М1769. Хорды окружности

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 2 выпуск)

Условие

Концы 2n пересекающихся хорд разделили окружность на 4n равных дуг. Докажите, что среди этих хорд найдутся две параллельные хорды.

Решение

Будем считать, что окружность имеет длину 4n, а, значит каждая из 4n дуг, на которые она разделена концами 2n непересекающихся хорд, имеет длину 1. Важно заметить следующее. Так как хорды не пересекаются, то концы каждой хорды разделяют окружность на дуги нечетной длины.
Обозначим 4n точек деления числами 0, 1, 2, \ldots,4n - 1 последовательно (см. рисунок). Условимся писать  a \equiv b, если числа a и b дают одинаковые остатки при делении на 4n, и говорить, что a и b равны по модулю 4n. Теперь отметим, что если i, j и k, l — две пары из чисел на окружности, для которых выполняется равенство i + j \equiv k + l, то хорды ij и kl параллельны.

Каждая из 2n хорд определена парой своих концов: (i_1, i_2),  (i_3, i_4), \ldots, (i_{4n-1}, i_4n). При этом сумма чисел в каждой паре нечетна.

Допустим, что среди 2n хорд нет параллельных. Тогда набор чисел i_1 + i_2, i_3 + i_4, \ldots ,i_{4n-1} + i_4n по модулю 4n содержит все нечетные числа от 1 до 4n - 1.

Значит, сумма этого набора равна 4n^2 (по модулю 4n). Непосредственно суммируя числа набора, мы получим i_1 + i_2 + i_3 + i_4 + \ldots + i_{4n-1} + i_4n = 0 + 1 + 2 + \ldots +4n- 1 = 2n (4n-1).

Но тогда должно выполняться равенство 4n^2 \equiv 2n (4n-1).) Легко видеть, что такое равенство не выполняется, т.е. остается заключить, что среди хорд есть параллельные.

B.Произволов