M689. Задача о равнобедренных трапециях и прямоугольнике

Условие

Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренных трапеций с основаниями $3$ см, $1$ см и высотой $1$ см, нельзя составить прямоугольник.

Рис. 1
Рис. 2

Решение

Предположим, что прямоугольник удалось составить из $n$ трапеций. Отметим точки, в которые попадают вершины трапеций, в том числе — четыре вершины прямоугольника. У каждой трапеции два острых угла (по $45^\circ$) и два тупых (по $135^\circ$), так что у всех $n$ трапеций вместе одинаковое число острых и тупых углов — по $2n$ .

рис. 3

рис. 4

рис. 5

С другой стороны, ясно, что в каждой из отмеченных точек расположена не меньше острых углов, чем тупых (если там есть один тупой угол, то есть по крайней мере один острый, а если — два тупых, то и два острых); при этом в вершинах прямоугольника могут оказаться острые углы трапеции. Таким образом, острых углов больше, чем тупых (по крайней мере, на 8).

Полученное противоречие доказывает невозможность составления прямоугольника из трапеций.

С. Рукшин

14.3 Условный экстремум

Определение. Пусть $f $– действительная функция, заданная на открытом множестве $E ⊂ R^n,$ $M-p$-мерное многообразие, содержащееся в $E$. В точке $x_0 ∈ M$ функция $f$ имеет условный максимум на многообразии $M,$ если существует такая окрестность $U ⊂ E$ точки $x_0,$ что для всех $x ∈ U ∩ M$ выполняется неравенство $f(x)≤f(x_0).$

Условный максимум называется строгим, если окрестность можно выбрать настолько малой, что для всех $x ∈ U ∩M,$ $x \ne x_0,$ будет выполнено строгое неравенство $f(x)< f(x_0).$ Аналогично определяется понятие условного минимума.

Пример. Пусть $f(x, y) = xy.$ В начале координат эта функция не имеет обычного экстремума, поскольку в любой окрестности начала координат она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Возьмем теперь многообразие $M_1 : y = x.$ На этом многообразии $f(x, y) = x^2$ и в точке $(0, 0)$ функция f имеет условный минимум на многообразии $M_1.$ Если взять $M_2 : y = −x,$ то на нем $f(x, y) = −x^2,$ и теперь функция $f$ имеет условный максимум в точке $(0, 0).$ Итак, функция f в начале координат не имеет экстремума, а на многообразиях $M_1$ и $M_2$ имеет условные минимум и максимум, соответственно.

 

Теорема (необходимое условие экстремума на многообразии). Пусть $f$– действительная функция, заданная на открытом множестве $E ⊂ R^n,$ содержащем многообразие $M$. Пусть в точке $x_0 ∈ M$ функция $f$ имеет условный экстремум и дифференцируема в этой точке. Тогда производная $f'{}(x_0)$ обращается в нуль на касательном пространстве $T_{x0}(M),$ т. е.$f'{} (x_0)·h = 0$ для любого $h ∈ T_{x0}(M).$

Доказательство.Пусть $h$ – касательный вектор, т. е. $h ∈ T_{x0}(M).$ Тогда существует такая функция $γ : R \to M,$ $γ(0) = x_0,$ что $γ'{}(0) = h.$ Рассмотрим функцию $g(t) = f(γ(t)) (t ∈ R).$ Если $f$ в точке $x_0$ имеет условный максимум, то при $t = 0$ функция $g$ имеет обычный локальный максимум. Функция $g$ дифференцируема в точке $t = 0$ и, по теореме о производной сложной функции,

$g'{}(0)= f'{}(γ(0))·γ'{} (0) = f'{}(x_0)·h$

С другой стороны, по теореме Ферма, $g'{}(0)=0.$ Итак, $f'{}(x_0)·h=0.$

Геометрический смысл теоремы. Предположим, что функция $f$ класса $C^1$ и рассмотрим множество

$H = ${$x:f(x)= f(x_0)$}

Это множество называется множеством уровня функции $f.$ Предположим, что $f'{}(x)\ne 0$ для всех $x ∈ H.$ Тогда получим, что $H – (n − 1)$- мерное многообразие, т. е. гиперповерхность. Касательное пространство к многообразию $H$ определяется как совокупность всех векторов $h,$ для которых выполнено равенство $f'{}(x_0)·h = 0.$ Доказанная теорема утверждает, что $p$-мерное подпространство $T_{x0}(M)$ содержится в $(n−1)$-мерной гиперплоскости $T_{x0}(H).$ Другими словами, касательная гиперплоскость к $H$ в точке $x_0$ содержит касательную $p$-плоскость к $M$ в этой точке.

Заметим, что доказанная теорема дает лишь необходимое условие экстремума. Можно показать, что достаточным оно не является.

Метод множителей Лагранжа. Пусть $M – p$-мерное многообразие, точка $x_0 ∈ M$ и в окрестности $U$ этой точки $M$ определено уравнением $ϕ(x) = 0,$ где $ϕ = (ϕ^1, …, ϕ ^{n−p} ),$ $rank$ $ϕ'{}(x) = n − p$ для любого $x ∈ U.$

Теорема. Пусть $f$ – действительная функция в некоторой окрестности многообразия $M,$ дифференцируемая в точке $x_0 ∈ M$ и имеющая в этой точке условный экстремум. Тогда существуют такие действительные числа $λ_1,…, λ_{n−p},$ что для функции

$F(x) = f(x) + λ_1ϕ^1(x) + … + λ_{n−p}ϕ^{n−p}(x)$

полная производная $F'{}(x_0) = 0.$

В силу предыдущей теоремы, $f'{}(x_0)·h = 0$ для любого $h ∈ T_{x0} (M).$ Это равносильно тому, что $grad$ $f(x_0)·h = 0$ для любого $h ∈ T_{x0} (M), $т. е. $grad$ $f(x_0)$ ортогонален к любому касательному вектору. Значит, этот градиент является нормальным вектором к многообразию $M$ в точке $x_0.$ Как известно, векторы $grad$ $ϕ^i (x_0) (i = 1, …, n − p)$ образуют базис в пространстве нормальных векторов. Значит, существуют числа $α_1, …, α_{n−p}$ такие, что

$grad$ $(f(x_0)) = α^1$ $grad$ $( ϕ^1 (x_0) + … + α_{n−p})$ $grad$ $(ϕ^{n−p} (x_0)).$

Обозначим $λ_i = −α_i, i = 1, …, n−p.$ Тогда видим, что для $F$ ее градиент $grad$ $F(x_0) = 0,$ а это равносильно тому, что $F'{}(x_0) = 0,$ и тем самым теорема доказана.

Числа $λ_1, …, λ_{n−p}$ называются множителями Лагранжа. Они определяются однозначно, так как являются координатами разложения вектора $grad$ $ f(x_0)$ по базису из векторов $grad$ $ϕ^i (x_0) (i = 1, …, n − p),$ взятых с противоположным знаком. Условие $rank $ $ϕ'{}(x) = n − p$ обеспечивает линейную независимость векторов $grad$ $ϕ^i (x_0) (i = 1, …, n − p).$

В качестве примера, иллюстрирующего метод множителей Лагранжа, рассмотрим следующую задачу. Найти расстояние от точки до гиперплоскости в пространстве $R^n.$

Решение

Гиперплоскость $H$ определяется уравнением

$ a_1x ^1 + … + a_nx^n = b,$

или в векторной форме $ax = b,$ где $a \ne 0,$ ибо, в противном случае, не получим гиперплоскость.

Пример. Пусть $x_0 ∈ R^n.$ Покажем, что расстояние от заданной точки $x_0$ до $H$ равно $d(x_0, H) = \frac{|ax_0−b|}{|a|}.$ Расстояние от $x_0$ до произвольной точки $x ∈ H$ выражается следующим образом:

Решение
$\sqrt{(x^1 − x^1_0 )^2 + … + (x^n − x^n_0 )^2}.$

Поэтому для нахождения минимума этих расстояний достаточно рассмотреть подкоренное выражение и найти его минимум.

Обозначим $f(x) = (x^1 − x^1_0 )^2 + … + (x^n − x^n_0 )^2 .$ Составим функцию Лагранжа

$ F(x) = f(x) + λ(ax − b) = f(x) + λ(a_1x^1 + … + a_nx ^n − b).$

Находим все частные производные функции $F$ и приравниваем их к нулю. Получаем

$ \left \{\begin{matrix} 2(x^1 − x^1_0 ) + λa_1 = 0,\\ ………………… \\ 2(x^n − x^n_0 ) + λa_n = 0, \\a_1x^1 + … + a_nx^n = b \end{matrix}\right.$

Последнее уравнение этой системы означает, что точка x лежит на гиперплоскости $H.$ Умножим $i$-е уравнение этой системы на $a_i (i = 1, …, n)$ и сложим первые $n$ уравнений. Тогда получим

$ 2 \sum_{i=1}^n (a_ix^i − a_ix^i_0 ) + λ\sum^n_{i=1} a^2_i = 0,$

или, учитывая последнее уравнение системы,

$ 2(b − ax_0) + λ|a|^2 = 0.$

Отсюда находим

$ λ = \frac{2(ax_0 − b)} {|a|^2}.$

Подставим найденное значение $λ$ в первые $n$ уравнений системы и получим

$2(x^i − x^i_0 ) = −a_i\frac{ 2(ax_0 − b) }{|a|^2} (i = 1, …, n).$

Каждое из этих равенств возведем в квадрат и сложим полученные равенства. Получим

$ f(x) = \frac{(ax_0 − b)^2} {|a|^2} ,$

а это и есть квадрат искомого расстояния.

Пример. Найти точки условного экстремума функции (если они есть) $f(x,y) = y_{2} — x_{2}$ при уравнении связи $y = 2x.$

Решение

Имеем $f(x, 2x) = 3x^{2},$ т.е. при выполнении уравнений связи данная функция является функцией одного переменного и достигает минимума при $x = 0.$
Значению $x = 0$ согласно уравнению связи соответствует значение $y = 0,$ а поэтому функция $f(x,y) = y_{2} — x_{2}$ имеет в точке $(0, 0)$ условный минимум относительно уравнения связи $y = 2x.$

Литература

Условный экстремум

Проверьте, насколько хорошо вы усвоили эту тему и закрепите свои знания по ней, пройдя тест.

7.6 Теоремы о среднем

Теорема 1 (первая теорема о среднем значении). Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $[a,b].$ Причем функция $g$ не меняет знак на $[a,b].$ Пусть $m=\displaystyle\inf_{x \in [a,b]}f(x), M = \displaystyle\sup _{x \in [a,b]}f(x).$ Тогда найдется такое число $\mu \in [m, M]$, что $$\int^b_a f(x)g(x)dx= \mu \int^b_a g(x)dx.$$

Геометрический смысл первой теоремы о среднем

Можем считать, что $a < b,$ т. к. если поменять местами $a$ и $b,$ то знаки обеих частей равенства поменяются на противоположные. Пусть $g(x) \ge 0.$ Неравенство $m \le f(x) \le M$ умножим на $g(x)$ и проинтегрируем от $a$ до $b.$ В силу монотонности и линейности интеграла получим $$m \int^b_a g(x)dx \le \int^b_a f(x)g(x)dx \le M \int^b_a g(x)dx.$$ Если $\int^b_a g(x)dx=0,$ то из этого неравенства видно, что утверждение теоремы справедливо при любом $\mu.$ Если же $\int^b_a g(x)dx>0,$ то положим $$\mu = \frac{\int^b_a f(x)g(x)dx}{\int^b_a g(x)dx}.$$ Тогда из полученного выше неравенства следует, что $m \le \mu \le M,$ и теорема доказана.

Случай $g(x) \le 0$ рассматривается аналогично.

Следствие. Если в условиях теоремы 1 функция $f$ непрерывна на $[a,b],$ то найдется такая точка $\xi \in [a,b],$ что $$\int^b_a f(x)g(x)dx = f( \xi )\int^b_a g(x)dx.$$ Действительно, в этом случае, по теореме Больцано — Коши о промежуточном значении, число $\mu$ является значением функции $f$ в некоторой точке $\xi \in [a,b].$

Лемма. Пусть функция $g$ интегрируема на отрезке $[a,b].$ Тогда функция $G(x)\equiv \int^x_a g(t)dt (a \le x \le b)$ равномерно непрерывна на $[a,b].$

Пусть $ x^{\prime}, x^{\prime\prime} \in [a,b], x^{\prime} < x^{\prime\prime}.$ Тогда $$G(x^{\prime\prime}) — G(x^{\prime}) = \int^{x^{\prime\prime}}_a g(t)dt — \int^{x^{\prime}}_a g(t)dt =$$ $$= \int^{x^{\prime}}_a g(t)dt + \int^{x^{\prime\prime}}_{x^{\prime}} g(t)dt — \int^{x^{\prime}}_a g(t)dt = \int^{x^{\prime\prime}}_{x^{\prime}} g(t)dt.$$ Поскольку $g$ интегрируема, то она ограничена, т. е. существует такое $M$, что $|g(t)| \le M$ для всех $t \in [a,b]$. Поэтому получаем $$|G(x^{\prime\prime}) — G(x^{\prime})| \le \int^{x^{\prime\prime}}_{x^{\prime}} |g(t)|dt \le M(x^{\prime\prime} — x^{\prime}).$$ Отсюда следует, что функция $G$ равномерно непрерывна на $[a,b].$

Теорема 2 (вторая теорeма о среднем значении). Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $[a,b],$ причем функция $f$ монотонна на $[a,b].$ Тогда существует точка $\xi \in [a,b],$ такая, что$$ \int^b_a f(x)g(x)dx = f(a) \int^{\xi}_a g(x)dx + f(b) \int^b_{\xi} g(x)dx. \qquad \qquad (7.3)$$

Геометрический смысл второй теоремы о среднем

Сначала предположим, что $f$ убывает на $[a,b]$ и неотрицательна. Возьмем произвольное разбиение $a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$ отрезка $[a,b].$ Тогда, по свойству аддитивности интеграла, $$I \equiv \int^b_a f(x)g(x)dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int ^{x_{i+1}}_{x_i} f(x)g(x)dx =$$ $$ = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \int ^{x_{i+1}}_{x_i} g(x)dx +$$ $$+ \sum_{i=0}^{n-1} \int^{x_{i+1}}_{x_i} [f(x) — f(x_i)]g(x)dx \equiv I’ + \rho.$$ Для оценки суммы $\rho$ воспользуемся тем, что интегрируемая функция $g$ ограничена, т.е. существует такое $M,$ что $|g(x)| \le M, x \in [a,b].$ Тогда получим $$| \rho | \le \sum^{n-1}_{i=0} \int^{x_i+1}_{x_i} |f(x) — f(x_i)||g(x)|dx \le M \sum^{n-1}_{i=0} \omega_i \Delta x_i, $$ где $\omega_i$ — колебания функции $f$ на $[x_i,x_{i+1}]$. Правая часть стремится к нулю при стремлении к нулю диаметра разбиения в силу критерия интегрируемости Римана. Следовательно, сумма $I^{\prime}$ стремится к интегралу $I$. Оценим $I^{\prime}$. Для этого обозначим $G(x) = \int^x_a g(t)dt.$ Получим $$I^{\prime} = \sum^{n-1}_{i=0} f(x_i)[G(x_{i+1}) — G(x_i)] = \sum^{n-1}_{i=0} f(x_i)G(x_{i+1}) -$$ $$- \sum^{n-1}_{i=0} f(x_i)G(x_i) = \sum^{n}_{i=1} f(x_{i-1})G(x_i) — \sum^{n-1}_{i=1} f(x_i)G(x_i) =$$ $$=f(x_{n-1})G(x_n) + \sum^{n-1}_{i=1} [f(x_{i-1}) — f(x_i)]G(x_i).$$ Мы воспользовались равенством $G(x_0) = G(a) = 0.$

Обозначим через $L$ и $U$ соответственно нижнюю и верхнюю грани функции $G$ на $[a,b].$ Поскольку, в силу леммы, функция $G$ непрерывна на $[a,b],$ то они существуют в силу первой теоремы Вейерштрасса. Учитывая также, что функция $f,$ по предположению, неотрицательна и монотонно убывающая, т.е. $f(x_{i-1} — f(x_i) \ge 0,$ получаем следующее неравенство: $$L \left[ f(x_{n-1}) + \sum^{n-1}_{i=1} [f(x_{i-1}) — f(x_i)] \right] \le $$ $$ \le I’ \le U \left[ f(x_{n-1}) + \sum^{n-1}_{i=1} [f(x_{i-1}) — f(x_i)] \right].$$ При этом мы использовали неравенство $L \le G(x_i) \le U.$ Поскольку, как легко видеть, сумма в квадратных скобках равна $f(x_0) = f(a),$ то полученное неравенство принимает вид $Lf(a) \le I^{\prime} \le Uf(a).$ Но поскольку $I^{\prime} \to I$ при $d(\Pi) \to 0,$ то отсюда получаем $Lf(a) \le I \le Uf(a).$ Разделив это неравенство на $f(a) > 0,$ получим $L \le \frac{I}{f(a)} \le U.$ Но поскольку функция $G$ непрерывна на $[a,b]$ в силу леммы, то найдется точка $\xi \in [a,b],$ такая, что $G(\xi) = \frac{I}{f(a)}.$ Отсюда следует, что $I = f(a)G(\xi),$ а учитывая определение функции $G,$ получаем равенство $$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(a) \int^{\xi}_a g(x)dx \quad (\xi \in [a,b]). \qquad \qquad (7.4)$$

Итак, равенство $(7.4)$ доказано нами в предположении, что функция $f$ убывает и неотрицательна. Рассмотрим теперь случай, когда $f$ убывает на $[a,b].$ Положим $\overline{f}(x) = f(x) -f(b).$ Тогда $\overline{f}$ убывает и неотрицательна. По доказанному, найдется точка $\overline{\xi},$ такая, что $$\int^b_a \overline{f}(x)g(x)dx = \overline{f}(a) \int^{\overline{\xi}}_a g(x)dx \quad (\overline{\xi} \in [a,b]).$$ Учитывая, что $\overline{f}(x) = f(x) — f(b),$ отсюда получаем $$\int^b_a [f(x) — f(b)]g(x)dx = [f(a) — f(b)] \int^{\overline{\xi}}_a g(x)dx,$$ или, тоже самое, $$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(a) \int^{\overline{\xi}}_a g(x)dx + f(b) \int^b_a g(x)dx -$$ $$-f(b)\int^{\overline{\xi}}_a g(x)dx = f(a) \int^{\overline{\xi}}_a g(x)dx + f(b) \int^b_{\overline{\xi}} g(x)dx.$$ Этим доказано равенство $(7.3).$

В случае когда функция $f$ возрастает и неотрицательна на $[a,b],$ аналогично тому, как было доказано равенство $(7.4),$ можно показать что существует такая точка $\xi,$ что $$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(b)\int^b_{\xi} g(x)dx. \qquad \qquad \qquad (7.5)$$ Далее, из $(7.5)$ легко можно получить $(7.3)$ точно так же, как и $(7.3)$ было получено из $(7.4).$

Замечание.

Формулы $(7.3) -(7.5)$ называются формулами Бонне. В этих равенствах точки $\xi,$ вообще говоря, разные. В самом деле, мы можем изменить функцию $f$ в точках $a$ и $b,$ сохранив при этом монотонность функции $f$. При этом левая часть $(7.3)$ не изменится, а изменение множителей $f(a)$ и $f(b)$ перед интегралами справа в $(7.3),$ очевидно, повлечет изменение значения $\xi$ справа в $(7.3).$

Вторую теорему о среднем иногда записывают в следующем виде: $$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(a+0) \int^{\xi’}_a g(x)dx + f(b — 0) \int^b_{\xi’} g(x)dx.$$ В этом равенстве точка $\xi’,$ вообще говоря, не совпадает со значением $\xi$ в равенстве $(7.3).$

Примеры применения теорем о среднем

1.Найти $$ \lim_{n \to \infty} \int^{1}_{0} \frac{x^n}{1+x} dx.$$

Оценим $$0 \le \int^{1}_{0} \frac{x^n}{1+x}dx \le \int^{1}_{0} x^n dx = \frac{1}{n+1}.$$ Отсюда получаем $$ \lim_{n \to \infty} \int^{1}_{0} \frac{x^n}{1+x} dx = 0.$$

2.Найти $$ \lim_{n \to \infty} \int ^{\frac{\Pi}{2}}_{0} \sin^n xdx.$$

Зафиксируем $ \xi > 0.$ Тогда получим $$ \int^{\frac{\Pi}{2}}_{0} \sin^n xdx = \int^{\frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2}}_{0} \sin^n xdx + \int^{\frac{\Pi}{2}}_{\frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2}} \sin^n xdx \le$$ $$\le \left( \sin \left(\frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2} \right) \right)^n \frac{\Pi}{2} + \frac{\xi}{2}.$$ Поскольку $ \sin \left( \frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2} \right) < 1 ,$ то первое слагаемое справа стермится к нулю при $n \to \infty .$ Поэтому найдется такое $N,$ что для всех $n \ge N$ справедливо неравенство $$ \left( \sin \left( \frac{\Pi}{2} — \frac{\xi}{2} \right) \right)^n \frac{\Pi}{2} < \frac{\xi}{2}.$$ Итак, для заданного $\xi > 0$ мы нашли номер $N,$ начиная с которого $$\int^{\frac{\Pi}{2}_{0}} \sin^n xdx < \xi .$$ Это означает, что $$\lim_{n \to \infty} \int^{\frac{\Pi}{2}}_{0} \sin^n xdx = 0.$$

3. Оценить сверху $$I \equiv \int^{1}_{0} \frac{\sin x }{1 + x^2} dx.$$

Первый способ. Применяя первую теорему о среднем, получаем $$I = \frac{1}{1 + \xi^2} \int^{1}_{0} \sin x dx = \frac{1}{1 + \xi^2}(-\cos x) |^1_0 =$$ $$=\frac{1}{1 + \xi^2}(1 — \cos 1) \le 1 -\cos 1.$$

Второй способ. В силу первой теоремы о среднем имеем $$I = \sin \eta \int^1_0 \frac{dx}{1 + x^2} = \sin \eta \quad \text{arctg} x |^1_0 = \frac{\Pi}{4} \sin \eta \le \frac{\Pi}{4} \sin 1.$$

4. Оценить интеграл $$I \equiv \int^B_A \frac{\sin x}{x}dx, \quad 0 < A < B < +\infty .$$

Первый способ. Применим вторую теорему о среднем. Для этого обозначим $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = \sin x.$ Функция $f$ монотонна на $[A,B],$ так что во второй формуле Бонне получаем $$I = \frac{1}{A} \int^{\xi}_{A} \sin xdx = \frac{1}{A} (-\cos x) \bigg|^{\xi}_{A} = \frac{1}{A}(\cos A — \cos \xi ).$$ Отсюда следует, что $|I| \le \frac{2}{A}$.

Второй способ. Применяя первую теорему о среднем, получим $$I = \sin \xi \int^B_A \frac{dx}{x} = \sin \xi ln \frac{B}{A}.$$ Отсюда следует, что $|I| \le ln \frac{B}{A}$.

5. Показать, что если $f \in R[a,b],$ где $R$ — класс интегрируемых на отрезке, $m = \displaystyle\inf_{[a,b]} f(x),$ $M = \displaystyle\sup_{[a,b]} f(x),$ то при условии непрерывности $f$ на $[a,b]$ найдется точка $\xi \in [a,b],$ такая что $\int^b_a f(x)dx = f(\xi )(b-a).$

Решение

Воспользуемся первой теоремой о среднем, тогда можем представить $$\int^b_a f(x)dx = \int^b_a f(x)g(x)dx,$$ где $g(x) =1,$ Тогда $$\int^b_a f(x)g(x)dx = f(\xi)\int^b_a 1dx = f(\xi)(b — a),$$

6. Найти среднее значение функции $y = x^2 -5x + 7$ на отрезке $[2,13].$

Решение

Воспользуемся выше упомянутой формулой и подставим в нее известные значения: $$ f(\xi) = \frac{\int^{13}_2 (x^2 — 5x + 7)dx}{13 — 2} = \frac{1}{11}\int^{13}_2 (x^2 -5x +7)dx =$$ Вычислим интеграл: $$ = \frac{1}{11} \left(\frac{x^3}{3} — 5\frac{x^2}{2} + 7x\right) \bigg|^{13}_2 = $$ Используем формулу Ньютона — Лейбница и найдем значение полученного выражения: $$ = \frac{1}{11}\left( \frac{13^3}{3} — 5\frac{13^2}{2} + 7 \cdot 13 — \left( \frac{2^3}{3} — 5\frac{2^2}{2} + 7\cdot 2 \right) \right) = $$ Упростим выражение и вычислим его результат: $$ = \frac{1}{11} \left( \frac{2197}{3} -\frac{845}{2} + 91 — \frac{8}{3} + 10 — 14 \right) = $$ $$ = \frac{1}{11} \left( \frac{2189}{3} — \frac{845}{2} + 87 \right) = \frac{1}{11} \cdot \frac{4378 — 2535 +522}{6} = \frac{2365}{66}$$ Получили среднее значение функции $y = x^2 -5x +7$ на отрезке $[2, 13]$ равным $\frac{2365}{66}$.

Смотрите также

Теоремы о среднем

Пройдите этот тест чтобы проверить свои знания по теме «теоремы о среднем».

8.3 Длина пути

Определение. Путем на плоскости называется отображение $t\mapsto\left(\varphi\left(t\right),\psi\left(t\right)\right)$ отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$ в $\mathbb{R}^{2}$, задаваемое парой непрерывных функций $\varphi$ и $\psi$.

Это означает, что каждому значению $t\in\left[\alpha,\beta\right]$ ставится в соответствие точка плоскости с координатами $\left(x,y\right)$, где $x=\varphi\left(t\right)$, $y=\psi\left(t\right)$.

Точка $\left(\varphi\left(\alpha\right),\psi\left(\alpha\right)\right)$ называется началом пути, а точка $\left(\varphi\left(\beta\right),\psi\left(\beta\right)\right)$ — концом пути. Множество всех точек $\left\{\left(\varphi\left(t\right),\psi\left(t\right)\right)\in \mathbb{R}^{2}:t\in\left[\alpha,\beta\right]\right\}$ называется следом пути.

Пусть $\Pi$ – произвольное разбиение отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$ точками $\alpha=t_{0}<t_{1}<…<t_{n}=\beta$. Обозначим $x_{i}=\varphi\left(t_{i}\right)$, $y_{i}=\psi\left(t_{i}\right)$ и составим сумму $l_{\Pi}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left(x_{i+1}-x_{i}\right)^2+\left(y_{i+1}-y_{i}\right)^{2}}$. С геометрической точки зрения эта сумма представляет собой длину ломаной с вершинами $\left(x_{i},y_{i}\right)$, вписанной в след пути.

Определение. Длиной пути называется $sup_{\Pi}l_{\Pi}$, где верхняя грань берется по всевозможным разбиениям $\Pi$ отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$. Сам путь обозначается через $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$, а его длина через $l_{\left(\gamma\right)}$. Если $l_{\left(\gamma\right)}<\infty$, то путь $\gamma$ называется спрямляемым.

Теорема (достаточное условие спрямляемости). Если путь $\gamma$ определяется уравнениями $x=\varphi\left(t\right)$, $y=\psi\left(t\right)$, $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$, где $\varphi\left(t\right)$ и $\psi\left(t\right)$ непрерывно дифференцируемые функции на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$, то этот путь спрямляем.

Для любого разбиения $\Pi$: $\alpha=t_{0}<t_{1}<…<t_{n}=\beta$ отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$, применяя теорему Лагранжа, получим

$$l_{\Pi}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i+1}\right)-\varphi\left(t_{i}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i+1}\right)-\psi\left(t_{i}\right)\right]^{2}}=$$
$$=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(\overline{\tau_{i}}\right)\right]^{2}}\Delta t_{i},$$
где точки  $\tau_{i}$, $\overline{\tau_{i}}\in\left[t_{i},t_{i+1}\right]$. По условию функции $\varphi^{\prime}\left(t\right)$ и $\psi^{\prime}\left(t\right)$ непрерывны на $\left[\alpha,\beta\right]$, а значит, ограничены, т. е. существует такая постоянная $M$, что $\mid\varphi^{\prime}\left(t\right)\mid\leqslant M$, $\mid\psi^{\prime}\left(t\right)\mid\leqslant M$ для всех $t\in\left[\alpha,\beta\right]$. Поэтому получаем
$$l_{\Pi}\leqslant M\sqrt{2}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\Delta t_{i}=M\sqrt{2}\left(\beta-\alpha\right),$$
так что $l_{\left(\gamma\right)}=sup_{\Pi}l_{\Pi}<\infty$, т. е. путь $\gamma$ спрямляем.

Если функции $\varphi$ и $\psi$ непрерывно дифференцируемы на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$, то путь $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$ называется дифференцируемым, или путем класса $C^{1}$.

Теорема (вычисление длины пути). Пусть $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$ непрерывно дифференцируемый путь на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$. Тогда
$$l_{\gamma}=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(t\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(t\right)\right]^{2}}dt \tag{8.1}.$$

Пусть $\Pi$ : $\alpha=t_{0}<t_{1}<…<t_{n}=\beta$ — некоторое разбиение отрезка $\left[\alpha,\beta\right]$. Предположим, что мы добавили к нему одну точку $t^{\prime}\in\left[t_{i},t_{i+1}\right]$, в результате чего получили новое разбиение $\Pi^{\prime}$. Тогда $l_{\Pi}\leqslant l_{\Pi^{\prime}}$. Действительно, в суммах $l_{\Pi}$ и $l_{\Pi^{\prime}}$ будут одинаковые слагаемые, кроме слагаемых, отвечающих отрезку $\left[t_{i},t_{i+1}\right]$. В сумме $l_{\Pi}$ этому отрезку отвечает слагаемое

$$s_{i}=\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i+1}\right)-\varphi\left(t_{i}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i+1}\right)-\psi\left(t_{i}\right)\right]^{2}},$$
а в сумме $l_{\Pi^{\prime}}$ вместо него будут два следующих слагаемых:
$$s^{\prime}_{i}+s^{\prime\prime}_{i}=\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i+1}\right)-\varphi\left(t^{\prime}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i+1}\right)-\psi\left(t^{\prime}\right)\right]^{2}}+$$
$$+\sqrt{\left[\varphi\left(t_{i}\right)-\varphi\left(t^{\prime}\right)\right]^2+\left[\psi\left(t_{i}\right)-\psi\left(t^{\prime}\right)\right]^{2}}.$$
Из неравенства треугольника легко видеть, что $s_{i}\leqslant s^{\prime}_{i}+s^{\prime\prime}_{i}.$

Таким образом, при измельчении разбиения суммы $l_{\Pi}$ не уменьшаются. Кроме того, по предыдущей теореме, путь $\gamma$ спрямляем, так что для любого $\varepsilon >0$ найдется такое разбиение $\Pi_{0}$, что $l_{\left(\gamma\right)}\geqslant l_{\Pi_{0}}>l_{\left(\gamma\right)}-\varepsilon$. Поэтому для любого разбиения $\Pi$, которое является измельчением разбиения $\Pi_{0}$, также справедливо неравенство
$$l_{\left(\gamma\right)}-\varepsilon<l_{\Pi}\leqslant l_{\left(\gamma\right)}. \tag{8.2}$$

Осталось показать, что при стремлении к нулю диаметра разбиения суммы $l_{\Pi}$ сремятся к интегралу, записанному справа в $(8.1)$. Как мы видели выше,
$$l_{\Pi}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(\overline{\tau_{i}}\right)\right]^{2}}\Delta t_{i}.$$
Эта сумма отличается от интегральной суммы для интеграла справа в $(8.1)$ тем, что значения функций $\varphi^{\prime}$ и $\psi^{\prime}$ берутся в разных точках. Применим очевидное неравенство
$$\mid\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{a^{2}+b^{-2}}\mid\leqslant\frac{\mid b^{2}-b^{-2}\mid}{\mid b\mid+\mid \overline{b}\mid}\leqslant\mid b-\overline{b}\mid,$$
справедливое для любых чисел $a,b$ и $\overline{b}.$ Тогда получим
$$\mid l_{\Pi}-\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\right]^{2}}\Delta t_{i}\mid\leqslant$$
$$\leqslant\sum\limits_{i=0}^{n-1}\mid\psi^{\prime}\left(\overline{\tau_{i}}\right)-\psi^{\prime}\left(\tau_{i}\right)\mid\Delta t_{i}\leqslant\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_{i}\left(\psi^{\prime}\right)\Delta t_{i},$$
где $\omega_{i}\left(\psi^{\prime}\right)$ — колебание функции $\psi^{\prime}$ на отрезке $\left[t_{i},t_{i+1}\right]$. Так как функция $\psi^{\prime}$ непрерывна, то она интегрируема на $\left[\alpha,\beta\right]$. В силу критерия интегрируемости в терминах колебаний имеем $\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_{i}\left(\psi^{\prime}\right)\Delta t_{i}\rightarrow 0$ при стремлении к нулю диаметра разбиения.

Итак, мы получили, что если только диаметр разбиения достаточно мал, то сумма $l_{\Pi}$ мало отличается от интегральной суммы, соответствующей интегралу справа в $(8.1)$. Поэтому из $(8.2)$ следует $(8.1)$, и теорема доказана.

Пример. Вычислить длину одной арки циклоиды $x=a\left(t-\sin t\right)$, $y=a\left(1-\cos t\right)$, $0\leqslant t\leqslant 2\pi$, где параметр $a>0$.

Имеем
$$x^{\prime}\left(t\right)=a\left(1-\cos t\right),$$
$$l=a\int\limits_{0}^{2\pi} \sqrt{\left(1-\cos t\right)^{2}+\sin ^{2}t}dt=a\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\cos t}dt=$$
$$=2a\int\limits_{0}^{2\pi} \mid\sin\frac{t}{2}\mid dt=-2a\cdot2\cos\frac{t}{2}\mid^{2\pi}_{0}=8a.$$

Путь $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$ на отрезке $\left[\alpha,\beta\right]$ называется жордановым, или простым путем, если отображение $\gamma:\left[\alpha,\beta\right]\mapsto \mathbb{R}^{2}$ взаимно однозначно. Это означает, что различным точкам $t^{\prime},t^{\prime\prime}\in\left[\alpha,\beta\right]$ соответствуют различные точки на плоскости.

Множество $\Gamma$ на плоскости называется жордановой, или простой кривой, если оно является следом некоторого жорданового пути. Каждый такой жорданов путь называется параметризацией жордановой кривой $\Gamma.$

Если есть две различных параметризации $\gamma_{1}:\left[\alpha,\beta\right]\rightarrow\Gamma$ и $\gamma_{2}:\left[a,b\right]\rightarrow\Gamma$ одной и той же жордановой кривой $\Gamma$, то $\gamma_{2}=\gamma_{1}\circ\tau$, где $\tau$ — некоторая строго монотонная и непрерывная функция, переводящая отрезок $\left[a,b\right] $в $\left[\alpha,\beta\right]$. Это означает, что любые две параметризации жордановой кривой могут быть получены одна из другой с помощью непрерывной и строго монотонной замены параметра.

Пример. Пусть $\Gamma=\left\{\left(x,y\right):x+y=1,x,y\geqslant0\right\}$. Приведем примеры параметризаций

      $1) x=\cos^{2}u$, $y=\sin^{2}u$, $0\leqslant u\leqslant \frac{\pi}{2},$
      $2) x=t$, $y=1-t$, $0\leqslant t\leqslant 1.$

Можно, например, выразить $t$ через $u$ следующим образом: $t=\cos^{2}u$. Данная функция убывает на $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.

Пользуясь тем фактом, что две параметризации одной и той же жордановой кривой могут быть получены одна из другой с помощью строго монотонной и непрерывной замены параметра, можно легко доказать, что для любых двух путей, являющихся параметризациями одной и той же жордановой кривой $\Gamma$, спрямляемость одного из этих путей влечет спрямляемость другого и равенство их длин.

Определение. Жорданова кривая $\Gamma$ называется спрямляемой, если спрямляемы ее параметризации. Длиной жордановой кривой $\Gamma$ называется длина любой из ее параметризаций.

Если у жордановой кривой $\Gamma$ есть хотя бы одна непрерывно дифференцируемая параметризация $\gamma=\left(\varphi,\psi\right)$, то эта кривая спрямляема, а ее длина выражается равенством
$$l\left(\Gamma\right)=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left[\varphi^{\prime}\left(t\right)\right]^2+\left[\psi^{\prime}\left(t\right)\right]^{2}}dt.$$

Как частный случай рассмотрим следующий вопрос: как определить длину графика функции?

Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$ задана непрерывно дифференцируемая функция $f$. Обозначим через $\Gamma$ ее график, т. е. $\Gamma=\left\{\left(x,y\right);y=f\left(x\right),a\leqslant x\leqslant b\right\}$. Тогда $\Gamma$ является жордановой кривой, поскольку это – след жорданова пути, параметризация которого может быть задана, например, уравнениями $x=t,y=f\left(t\right)\left(a\leqslant t\leqslant b\right)$. Поэтому при наших предположениях это спрямляемый путь и его длина равна
$$l\left(\Gamma\right)=\int\limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}dx.$$

Итак, мы получили формулу для длины кривой, заданной явным уравнением $y=f\left(x\right)\left(a\leqslant x\leqslant b\right).$

Примеры решения задач

Вычислить длины дуг, заданными следующими уравнениями.

  1. $y=\sqrt{x^{3}}$, $a=0$, $b=1$
    Решение

    $l=\int\limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1+\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}\right)^{2}}\text{d}x=\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1+\frac{9}{4}x}\text{d}x=$
    $=\frac{4}{9}\int_{0}^{1} \left(1+\frac{9}{4}x\right)^{\frac{1}{2}}\text{d}\left(1+\frac{9}{4}x\right)=\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}\left(1+\frac{9}{4}x\right)^{\frac{3}{2}}\mid^{1}_{0}=$
    $=\frac{8}{27}\sqrt{\left(1+\frac{9}{4}x\right)^{3}}\mid^{1}_{0}=\frac{8}{27}\sqrt{\left(1+\frac{9}{4}\right)^{3}-\left(1+0\right)^{3}}=\frac{8}{27}\left(\sqrt{\left(\frac{13}{4}\right)^{3}}-1\right)$

  2. $y=e^{x}+6$, $\ln\sqrt{8}\leqslant x\leqslant\ln\sqrt{15}$
    Решение

    $l=\int\limits_{\ln\sqrt{8}}^{\ln\sqrt{15}} \sqrt{\left(y^{\prime}\right)^{2}+1}\text{d}x=\int\limits_{\ln\sqrt{8}}^{\ln\sqrt{15}} \sqrt{e^{2x}+1}\text{d}x=$
    $=\begin{bmatrix}t^{2}=e^{2x}+1 \\\text{d}x=\frac{t}{t^{2}-1} \end{bmatrix}=\int\limits_{3}^{4} \frac{t^{2}-1+1}{t^{2}-1}\text{d}t=\int\limits_{3}^{4} \text{d}t + \int\limits_{3}^{4} \frac{\text{d}t}{t^{2}-1}=$
    $=1+\frac{1}{2}\ln\mid\frac{t-1}{t+1}\mid\mid^{4}_{3}=1+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{6}{5}\right)$

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.1. Одесса, «Астропринт», 2010, стр 247-252
  3. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 13-ое издание, Московского университета, 1997, стр. 234-236

8.5 Площадь поверхности тела вращения

Пусть на отрезке $\left[a,b\right]$ задана неотрицательная непрерывно дифференцируемая функция $f$. Будем вращать ее график вокруг оси $Ox$. В результате получим некоторую поверхность. Выведем формулу для вычисления ее площади.

Рассмотрим разбиение отрезка $\left[a,b\right]$ точками $a = x_{0} < x_{1} < . . . < x_{n}$. Вращая криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции $y = f(x), x_{i} \leqslant x \leqslant x_{i+1}$, получим усеченный «конус» с образующей $y = f(x)$ и радиусами оснований $f(x_{i})$ и $f(x_{i+1})$. Соединим точки $\left(x_{i},f\left(x_{i}\right)\right)$ и $\left(x_{i+1},f\left(x_{i+1}\right)\right)$ отрезком. В результате вращения получим усеченный конус с теми же радиусами оснований и этим отрезком в качестве образующей. Площадь боковой поверхности этого конуса равна
$$2\pi\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}l_{i},$$
где $l_{i}=\sqrt{\left(\Delta x_{i}\right)^{2}+\left(f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_{i}\right)\right)^{2}}$ — длина образующей. Складывая, получаем
$$\sigma\equiv2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}l_{i}}.$$

При стремлении к нулю диаметра разбиения сумма σ стремится к определенному пределу, который естественно считать площадью поверхности вращения. С другой стороны, если в выражении для $l_{i}$ применить формулу Лагранжа, то получим
$$\sigma=2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\frac{f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{i+1}\right)}{2}\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\right]^{2}}\Delta x_{i}},$$
где $\xi_{i}\epsilon\left[x_{i},x_{i+1}\right]$. Заменим в правой части $x_{i}$ и $x_{i+1}$ на $\xi_{i}$ и оценим погрешность. Имеем
$$\mid\sigma-2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}{f\left(\xi_{i}\right)}\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(\xi_{i}\right)\right]^{2}}\Delta x_{i}\mid\leqslant2\pi\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_{i}\sqrt{1+M^{2}}\Delta x_{i}$$
где $ω_{i}$ – колебание функции $f$ на $\left[x_{i},x_{i+1}\right]$, а $M$ – верхняя грань функции $\mid f^{\prime}\mid$ на $\left[a,b\right]$. Из условий на функцию $f$ следует, что правая часть стремится к нулю вместе с диаметром разбиения. Поэтому сумма $\sigma$ стремится к $2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}{\text{d}x}$.

Итак, получили следующую формулу для нахождения площади поверхности вращения:
$$S=2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}}{\text{d}x}.$$

Примеры решения задач

  1. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси $Ox$ дуги кубической параболы $y=x^{3}$, заключенной между прямыми $x=0$ и $x=1$.
    Решение

    $P=2\pi\int\limits_{a}^{b} f\left(x\right)\sqrt{1+\left(f^{\prime}\left(x\right)\right)^{2}}dx=2\pi\int\limits_{0}^{1}x^{3}\sqrt{1+\left(3x^{2}\right)^{2}}dx=$
    $=2\pi\int\limits_{0}^{1}x^{3}\sqrt{1+9x^{4}}dx=\begin{bmatrix}t=1+9x^{4} \\dt=36x^{3}dx \end{bmatrix}=$
    $=2\pi\int\limits_{1}^{10} \sqrt{t}\frac{\text{d}t}{36}=\frac{\pi}{18}\int\limits_{1}^{10} \sqrt{t}{\text{d}t}=\frac{\pi}{18}\cdot\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}\mid^{10}_{1}=\frac{\pi}{27}\left(10\sqrt{10}-1\right)$

  2. Вычислить площадь поверхности, которая образована вращением кривой $y^{2}=4+x$, которая отсекается прямой $x=2$ вокруг оси $Ox$.
    Решение

    $P=2\pi\int\limits_{a}^{b} \psi\left(t\right)\sqrt{\left(\varphi^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}+\left(\psi^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}}=2\pi\int\limits_{-4}^{2} y\sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^2}\text{d}x=$
    $=2\pi\int\limits_{-4}^{2} \sqrt{\left(4+x\right)\left(1+\frac{1}{4(4+x)}\right)}\text{d}x=\pi\int\limits_{-4}^{2} \sqrt{17+4x}{\text{d}x}=$
    $=\frac{\pi}{6}\left(125-1\right)=\frac{62}{3}\pi$

  3. Вычислить площадь поверхности тела вращения, заданными такими уравнениями: $x\left(t\right)=3\cos t$, $y\left(t\right)=3\sin t$.
    Решение

    $P=2\pi\int\limits_{a}^{b} y\left(t\right)\sqrt{\left(x^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}+\left(y^{\prime}\left(t\right)\right)^{2}}\text{d}x=2\pi\int\limits_{0}^{\pi} 3\sin t\cdot3\text{d} t=$
    $=\frac{\pi}{6}\left(17+4x\right)^{\frac{3}{2}}\mid^{2}_{-4}=-18\pi \left(\cos t\right)\mid^{\pi}_{0}=-18\pi\cdot\left(\cos \pi-\cos 0\right)\mid^{\pi}_{0}=$
    $=-18\pi\left(-1-1\right)=36\pi$

Площадь поверхности тела вращения

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме.

  1. Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу
  2. В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу т.1. Одесса, «Астропринт», 2010, стр 253-254
  3. Б.П.Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 13-ое издание, Московского университета, 1997, стр. 419-421