Пусть функции $latex f(x)$ и $latex g(x)$ удовлетворяют следующим условиям:

1. $latex f,g \in R[a,b]$
2. $latex \exists\;m,M:\;m\leqslant f(x)\leqslant M\forall\;x\in [a,b]$
3. $latex g(x)$ не меняет знак на $latex [a,b]$

Тогда

$latex \exists\;\mu\in[m,M]:\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=\mu\int_{a}^{b}g(x)dx$.

Следствие

Если $latex f(x)$ непрерывна на $latex [a,b]$, $latex g \in R[a,b]$ и не меняет знак на $latex [a,b]$, то $latex \exists\;c\in [a,b]:\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int_{a}^{b}g(x)dx$. В частности, если $latex g(x)=1$, то

$latex \exists\;c\in[a,b]:\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$.

Примеры

1)Найти среднее значение функции $latex y=2x+3$, заданной на отрезке $latex [2,5]$, а также значение аргумента, в котором оно достигается.

2)Доказать неравенство: $latex \frac{1}{10\sqrt{2}}\leqslant\int_{0}^{1}\frac{x^{9}dx}{\sqrt{1+x}}\leqslant\frac{1}{10}$

Литература

• З.М. Лысенко. Конспект лекций по математическому анализу, 1 семестр.: О. 2012
• Б.П. Демидович и др. Задачи и упражнения по математическому анализу. Издание девятое. Стр. 196-198: М. Наука. — 1977, 528 стр.
• В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть 1. Издание четвертое. Стр. 336-341: М. Наука. — 1982, 616 стр.
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. Издание седьмое. Стр. 113-115: М. Наука. — 1969, 800 стр.

Смотрите так же на википедии

• Определенный интеграл
• Первая теорема о среднем
• Вторая теорема о среднем

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест на тему интегральная теорема о среднем

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Вычислить среднее значение функции $latex y=\frac{36}{\pi}\cdot \frac{1}{x^{2}-4x+8}$ на отрезке $latex [2,4]$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Вычислить среднее значение функции $latex y=cos^{2}x$ на отрезке $latex [0,\pi]$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Установить соответствие между функцией и ее средним значением на заданном промежутке.

   Элементы сортировки

   • 4
   • 1
   • $\frac{1}{2}$

   • $y=3x^{2},\;x\in[0,2]$

   • $y=2^{-x}ln2,\;x\in[-1,0]$

   • $y=\frac{1}{\sqrt{2x+1}},\;x\in[0,4]$

   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Пусть для функций $latex f$ и $latex g$ выполняются условия теоремы о среднем. Тогда:

   • $f$ - интегрируема на отрезке $[a,b]$
   • $g$ - интегрируема на отрезке $[a,b]$
   • $f$ - не ограничена на отрезке $[a,b]$
   • $f(x)=g(x)\;\forall\;x\in[a,b]$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   В качестве частного случая теоремы о среднем рассматривают случай $latex g(x)=$

   • (1)
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Выберете более полный набор условий необходимых для выполнения теоремы о среднем:

   • f - дифференцируема на (a,b) f и g - дифференцируемы на (a,b)

   Правильно
   

   Неправильно
   

Свойства определенного интеграла, связанные с неравенствами включают в себя следующие 4 свойства:

1. Свойство 1 (интеграл от положительной функции)

2. Свойство 2 (свойство монотонности интеграла)

3. Свойства 3 и 4 (оценка модуля интеграла)

Также после ознакомления со всеми свойствами вы можете пройти тест на знание вышеупомянутых свойств.

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест на тему свойства определенного интеграла связанные с неравенствами

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Вычислить $latex sgn\left(\int\limits_{1}^{2}e^{x^{2}}dx\right)$

   • -1
   • 0
   • 1
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 5

   2.

   Верно ли равенство $\int\limits_{0}^{1}e^{-x^{2}}dx=-\frac{1}{2}$?

   • Верно
   • Неверно
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 5

   3.

   Расположить в порядке возрастания следующие интегралы:

   • $\int\limits_{0}^{1}3^{-x}dx$
   • $\int\limits_{0}^{1}e^{x}dx$
   • $\int\limits_{0}^{1}(x+1)dx$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 5

   4.

   Вычислить $latex sgn\left (\int\limits_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi}\sin{x}dx\right)$

   • -1
   • 0
   • 1
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 5

   5.

   Какие из перечисленных интегралов положительны:

   • $\int\limits_{-1}^{1}(1-x^{2})dx$
   • $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1+\cos^{2}x}\;dx$
   • $\int\limits_{1}^{3}\log_{\frac{1}{3}}xdx$
   • $\int\limits_{1}^{3}(1-x^{2})dx$
   • $\int\limits_{-2}^{0}\frac{xdx}{4x^{2}+5}$
   Правильно
   

   Неправильно
   

Литература

• Лысенко З.М.. Конспект лекций по математическому анализу
• Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу. М.:Наука, 1977, стр.196-198
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.:Наука, 1982, стр.333-336
• Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.:Наука, 1969, стр.110-115

Смотрите так же на википедии

• Определенный интеграл

Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно «взять», т.е. представить в виде элементарных функций.

Рациональной функцией называется отношение двух многочленов.

$\large   \frac{P(x)}{Q(x)}=S+\frac{\tilde{P}(x)}{Q(x)},$

где $latex S$ — «целая часть» (многочлен).

$\normalsize \deg(\tilde{P}(x))<\deg(Q(x))$

Нам понадобиться умение разлагать многочлен на простые множители.

$$Q_{n}(x)=C(x-a_{1})^{\alpha_{1}}(x-a_{2})^{\alpha_{2}}…(x-a_{k})^{\alpha_{k}}(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}…(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}$$

Если $\normalsize m<n$, то:

$$ \small \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=\frac{A_{1}^{\alpha_{1}}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}}}+\frac{A_{1}^{(\alpha_{1}-1)}}{(x-a_{1})^{\alpha_{1}-1}}+…+\frac{A_{1}^{(1)}}{(x-a_{1})}+…+\frac{A_{k}^{\alpha_{k}}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}}}+\frac{A_{k}^{(\alpha_{k}-1)}}{(x-a_{k})^{\alpha_{k}-1}}+…$$ $$+\frac{A_{k}^{(1)}}{x-a_{k}}+\frac{B_{1}^{\beta_{1}}x+D_{1}^{\beta_{1}}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}}}+\frac{B_{1}^{(\beta_{1}-1)}+D_{1}^{(\beta_{1}-1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})^{\beta_{1}-1}}+…$$ $$+\frac{B_{1}^{(1)}x+D_{1}+D_{1}^{(1)}}{(x^{2}+p_{1}x+q_{1})}+…+\frac{B_{s}^{\beta_{s}}x+D_{s}^{(s)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})^{\beta_{s}}}+…+\frac{B_{s}^{(1)}x+D_{s}^{(1)}}{(x^{2}+p_{s}x+q_{s})}.$$

Таким образом правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простых дробей вида:

$$ \frac{A}{(x-\alpha)^{r}},r  \epsilon   \mathbb{N}    и    \frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}},k  \epsilon  \mathbb{N}$$

$$r=1:    \int\frac{A}{x-\alpha}dx=A\int\frac{d(x-\alpha)}{x-\alpha}=A\ln\left|x-\alpha\right|+C$$

$$r\neq1:   \int\frac{A}{(x-\alpha)^{r}}dx=A\int(x-\alpha)^{-r}d(x-\alpha)=A\frac{(x-\alpha)^{-r+1}}{-r+1}+C$$

Обозначим $\large I_{k}=\int\frac{Bx+D}{(x^{2}+px+q)^{k}}dx$

$\large x^{2}+px+q=(x+\frac{p}{2})^{2}+(q-\frac{p^{2}}{4})$

$\large p^{2}-4q\frac{p^{2}}{4}$

$\large dx=\sqrt{q-\frac{p^{2}}{4}}=a, x+\frac{p}{2}=t$

$\large I_{k}=\int\frac{B(t-\frac{p}{2})+D}{(t^{2}+a^{2})^{k}}dt=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}+B(-\frac{p}{2})+D\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

Пусть $\large I_{k}^{1}=B\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$, $\large I_{k}^{2}=\int\frac{dt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}$

$\large k>1:$  $\large I_{k}^{1}=\int\frac{tdt}{(t^{2}+a^{2})^{k}}=\frac{1}{2}\int(t^{2+a^{2}})^{-k}d(t^{2}+a^{2})=$

$\large =\frac{1}{2}\frac{(t^{2}+a^{2})^{-k+1}}{-k+1}+C=\frac{1}{2(-k+1)(x^{2}+px+q)^{k-1}}+C$

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{1}=\int\frac{tdt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\int\frac{d(t^{2}+a^{2})}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{2}\ln\left|t^{2}+a^{2}\right|+C$

В случае $\large k>1$ интеграл «берем» по рекурентной формуле, доказанной выше.

$\large k=1:$  $\large I_{1}^{2}=\int\frac{dt}{t^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan(\frac{t}{a})+C=\frac{1}{a}\arctan(\frac{x+\frac{p}{2}}{a})+C$

Пример 1

Вычислить интеграл $\large \int\frac{2x+3}{x^{2}-9}dx.$

Решение

Пример 2

Вычислить интеграл $\large \int\frac{x^{2}-2}{x+1}dx$

Решение

Литература:

• Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрально исчисления,Том 2, „Наука“, Москва 1970, стр. 36.
• Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу, семестр 1, О.:2012.
• Интегрирование рациональных фунций http://www.math24.ru/

  Интегрирование рациональных функций

  Лимит времени: 0

  Навигация (только номера заданий)

  0 из 3 заданий окончено

  Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  Информация

  Интегрирование рациональных функций

  Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

  Тест загружается...

  Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

  Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  Результаты

  Правильных ответов: 0 из 3

  Ваше время:

  Время вышло

  Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

  Средний результат
  Ваш результат

  Рубрики

  1. Математический анализ 0%

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных

  Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  Загрузка

  Имя: E-Mail:

  Капча:

  1. 1
  2. 2
  3. 3

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

  1. Задание 1 из 3

     1.

     Количество баллов: 2

     Последовательность шагов при интегрировании рациональных функций

     • Преобразование неправильной рациональной дроби в правильную и выделение целой части.
     • Разложение знаменателя на простейшие дроби.
     • Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
     • Интегрирование простейших рациональных дробей.
     Правильно
     

     Неправильно
     
  2. Задание 2 из 3

     2.

     Количество баллов: 2

     Укажите алгоритм, который позволяет разложить рациональную дробь на сумму простейших ?
     Правильно
     

     Неправильно
     
  3. Задание 3 из 3

     3.

     Количество баллов: 2

     Выбрать равенства, соответствующие интегралам

     Элементы сортировки

     • $ \ln\left | x-a \right |$
     • $ \frac{1}{(1-k)(x-a)^{k-1}}$
     • $ \frac{1}{2}\ln(t^{2}+m^{2})$
     • $ \frac{1}{2(1-k)(t^{2}+m^{2})^{k-1}}$
     • $ \frac{1}{a}\arctan\frac{t}{m}$

     • $ \int \frac{A}{x-a}dx$

     • $ \int \frac{A}{(x-a)^{k}}dx$

     • $ \int \frac{tdt}{t^{2}+m^{2}}$

     • $ \int\frac{tdt}{(t^{2}+m^{2})^{k}}$

     • $ \int\frac{dt}{t^{2}+m^{2}}$

     Правильно
     

     Неправильно
     

  Таблица лучших: Интегрирование рациональных функций

  максимум из 6 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных