Метка: свойства непрерывных функций

Локальные свойства непрерывных функций

Локальными называют такие свойства функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно малой окрестности точки области определения.

Теорема (формулировка)

Пусть $f: E \rightarrow \mathbb{R}$ — функция, непрерывная в точке $x_{0} \in R$ тогда справедливы следующие утверждения:

  • Функция $f$ ограничена в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$.
  •  Если $f(x_{0}) \neq 0$, то в некоторой окрестности $U_{E} (x_{0})$ точки $x_{0}$ функция $f(x)>0$
    ( или $f(x)<0$ ) вместе с $f(x_{0})$.
  •  Если функция $g: U_{E} (x_{0})$ $ \rightarrow R$ также непрерывна в точке $x_{0}$, то следующие функции непрерывны в точке $x_{0}$:
      • $f+g$
      • $f \cdot g $
      • $\Large \frac{f}{g}$

Если функция $g: Y$ $\rightarrow R$ непрерывна в точке $y_{0} \in Y$, а функция $f$ такова, что $f: E$ $\rightarrow R$, $f(x_{0})=y_{0}$, $f(E) \in Y$ и $f$ непрерывна в точке  $x_{0}$, то композиция $g\circ f$ непрерывна в точке $x_{0}$.

Пример 1

Алгебраический многочлен $P_{n}(x)=a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+…+a_{n}$ является непрерывной функцией для $x \in R$. Это следует из теоремы 1 и непрерывности функции $y=x$ и $y=k$.

Пример 2

Рациональная функция $\large R(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$ непрерывна всюду, кроме точек, в которых $Q_{m}(x)=0$.

Источники:

  1. А.М. Кытманов, Е.К. Лейнартас, О.Н. Черепанова «Математический анализ» / Сиб. федерал. ун-т. — Красноярск, 2010. — 50-53 стр. 
  2. Конспект по математическому анализу Лысенко З.М.

Непрерывная функция

Тест на тему «непрерывные функции»

Таблица лучших: Непрерывная функция

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных