o\rndBrcts{g\rndBrcts{x}} \ \rndBrcts{x \to x_0}.$


<section class = "see-also">
<h2>Смотрите также</h2>
<ol>
<li><a href = "https://www.dropbox.com/s/1rz1bs2hg0pbi0g/Ter-Krikorov.djvu" target = "_blank" rel="noopener noreferrer">Тер-Крикоров А. М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. - С. 116-121.</a></li>
<li><a href = "https://www.dropbox.com/s/bmcb3ywhh4hms9l/Kudriavcev1.pdf" target = "_blank" rel="noopener noreferrer">Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. - 5-е изд., перераб. и доп. - Москва: Дрофа, 2003. - 703 с. - С. 253-271.</a></li>
<li><a href = "https://www.dropbox.com/s/1c4fffjbxge8dwe/Fihtengolc_t1_1962ru.djvu" target = "_blank" rel="noopener noreferrer">Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. - 5-е изд., стереотип. - Москва: Физматгиз, 1962. - 607 с. - С. 136-146.</a></li>
</ol>
</section>

Смотрите также

  1. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. - С. 116-121.
  2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. - 5-е изд., перераб. и доп. - Москва: Дрофа, 2003. - 703 с. - С. 253-271.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 1 / Г. М. Фихтенгольц. - 5-е изд., стереотип. - Москва: Физматгиз, 1962. - 607 с. - С. 136-146.

<ol class="list-cyrilic">
<li>Пункт а</li>
<li>Пункт б</li>
</ol>
  1. Пункт а
  2. Пункт б

<section class = "examples">
<h2>Примеры решения задач</h2>
<p>Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться эквивалентные функции и символы Ландау. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.</p>
<ol>
<li class = "example">Найти предел $\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \rndBrcts{e^{x-1}-1}}{\rndBrcts{x-1}\sin{ \rndBrcts{x-1}}}.$
<details>
<summary>Решение</summary>
$\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \rndBrcts{e^{x-1}-1}}{\rndBrcts{x-1}\sin{ \rndBrcts{x-1}}} = \\
= \left[
\begin{gathered}
\text{При }x \to 1\\
e^{x-1}-1 \sim x-1\\
\sin{\rndBrcts{x-1}} \sim x-1\\
\end{gathered}
\right ] = \\
= \lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \rndBrcts{x-1}}{\rndBrcts{x-1}\rndBrcts{x-1}} = \\
= \lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^{2018}-2x+1}{x-1} = \\
= \left[
\begin{gathered}
\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \bigg|_{x=1} = 0 \\
\Leftrightarrow \\
\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \vdots \rndBrcts{x-1}\\
\text{Разделим многочлен} \rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \\
\text{ на двучлен } \rndBrcts{x-1}\\
\text{при помощи схемы Горнера:}\\
\ \ \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ \ldots \ 0 \ -2 \ 1\\
1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ \ldots \ 1 \ -1 \ 0\\
\end{gathered}
\right ] = \\
= \lim\limits_{x \to 1}\frac{\rndBrcts{x-1}\rndBrcts{x^{2017}+x^{2016}\ldots+x^2+x-1}}{\rndBrcts{x-1}} = \\ = \lim\limits_{x \to 1}\rndBrcts{x^{2017}+x^{2016}+\ldots+x^2+x-1} = 2016$
</details>
</li>
</ol>
</section>

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры задач, в которых могут использоваться эквивалентные функции и символы Ландау. Читателю с целью самопроверки предлагается решить данные примеры самому, а затем сверить свое решение с приведенным.

  1. Найти предел $\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \rndBrcts{e^{x-1}-1}}{\rndBrcts{x-1}\sin{ \rndBrcts{x-1}}}.$
    Решение

    $\lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \rndBrcts{e^{x-1}-1}}{\rndBrcts{x-1}\sin{ \rndBrcts{x-1}}} = \\
    = \left[
    \begin{gathered}
    \text{При }x \to 1\\
    e^{x-1}-1 \sim x-1\\
    \sin{\rndBrcts{x-1}} \sim x-1\\
    \end{gathered}
    \right ] = \\
    = \lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{\rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \rndBrcts{x-1}}{\rndBrcts{x-1}\rndBrcts{x-1}} = \\
    = \lim\limits_{x \to 1}\displaystyle\frac{x^{2018}-2x+1}{x-1} = \\
    = \left[
    \begin{gathered}
    \rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \bigg|_{x=1} = 0 \\
    \Leftrightarrow \\
    \rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \vdots \rndBrcts{x-1}\\
    \text{Разделим многочлен} \rndBrcts{x^{2018}-2x+1} \\
    \text{ на двучлен } \rndBrcts{x-1}\\
    \text{при помощи схемы Горнера:}\\
    \ \ \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ \ldots \ 0 \ -2 \ 1\\
    1 \ 1 \ 1 \ 1 \ 1 \ \ldots \ 1 \ -1 \ 0\\
    \end{gathered}
    \right ] = \\
    = \lim\limits_{x \to 1}\frac{\rndBrcts{x-1}\rndBrcts{x^{2017}+x^{2016}\ldots+x^2+x-1}}{\rndBrcts{x-1}} = \\ = \lim\limits_{x \to 1}\rndBrcts{x^{2017}+x^{2016}+\ldots+x^2+x-1} = 2016$

Разметка доказательств

Предложенный выше класс для разметки доказательств хорошо работает только если все доказательство помещается в один абзац (тег Р). Для доказательств состоящих из нескольких абзацев следует использовать другой класс - proof. По ссылке https://jsfiddle.net/mazurok/bfjxuewv/24/ вы сможете найти пример использования (окно HTML) и как это выглядит. Если любопытно, то окне CSS можно посмотреть, как мы добились такого эффекта.

Переезд на другой хостинг

Добрый день!
В связи с повторным отключением нашего сайта из-за перегрузки сервера, мы вынуждены переехать на другой адрес к другому хостеру. К сожалению такой привлекательный сервис как hostinger.com на бесплатном акаунте не выдерживает более полусотни обращений к страничке. На платных ресурс обещают увеличить на 25%, что мало нам поможет. Мы ведь решили все дружно взяться за работу, правда?
Теперь наш датацентр будет находиться в США, а провайдером услуг выступает крупнейший регистратор доменов godaddy.com. На старом сайте будет ссылка для перенаправления на новый адрес. Все Ваши работы сохранились.
На будущее, если перебои снова возникнут (у godaddy.com или у Вас дома), советую не терять времени и работать на локальной домашней машине. Когда связь будет восстановлена перенести текст при помощи CtrlC/CtrlV много времени не займет.
Желаю успехов!