Автор: Илья Бровко

Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим числовой ряд с бесконечным множеством положительных и бесконечным множеством отрицательных членов. Такой ряд называется знакопеременным рядом.

Запишем произвольный знакопеременный ряд
$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }a_{n}$ $(1)$,
где числа $a_{1},a_{2},a_{3},…,a_{n},…$ являются как положительными, так и отрицательными, причем располагаются они в ряде произвольно. Так же рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):
$|a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|+…=\sum\limits_{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ $(2)$.
Для знакопеременных рядов справедлива следующая Теорема:

Теорема 1

Если ряд $(2)$ сходится, то сходится и ряд $(1)$.

Доказательство

Предположим, что ряд $(2)$ сходится. Обозначим через $S_{n}$ частичную сумму ряда $(1)$, а через $\sigma_{n}$ частичную сумму ряда  $(2)$. Тогда: $S_{n} = a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}$;

$\sigma_{n} = |a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|+…+|a_{n}|$. Так как ряд  $(2)$ сходится, то последовательность его частичных сумм ${\sigma_{n}}$ имеет предел $\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\sigma_{n}=\sigma$, при этом для любого $n$ справедливо неравенство

$\sigma_{n}\leq\sigma$ $(3)$,
Поскольку члены ряда  $(2)$ неотрицательны.
Обозначим через $S{}’_{n}$ сумму положительных членов, а через $S{}»_{n}$ сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме $S_{n}$.
Тогда
$S_{n}=S{}’_{n}-S{}»_{n}$ $(4)$,
$\sigma_{n}=S{}’_{n}+S{}»_{n}$ $(5)$.
Видно, что последовательности ${S{}’_{n}}$ и ${S{}»_{n}}$ не убывают, а из равенства $(5)$ и неравенства $(3)$ следует, что они являются ограниченными: $S{}’_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$ и $S{}»_{n}\leq\sigma_{n}\leq\sigma$. Следовательно, существуют $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}=S{}’$ и $\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}_{n}»=S{}»$. Но в таком случае, в силу равенства $(4)$, последовательность частичных сумм ряда $(1)$ имеет предел
$\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }(S{}’_{n}-S{}»_{n})=\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}’_{n}-\lim\limits_{n\rightarrow\infty }S{}»_{n}=S{}’-S{}»$.

Это означает, что ряд $(1)$ сходится. $\blacksquare$

Пример 1

Ряд $1-\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{6^{2}}-\frac{1}{7^{2}}+…$ согласно доказанной Теореме 1 сходится, т. к. сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда: $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{6^{2}}+\frac{1}{7^{2}}+…$
Ниже представлен график поведения первых двадцати, составленных из абсолютных величин, членов ряда
Пример 1(абсолют.сход.)
Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходим, т. к. существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся. Так, например, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}-1^{n+1}\frac{1}{n}$ согласно признаку Лейбница сходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.

Ряд с действительными или комплексными членами $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется абсолютно сходящимся, если сходиться ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$.

Ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }a_{n}$ называется условно сходящимся, если этот ряд сходиться, а ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty }\left | a_{n} \right |$ расходиться.

Спойлер

Пример 2

Ряд $1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ условно сходящийся, так как сам он сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин, $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+…$ расходится.
Можно заметить, что свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов имеют некоторые отличия. Так, например, в условно сходящихся рядах, сумма ряда не равна сумме положительных и отрицательных членов ряда, но для абсолютно сходящихся это свойство справедливо, что можно было увидеть при доказательстве Теоремы 1.

[свернуть]

Литература

Абсолютная и условная сходимость рядов

Предлагаем Вам пройти тест на тему «Абсолютная и условная сходимость рядов».


Таблица лучших: Абсолютная и условная сходимость рядов

максимум из 5 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Признаки Абеля и Дирихле сходимости числовых рядов

Рассмотрим ряд:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+…+a_{n}b_{n}+…$ $(1)$

где ${a_{n}}$ и ${b_{n}}$ — две последовательности вещественных чисел.

Следующие теоремы содержат достаточное условие сходимости ряда $(1)$.

Теорема (Признак Дирихле)

Ряд $(1)$ сходится, если выполнятся $2$ условия:

  1. Последовательность частичных сумм ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$- ограничена, т.е $\exists$ $C > 0$ такое, что $|b_{1}+b_{2}+…+b_{n}| \leq C$, $\forall$ $n \in \mathbb{N}$.
  2. Последовательность ${a_{n}}$ монотонно стремится к нулю, т.е. $a_{n+1} \geq a_{n}$ $n \in \mathbb{N}$ или $a_{n+1} \leq a_{n}$ $n \in \mathbb{N}$ и $\lim\limits_{n \rightarrow \infty }a_{n} = 0$.

Доказательство

Покажем, что для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}$ выполняется условие Коши, т.е: $\forall$$\varepsilon>0$ $\exists$ $N_{\varepsilon}$: $\forall$$n\geq$$N_{\varepsilon}$,

$\forall$$p\epsilon$$N$$=>$ $|S_{n+p}-S_{n}|=$$|\sum\limits_{k=n+1}^{n+p}a_{k}b_{k}|<\varepsilon$

Пусть $A_{k}=a_{1}+a_{2}+…+a_{k}$, по условию $|A_{k}|<C$.

Используя преобразования Абеля, получим неравенства:

$|a_{n}b_{n}+a_{m+1}b_{m+1}+a_{m+2}b_{m+2}+…+a_{n-1}b_{n-1}+a_{n}b_{n}|=$
$=|b_{m}(A_{m}-A_{m-1})+b_{m+1}(A_{m+1}-A_{m})+b_{m+2}(A_{m+2}-A_{m+1})+…+b_{n-1}(A_{n-1}-A_{n-2})+b_{n}(A_{n}-A_{n-1})|=$
$=|-b_{m}A_{m-1}+(b_{m}-b_{m+1})A_{m}+(b_{m+1}-b_{m+2})A_{m+1}+…+(b_{n-1}-b_{n})A_{n-1}+b_{n}A_{n}|<$
$<b_{m}C+(b_{m}-b_{m-1})C+…+(b_{n-1}-b_{n})C+b_{n}C=2bmC<\varepsilon$, $m\geq$$n_{0}$; $|A_{k}|<C$

Следовательно, условия Коши выполнены, поэтому ряд сходится. $\blacksquare$

Спойлер

$\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\sin n\alpha }{n}}$.
Прежде всего, если $\alpha \neq 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$, то $\sum\limits_{ k = 1}^{n}{\sin k \alpha } = \sum\limits_{k = 1}^{n}{\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\sin k \alpha }{{2}\sin \frac{\alpha }{2}}} = \frac{\sum\limits_{k = 1}^{n}{\left[\cos k — \frac{1}{2} \alpha — \cos k + \frac{1}{2} \alpha\right]}}{2\sin \frac{\alpha }{2}} = \frac{\cos \frac{1}{2} \alpha — \cos n + \frac{1}{2} \alpha }{2\sin \frac{\alpha }{2}} = \frac{\sin \frac{n + 1}{2} \alpha \sin\frac{n}{2} \alpha }{ \sin \frac{\alpha }{2}}$ и следовательно, $\left|\sum\limits_{k = 1}^{n}{\sin k \alpha } \right|\leq \frac{1}{\left|\sin \frac{\alpha }{2} \right|}$. Если же $\alpha = 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$, то все члены сумм $\sum\limits_{k = 1}^{n}{\sin k \alpha }$ равны нулю, поэтому эти суммы при любом $n$ равны нулю и, следовательно , ограничены. Таким образом, при всех $\alpha$ суммы $\sum\limits_{k = 1}^{n}{\sin k \alpha }$ ограничены.

С другой стороны, последовательность $\frac{1}{n}$ монотонно убывает и стремится к нулю, поэтому, по признаку Дирихле, ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha }{n}}$ сходится при любом $\alpha$.

Аналогично этому ряду исследуется ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\cos n \alpha }{n}}$. Так при $\alpha \neq 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$ справедливо равенство $\sum\limits_{ k = 1}^{n}{\cos k \alpha } = \frac{1}{2\sin \frac{\alpha }{2}}\sum\limits_{k = 1}^{n}{ 2\sin \frac{\alpha }{2} \cos k \alpha } = \frac{1}{2\sin \frac{\alpha }{2}}\sum\limits_{k = 1}^{n}{ \left[ \sin k + \frac{1}{2\alpha } — \sin k — \frac{1}{2} \alpha \right]} = \frac{\sin n + \frac{1}{2 }\alpha — \sin \frac{\alpha }{2}}{2 \sin \frac{\alpha }{2}} = \frac{\sin \frac{na}{2} \cos \frac{n + 1}{2} \alpha }{\sin \frac{\alpha }{2}}$, то для указанных $\alpha $ выполняется неравенство $\left|\sum\limits_{k = 1}^{n}{\cos k \alpha } \right|\leq \frac{1}{\left|\sin \frac{\alpha }{2} \right|}$ и, следовательно по принципу Дирихле , ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\cos n \alpha }{n}}$ сходится при всех $\alpha \neq 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$. Если же $\alpha = 2\Pi m, m = 0, \pm 1, \pm 2, …$, то ряд $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\cos n \alpha }{n}}$ в отличие от ряда $\sum\limits_{n = 1}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha }{n}}$ расходится, так как он превращается в гармонический ряд.

[свернуть]

Теорема (Признак Абеля)

Пусть дан ряд $(1)$. Он сходится, если выполняются $2$ условия:

  1. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$- сходится.
  2. Числа {$a_{n}$} образуют монотонную и ограниченную последовательность, удовлетворяющую условиям $a_{n+1} \geq a_{n}$ или $a_{n+1} \leq a_{n}$ $n \in \mathbb{N}$.

Доказательство

По теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности

$\exists$ $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\Leftrightarrow$ $\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n}-a)=0\Rightarrow$ ${a_{n}-a}$- монотонно стремится к нулю.

Из сходимости $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}\Rightarrow$ ${B_{n}}$- огр.
Тогда, по признаку Дирихле ряд: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}-a)b_{n}$- сходится.
Отсюда следует, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}b_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}-a)b_{n}+a\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n}$- сходится, как сумма двух рядов.
Теорема доказана. $\blacksquare$

Спойлер

$\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha \cos \frac{\Pi }{n}}{\ln \ln n}}$

Заметим, что ряд $\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha }{\ln \ln n}}$ сходится согласно признаку Дирихле: Последовательность $\frac{1 }{\ln \ln n}$ монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда $\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\sin n \alpha }$ ограничена.

Последовательность $\cos \frac{\Pi }{n}, n = 2,3 … $, монотонна, поэтому, по признаку Абеля, ряд $\sum\limits_{n = 2}^{\infty}{\frac{\sin n \alpha \cos \frac{\Pi }{n}}{\ln \ln n}}$ сходится при всех $\alpha $.

[свернуть]

Литература

Тест на тему: Признаки Абеля и Дирихле

Тест на тему: признаки Абеля и Дирихле.


Таблица лучших: Тест на тему: Признаки Абеля и Дирихле

максимум из 4 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

M1603. О вычислении площадей и объемов фигур на плоскости и в пространстве

Задача из журнала «Квант» (1997 г. №4)

Условие

Фигура $M$  на плоскости $Oxy$ представляет собой пересечение единичного квадрата
$0\leq$ $x$ $\leq1$, $0\leq$ $y$ $\leq1$ с полуплоскостью $ax+by$ $\leq$ $c$ ($a,b$ и $c$- положительные числа). Докажите, что площадь  $M$ вычисляется по формуле:

$\frac{1}{2ab}((c^{2})_{+}-(c-a)^{2}_{+}-(c-b)^{2}_{+}+(c-a-b)^{2}_{+})$,

где $(x)_{+}$ означает наибольшее из чисел $x$ и $0$: $(x)_{+}=max(x,0)$. Выведите аналогичную формулу для объема многогранника  $M$ в пространстве $Oxyz$, представляющего собой пересечение единичного куба $0\leq$ $x$ $\leq1$, $0\leq$ $y$ $\leq1$, $0\leq$ $z$ $\leq1$ с полупространством $ax+by+cz$ $\leq$ $d$ ($a$, $b$, $c$ и $d$- положительные числа).

Заметим, что выражение $(c-b)^{2}_{+}$ (и аналогичные) в условии означает число, равное $(c-b)^{2}$, если $c-b\geq 0$ и $0$, если $c-b<0$.

Решение

Покажем сначала идею решения, а потом ее оформим. У квадрата 4 угла- это очень много. Давайте рассмотрим фигуру с одним углом- положительный квадрант $(x>0$, $y>0)$.
Полуплоскость $ax+by<c$ содержит все точки ниже прямой $ax+by=c$. Общая часть полуплоскости и квадранта $(рис.1)$- это треугольник. Прямая пересекает оси координат на расстояниях $\frac{c}{a}$ и $\frac{c}{b}$ от начала координат, поэтому площадь общего треугольника равна $\frac{c^{2}}{2ab}$.

M1603(12)
Решив задачу для фигуры с одним прямым углом, решим ее для фигуры с двумя прямыми углами, т.е. для полосы, лежащей в положительном квадранте $(рис.2)$. Для это надо из треугольника, попавшего в положительный квадрант, вычесть треугольник, попавший в новый положительный квадрант с вершиной в точке $(1,0)$. Этот новый квадрант задает новую систему координат , в которой все абсциссы точек на единицу меньше.

Уравнение прямой в новой системе координат выглядит так: $a(x’+1)+by’=c$, или $ax’+by’=c-a$. Это уравнение аналогично исходному с той разницей, что $(c-a)$ может быть отрицательным. Следовательно, если  $(c-a)>0$, то площадь треугольника в новом квадранте будет $\frac{(c-a)^{2}}{2ab}$, а если  $(c-a)<0$, то пересечения нет, и площадь считаем равной нулю. Тогда формулу для площади пересечения полуплоскости c

M1603(23)

полосой $\frac{c^{2}}{2ab}-\frac{(c-a)_{+}^{2}}{2ab}$. Теперь легко получить выражение для квадранта с помощью четырех положительных квадрантов с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;1)$, $(1;0)$ и $(1;1)$, которые отличаются параллельным переносом $(рис.3)$. Для этого надо из квадранта с вершиной $(0;0)$ «вычесть» квадрант с вершиной $(1;0)$, «прибавить» квадрант с вершиной $(1;1)$ и «вычесть» квадрант с вершиной $(0;1)$. Обратите внимание: знаки расставлены так, что каждая точка внутри квадрата учтена один раз, а каждая точка вне квадрата- ноль раз. Выражение такого типа называется формулой включения-исключения. Аналогичная формула верна и для пересечения квадрата с полуплоскостью.

Выражая площади соответствующих треугольников $(рис.4)$ в новых системах координат, получаем формулу включения-исключения для площади пересечения полуплоскости с квадратом:

$\frac{\left [ c^{2}-(c-a)_{+}^{2}-(c-b)_{+}^{2}+(c-a-b)_{+}^{2}\right]}{2ab}$

В случае пересечения куба с полупространством надо сначала рассмотреть пересечение полупространства с положительным октантом и найти объем общего тетраэдра. Затем представить куб в виде «суммы» и «разности» восьми положительных октантов с вершинами в вершинах куба. Потом переписать уравнение полупространства в каждой из восьми систем координат $a(x’+p)+b(y’+q)+c(z’+r)\leq d$, где $(p;q;r)$- вектор параллельного переноса исходного октанта. И наконец, написать формулу включения-исключения для объемов тетраэдров в октантах:

$\frac{\left[d^{3}-(d-a)^{3}_{+}-(d-b)^{3}_{+}-(d-c)^{3}_{+}+(d-a-b)^{3}_{+}+(d-b-c)^{3}_{+}+(d-c-a)^{3}_{+}-(d-a-b-c)^{3}_{+}\right]}{6abc}$

А.Канель, А.Ковальджи