Определение интеграла с переменным верхним пределом

Пусть функция $latex f $ интегрируема на отрезке $latex [a,b]. $ Обозначим

$latex F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt $ $latex (x \in [a,b]).$

Заштрихованная область под графиком функции $latex f(t) $ это значение нашей функции $latex F(x) $. Легко заметить, если $latex x $ будет стремиться к $latex b $ или $latex a $ то заштрихованная площадь увеличивается или уменьшается соответственно, следовательно и значение функции $latex F(x) $ также будет изменяться.

По свойству аддитивности интегрируемых функций, $latex f $ интегрируема на $latex [a,x] $ для любого $latex x \in [a,b]. $
Поэтому функция $latex F $ определена на $latex [a,b]. $ Заметим, что $latex F(a)=0. $ Функцию $latex F $ называют интегралом с переменным верхним пределом.

Нас в дальнейшем будут интересовать две характеристики этой функции, а именно непрерывность и дифференцируемость

Понятие интеграла с переменным верхним пределом нам будет необходимо при выведении основной формулы дифферендицального исчисления.

Литература :

Конспект по математическому анализу (преп. Лысенко З.М.)
Курс лекций по математическому анализу (В. И. Коляда, А. А. Кореновский) том 1, стр.203