Лекции по алгебре и геометрии

Поля и многочлены

Отображения и алгоритмические структуры

Отображения, алгебраические операции, группы, кольца, поля (простейшие свойства)

Спойлер

[свернуть]

Комплексные числа

Построение поля комплексных чисел. Свойства операций. Корни из единицы.

Спойлер

[свернуть]

Многочлены над полем

Делимость многочленов. Корни многочленов. Основная теорема алгебры.

Спойлер

  • Многочлен от одной буквы над полем.
  • Степень многочлена.
  • Равенство многочленов.
  • Операции над многочленами.
  • Теорема об аддитивной группе многочленов.
  • Лемма о степени суммы двух многочленов.
  • Лемма о степени произведения двух многочленов.
  • Кольцо многочленов над полем.
  • Обратимые элементы.
  • Теорема о делении с остатком для многочленов.
  • Делимость многочленов.
  • Критерий делимости.
  • Свойства делимости.
  • НОД двух многочленов.
  • Алгоритм Евклида.
  • Линейное представление НОД.
  • Взаимно простые многочлены.
  • Критерий взаимной простоты.
  • Свойства взаимно простых многочленов.
  • Неприводимость над полем.
  • Свойства неприводимых многочленов.
  • Основная теорема о неприводимых многочленах.
  • Каноническое разложение многочлена над полем.
  • Корни многочлена.
  • Теорема Безу.
  • Алгоритм Горнера.
  • Производная многочлена и ее свойства.
  • Формула Тейлора.
  • Кратные корни многочлена.
  • Критерий кратности корня.
  • Основная теорема алгебры (б/д).
  • Следствия из основной теоремы для многочленов над полем C и над полем R.

[свернуть]

Линейные пространства

Матрицы и определители

Действия над матрицами. Свойства определителей и их применения (в частности к системам линейных уравнений). Групповые свойства матриц.

Спойлер

  • Системы линейных алгебраических уравнений.
  • Частное и общее решение.
  • Виды систем. Эквивалентность систем.
  • Элементарные преобразования системы.
  • Теорема об эквивалентности.
  • Метод Гаусса.
  • Матрицы. Виды матриц. Равенство матриц. Операции над матрицами.
  • Теорема об аддитивной группе матриц.
  • Лемма об ассоциативности умножения матриц.
  • Кольцо квадратных матриц.
  • Операция транспонирования матриц и ее свойства.
  • Определители n-го порядка.
  • Определители малых порядков.
  • Свойства определителей.
  • Критерий равенства определителя нулю.
  • Вычисление определителей приведением к треугольному виду.
  • Теорема Лапласа (б/д).
  • Теорема о разложении определителя по строке.
  • Теорема о «чужих дополнениях».
  • Теорема об умножении определителей.
  • Определитель Вандермонда.
  • Полная линейная группа.
  • Обратимость матриц.
  • Критерий обратимости.
  • Элементарные матрицы.
  • Теорема о приведении квадратной матрицы к диагональному виду при помощи элементарных матриц.
  • Теорема Крамера.

[свернуть]

Линейные пространства

Конечномерное линейное пространство, его свойства и структура.

Спойлер

  • Направленные отрезки.
  • Равенство направленных отрезков.
  • Операция сложения.
  • Аддитивная группа направленных отрезков.
  • Величина вектора на оси.
  • Лемма о величине суммы векторов.
  • Умножение направленного отрезка на вещественное число и его свойства.
  • Связь между операциями сложения и умножения векторов.
  • Абстрактное линейное пространство. Простейшие следствия из аксиом.
  • Подпространство.
  • Критерий подпространства.
  • Линейная комбинация, линейная оболочка системы векторов.
  • Лемма о транзитивности линейных комбинаций.
  • Линейная зависимость и независимость системы векторов.
  • Критерии ЛЗ и ЛНЗ.
  • Свойства ЛЗ и ЛНЗ систем.
  • Эквивалентные системы векторов.
  • Теорема сравнения.
  • База системы векторов, свойства.
  • Ранг системы векторов и его свойства.
  • Элементарные преобразования системы векторов.
  • Конечномерность.
  • Базис и размерность линейного пространства, свойства.
  • Координаты вектора в заданном базисе.
  • Переход к новому базису.
  • Суммы и пересечения подпространств.
  • Формула Грассмана.
  • Прямая сумма подпространств.
  • Критерии прямой суммы.
  • Изоморфизм линейных пространств, свойства.
  • Критерий изоморфности конечномерных пространств.
  • Арифметические пространства.
  • Понятие о линейном многообразии.
  • Простейшие свойства.
  • Размерность.
  • Факторпространство.
  • Гиперплоскость.

[свернуть]

Общая теория систем линейных алгебраических уравнений

Существование и структура решений систем линейных алгебраических уравнений.

Спойлер

  • Ранг матрицы.
  • Теорема о ранге матрицы.
  • Теорема о ранге произведения матриц.
  • Умножение на невырожденную матрицу.
  • Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли.
  • Общий подход к решению СЛАУ.
  • Теорема о числе решений СЛАУ над числовым полем.
  • Критерий определенности.
  • Структура общего решения однородной СЛАУ.
  • Фундаментальная система решений.
  • Структура общего решения неоднородной СЛАУ.

[свернуть]

Линейная геометрия

Линейные образы на плоскости и в пространстве

Системы координат. Аналитическая геометрия линейных объектов на плоскости и в пространстве. Произведение векторов (скалярное, векторное, смешанное).

Спойлер

  • Пространства направленных отрезков.
  • Условия линейной зависимости.
  • Аффинные и декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве.
  • Простейшие задачи аналитической геометрии:
    1. координаты вектора;
    2. координаты проекций вектора на оси координат и координатные плоскости;
    3. расстояние между двумя точками;
    4. угол между двумя векторами;
    5. деление отрезка в заданном отношении;
    6. ортогональные проекции вектора на прямую и плоскость.
  • Скалярное произведение векторов, свойства, координатное представление.
  • Векторное произведение векторов, свойства, координатное представление.
  • Смешанное произведение векторов, свойства, координатное представление.
  • Общее уравнение прямой на плоскости, частные виды уравнений, производные виды.
  • Каноническое уравнение прямой на плоскости и в пространстве, производные виды уравнений.
  • Общее уравнение плоскости, частные виды уравнений.
  • Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
  • Взаимное расположение прямой и плоскости.
  • Условия параллельности и перпендикулярности.
  • Углы между прямыми и плоскостями.
  • Уравнение прямой, задаваемой парой пересекающихся плоскостей.
  • Расстояние от точки до прямой (плоскости).
  • Нормальные уравнения прямой и плоскости.

[свернуть]

Эвклидовы пространства

Линейные пространства со скалярным произведением. Метрики в евклидовом пространстве.

Спойлер

  • Скалярное произведение в произвольном вещественном пространстве.
  • Следствия из аксиом.
  • Евклидово пространство.
  • Отношение ортогональности векторов.
  • Ортогональные системы векторов.
  • Теорема об ортогональной системе.
  • Нормированные векторы.
  • Ортонормированные системы, ортонормированные базисы.
  • Простейшие свойства.
  • Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.
  • Существование ОНБ.
  • Ортогональные множества.
  • Ортогональные подпространства.
  • Критерий ортогональности пространств.
  • Ортогональные суммы, лемма о прямоте.
  • Ортогональное дополнение, свойства.
  • Основная теорема о разложении евклидова пространства.
  • Неравенство Коши-Буняковского; случай равенства.
  • Измерения в евклидовом пространстве.
  • Понятие о метрическом пространстве.
  • Задача ортогонального проектирования на подпространство.
  • Геометрические и алгебраические свойства функций pr_L x и ort_L x.
  • Евклидов изоморфизм.
  • Критерий евклидовой изоморфности.
  • Определитель Грама и его свойства.
  • Критерий линейной зависимости.
  • Задача о пересечении гиперплоскостей.
  • Проекция вектора на гиперплоскость.
  • Понятие об унитарном пространстве.

[свернуть]

Линейные операторы и квадратичные формы

Линейные операторы в конечномерных пространствах

Свойства линейных отображений. Структура линейных операторов в комплексных пространствах. Жорданова нормальная форма матрицы.

Спойлер

  • Понятие линейного оператора.
  • Равенство операторов.
  • Операции над операторами.
  • Теорема об аддитивной группе операторов.
  • Линейное пространство линейных операторов.
  • Кольцо линейных операторов.
  • Операторный многочлен.
  • Кольцо операторных многочленов.
  • Образ и ядро линейного оператора.
  • Ранг и дефект.
  • Соотношение между рангом и дефектом.
  • Невырожденные операторы.
  • Теорема об условиях невырожденности оператора.
  • Мультипликативная группа линейных операторов.
  • Матрица линейного оператора.
  • Простейшие свойства.
  • Координатное равенство.
  • Соответствие между действиями над операторами и действиями над их матрицами.
  • Теорема об изоморфизме пространств операторов и матриц.
  • Изменение матрицы оператора при переходе к другому базису.
  • Эквивалентность матриц.
  • Критерии эквивалентности.
  • Подобие матриц.
  • Критерий подобия.
  • Собственные векторы.
  • Собственные подпространства линейного оператора.
  • Теорема о линейной независимости системы собственных векторов.
  • Спектр линейного оператора.
  • Собственные базисы.
  • Диагонализируемые операторы, критерий диагонализируемости.
  • Характеристический многочлен линейного оператора.
  • Матрица Фробениуса.
  • Инвариантные подпространства.
  • Индуцированный оператор и его свойства.
  • Теорема о характеристическом многочлене индуцированного оператора.
  • Леммы об операторном многочлене.
  • Треугольная форма матрицы оператора в комплексном пространстве.
  • Порог стабилизации ядер степеней оператора.
  • Разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств.
  • Теорема Гамильтона-Кели.
  • Построение канонического корневого базиса оператора.
  • Циклические подпространства.
  • Разложение корневого подпространства в прямую сумму циклических.
  • Жорданова клетка.
  • Жорданова нормальная форма матрицы оператора.
  • Теорема о ЖНФ.
  • Критерий подобия.
  • Практическое построение ЖНФ.

[свернуть]

Линейные операторы в унитарных пространствах

Сопряженный оператор и его свойства. Нормальные операторы. Специальные матрицы.

Спойлер

  • Сопряженный оператор: существование и единственность.
  • Свойства сопряженного оператора.
  • Сопряженная матрица.
  • Лемма о матрице сопряженного оператора в ОНБ.
  • Свойства сопряженной матрицы.
  • Двойственные базисы.
  • Теорема о матрице оператора в двойственном к данному базисе.
  • Следствие о собственных значениях сопряженного оператора.
  • Нормальные операторы.
  • Лемма Шура.
  • Лемма о перестановочных сопряженных треугольных матрицах.
  • Критерий нормальности.
  • Унитарные операторы.
  • Критерии унитарности.
  • Эрмитовы операторы.
  • Критерий эрмитовости.
  • Положительные операторы.
  • Критерий положительности.
  • Матрицы специального вида.

[свернуть]

Линейные, билинейные и квадратичные формы

Линейные формы. Сопряженное пространство. Билинейные формы и их матрицы. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Аффинная классификация квадратичных форм. Положительная определенность.

Спойлер

  • Линейные формы.
  • Понятие о сопряженном пространстве.
  • Теорема об изоморфизме.
  • Билинейные формы.
  • Пространство билинейных форм.
  • Матрица билинейной формы.
  • Закон изменения матрицы формы при переходе к новому базису.
  • Левое и правое ядро формы.
  • Теорема о размерности.
  • Квадратичные формы.
  • Полярная билинейная форма.
  • Матрица квадратичной формы и закон ее преобразования.
  • Ранг формы.
  • Канонический вид квадратичной формы, нормальный вид (вещественный случай).
  • Приведение квадратичной формы к главным осям.
  • Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
  • Закон инерции вещественных квадратичных форм.
  • Индексы инерции.
  • Аффинная эквивалентность квадратичных форм.
  • Критерий аффинной эквивалентности.
  • Положительная определенность квадратичных форм.
  • Критерии положительной определенности.

[свернуть]

Кривые и поверхности второго порядка

Классификация кривых и поверхностей второго порядка. Свойства.

Спойлер

  • Уравнение гиперповерхности второго порядка.
  • Приведение уравнения гиперповерхности к классификационному каноническому виду.
  • Эллипс. Каноническое уравнение. Простейшие свойства эллипса.
  • Гипербола. Каноническое уравнение. Простейшие свойства гиперболы.
  • Парабола. Каноническое уравнение. Простейшие свойства параболы.
  • Классификация кривых второго порядка.
  • Классификация поверхностей второго порядка.
  • Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
  • Простейшие свойства поверхностей.
  • Метод секущих плоскостей.

[свернуть]

Арифметика

Арифметика кольца целых рациональных чисел

Арифметические функции, конгруэнции, квадратичные остатки, первообразные корни.

Спойлер

  • Делимость целых чисел. Свойства делимости.
  • Теорема о делении с остатком.
  • НОД и НОК двух целых чисел, свойства.
  • Простые числа. Решето Эратосфена.
  • Теоремы о простых числах
  • Основная теорема арифметики.
  • Простейшие сведения о непрерывных дробях и их свойствах.
  • Арифметические функции.
  • Мультипликативность. Теоремы о мультипликативных функциях.
  • Функция Мебиуса.
  • Формула обращения Мебиуса.
  • Функция делителей.
  • Функция Эйлера.
  • Соотношение Гаусса.
  • Числовые сравнения. Свойства сравнений.
  • Полная и приведенная системы вычетов.
  • Кольцо классов вычетов по заданному модулю.
  • Теоремы Эйлера и Ферма.
  • Сравнения с неизвестным.
  • Теорема существования решения сравнения первой степени.
  • Системы сравнений первой степени.
  • Китайская теорема об остатках.
  • Сравнения по простому модулю.
  • Критерий Вильсона.
  • Квадратичные вычеты.
  • Символ Лежандра и его свойства.
  • Квадратичный закон взаимности.
  • Символ Якоби.
  • Первообразные корни по заданному модулю.
  • Теорема существования первообразного корня по простому модулю p, p^\alpha, 2p^\alpha.
  • Построение первообразных корней.
  • Дискретный логарифм и его свойства.
  • Приложения.

[свернуть]

Группы

Дополнительные начальные сведения о группах. Конечные циклические группы. Классы смежности группы по подгруппе. Факторгруппа.

Спойлер

  • Порядок элемента в группе. Свойства порядка элемента.
  • Теоремы о конечных циклических группах.
  • Циклические подстановки.
  • Разложение произвольной подстановки в произведение независимых циклов.
  • Вычисление порядка подстановки.
  • Изоморфизм групп. Теорема об изоморфизме циклических групп.
  • Теорема Кэли.
  • Смежные классы группы по подгруппе.
  • Индекс подгруппы.
  • Теорема Лагранжа.
  • Нормальные подгруппы, критерии нормальности.
  • Факторгруппа.

[свернуть]

Лекции по алгебре и геометрии: 4 комментария

  1. здраствуйте , почему поле комплексных чисел остальные глава не открываются?

  2. мне нравится ваш сайт, пожалуйста, если возможен доступ ко всем лекциям, не лишайте меня такого шанса. мне все материалы необходимы, так как у меня проблемы с алгеброй.

    1. Спасибо. Я рад, что Вам нравится. Все тексты находятся в открытом доступе. Пожалуйста, пользуйтесь. Только учтите, что все тексты написаны студентами первокурсниками. Может разумнее было бы воспользоваться одним из учебников перечисленных справа?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *