Свойства сходящихся рядов

Свойство 1

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ (1) и

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ (2)

сходятся, и их суммы равны соответственно $S$ , $\sigma$ , то $\forall \alpha ,\beta \epsilon \mathbb{R}$ ряд

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)$ (3)

сходится, при этом его сумма $\tau=\alpha S+\beta\sigma$ .

Доказательство.

Пусть $S_n, \sigma_n, \tau _n$ n-е частичные суммы соответственно рядов (1), (2), (3). Тогда $\tau _n=\alpha S_n +\beta \sigma_n$ . Поскольку $\left \{ S_n \right \}$ и $\left \{ \sigma _n \right \}$ сходятся, то последовательность $\left \{ \tau _n \right \}$ имеет конечный предел по свойству сходящихся последовательностей, то есть ряд (3) сходится и справедливо $\tau=\alpha S+\beta\sigma$ .

Замечание:

Если ряды (1) и (2) расходятся, то о сходимости ряда (3) ничего утверждать нельзя. Ряд может быть сходящимся, а может быть расходящимся.

Например:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n$ — расходятся, и
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(n+n)$ расходится.
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}n$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-n)$ — расходятся, но
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(n-n)=0$ сходится.

Свойство 2

Если сходится ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ (1), то $\forall t\epsilon \mathbb{N}$ сходится ряд $\sum_{n=t+1}^{\infty}a_n$ . (2)

Данный ряд называют t-м остатком ряда (1). Верно и обратное: если при фиксированном t ряд (2) сходится, тогда и ряд (1) сходится.

Доказательство.

Пусть $\sum_{i=1}^{n}a_i=S_n$ — n-я частичная сумма ряда (1) и $\sum_{j=1}^{t+k}a_j=\sigma_k^{(t)}$ — k-я частичная сумма ряда (2). Тогда
$S_n=S_t+\sigma _k^{(t)}$ , где $n=t+k$ . (*)

Если ряд (1) сходится, то $\exists \lim_{n \to \infty}S_n$ , причем конечный, таким образом из равенства (*) следует, что при фиксированном t существует конечный предел последовательности $\left \{ \sigma _k^{(t)} \right \}$ при $k\rightarrow \infty$ , то есть ряд (2) сходится.

Обратное утверждение: если $\exists \lim_{k \to \infty}\sigma_k^{(t)}$ и он конечен при фиксированном t, то существует конечный $\lim_{n \to \infty}S_n$ .

Замечание:

Свойство утверждает, что сходимость ряда не изменится, если отбросить конечное число членов ряда.

Свойство 3

Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ (1) сходится, то ряд $\sum_{j=1}^{\infty}b_j$ (2), полученный путем группировки членов ряда (1) без изменения порядка их расположения, также сходится и его сумма равна сумме ряда (1).

Доказательство.

Пусть

$b_1=a_1+…+a_{k_{1}}$

$b_{2}=a_{k_{1}+1}+…+a_{k_{2}}$

….

$b_j=a_{k_{j-1}}+…+a_{k_{j}}$ ,

где $j\epsilon \mathbb{N}$ , $\left \{ k_j \right \}$ — строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Пусть $\sum_{k=1}^{n}a_k=S_n$ , $\sum_{j=1}^{m}b_j=\sigma _m$ , тогда $\sigma _m=S_{k_{m}}$ . Так как $\left \{ \sigma _m \right \}$ -подпоследовательность сходящейся последовательности $\left \{ S_n \right \}$ , то $\exists \lim_{m \to \infty}\sigma _m=S$ , где $S$ -сумма ряда (1).

Литература

Свойства сходящихся рядов

Тест на проверку знаний свойств сходящихся рядов.

Задание 1 из 5

1.
Выбрать расходящийся ряд.
- $\sum_{n=1}^{\infty}(3^{n}+\frac{1}{n^{-3}})$
- $\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2^n}+\frac{1}{22^n})$
- $\sum_{n=1}^{\infty}(35e^{-n}+\frac{1}{5^n})$
- $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1000+2000}{n^{25}}$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Заполните пропуски.
- Свойство об остатке ряда утверждает, что сходимость ряда , если отбросить число членов ряда.
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Среди следующих утверждений выбрать верные.
- Если t-й остаток числового ряда сходится, то данный ряд также сходится.
- Если t-й остаток числового ряда сходится, то о сходимости ряда ничего утверждать нельзя.
- Если t-й остаток числового ряда сходится, то данный ряд расходится.
- Если некий ряд сходится, то ряд, полученный путем группировки членов исходного ряда без изменения порядка их расположения, также сходится и его сумма равна сумме исходного ряда.
- Если некий ряд сходится, то ряд, полученный путем группировки членов исходного ряда без изменения порядка их расположения, также сходится и его сумма равна удвоенной сумме исходного ряда.
Правильно

Неправильно

Задание 4 из 5

4.

Установите соответствие между началом фразы и ее концом.

Элементы сортировки

...сходится.
...может как сходиться, так и расходиться.
...расходится.

Числовой ряд, общий член которого является линейной комбинацией общих членов сходящихся рядов, ...

Числовой ряд, общий член которого является линейной комбинацией общих членов расходящихся рядов, ...

Числовой ряд, t-й остаток которого расходится, ...

Задание 5 из 5

5.
Написать сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{3}{2^n}+\frac{4}{3^n})$ .
Правильно

Неправильно

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости

Пусть дана последовательность $a_1, a_2,…, a_n,…$ , где $a_i\epsilon \mathbb{R}, i \epsilon \mathbb{N}$

Символ вида (*) $a_1+a_2+…+a_n+…$ называется числовым рядом и обозначается $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ , при этом $a_n$ называется общим членом ряда. Ряд (*) называется сходящимся, если существует предел $\lim_{n \to \infty }S_n$ , где $S_n$ это n-ая частичная сумма ряда, $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ .

При этом, число $S=\lim_{n \to \infty }S_n$ называется суммой ряда, и пишут $S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ .

Если же предел частичных сумм $\lim_{n \to \infty }S_n$ не существует или бесконечен, то говорят, что ряд (*) расходится и никакой суммы ряду не присваивается.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

$q+q^{2}+…+q^{n}+…$

Запишем n-ю частичную сумму и с упростим выражение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии.

$S_n=q+q^{2}+…+q^{n}=\frac{q(1-q^{n})}{1-q}$ ,

$|q|\neq1$

$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\frac{q}{1-q}$ , при

$|q|<1$

$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{q(1-q^{n})}{1-q}=\infty$ , при

$|q|>1$ .

$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=\lim\limits_{n \to \infty}n=\infty$ , при

$q=1$ .

$\lim\limits_{n \to \infty}S_n$ не существует, при

$q=-1$ .

Таким образом, при $|q|<1$ ряд сходится, а при $|q|\geq1$ — расходится.

Необходимое условие сходимости числового ряда

Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится, то необходимо $\lim_{n \to \infty}a_n=0$ .

Доказательство.

Если ряд сходится, то $\exists \lim_{n \to \infty}S_n=S$ , следовательно $\exists \lim_{n \to \infty}S_{n-1}=S$ .

Рассмотрим $\lim_{n \to \infty}(S_{n-1}-S_n)=S-S=0$ , где $S_{n-1}-S_n=a_n$ , $a_n$ — общий член ряда, $\lim_{n \to \infty}a_n=0$ . Теорема доказана.

Пример:

Исследовать на сходимость ряд

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2n-1}$ .

Необходимое условие не выполняется: $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2}\neq 0$ . Следовательно, ряд расходится.

Литература

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Тест на проверку знаний о сходящихся и расходящихся рядах, а также необходимого условия сходимости.

М1577. О высоте, медиане и биссектрисе треугольника

Задача из журнал «Квант» (1997)

Условие

В треугольнике отношение синуса одного угла к косинусу другого равно тангенсу третьего. Докажите, что высота, проведенная из вершины первого угла, медиана, проведенная из вершины второго, и биссектриса третьего угла пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть $\alpha , \beta , \gamma$ — углы треугольника ABC, в котором AH — высота, BK — медиана, CL — биссектриса. Из условия

$\frac{\sin \alpha }{\cos \beta }=\tan \gamma$ (1)

следует, что углы ABC и ACB острые, поскольку $\sin\alpha$ >0 и в треугольнике не может быть двух тупых углов. Следовательно, основание H высоты AH — внутренняя точка отрезка BC. Найдем отношения, в которых делят высоту AH (считая от основания) два других отрезка. Высота AH параллелограмма ABCD делится его диагональю BD в отношении:

$\frac{BH}{AD}=\frac{BH}{BC}=\frac{c\cos \gamma }{a}=\frac{\sin\gamma \cos \beta }{\sin \alpha }$ . (2)

Биссектриса же CL делит сторону НА треугольника НАС в отношении:

$\frac{HC}{CA}=\cos\gamma$ . (3)

Отношения (2) и (3) равны в том и только в том случае, когда, $\sin\gamma\cos\beta =\cos\gamma\sin\alpha$ , что эквивалентно условию (1).

Таким образом, условие (1) эквивалентно тому, что AH, BK, CL пересекаются в одной точке.

Замечания.

Для треугольника задачи $\left | \angle BAC-\frac{\pi }{2} \right |< \frac{\pi }{2}-\angle BAH$ тогда и только тогда, когда $\angle BCA >\frac{\pi }{4}$ . Это легко следует из (1).
Из предыдущего замечания сразу следует, что если в остроугольном треугольнике ABC биссектриса CL, медиана ВК и высота АН пересекаются в одной точке, то $\angle BCA>\frac{\pi }{4}$ .Это — задача IV Всесоюзной математической олимпиады (см. книгу Н Б Васильева и А А.Егорова «Задачи Всесоюзных математических олимпиад» ~ М .: Наука, 1988; задача 135). Нетрудно показать, что для любого угла ВАС треугольник задачи существует. Из этого следует, что для тупоугольного треугольника задачи неравенство $\angle ACB\geq \frac{\pi }{4}$ выполняется не всегда.
Если в неостроугольном треугольнике ABC высота АН, медиана ВК и биссектриса CL пересекаются в одной точке, то $\angle ACB>\angle ABC$ . Это можно доказать геометрически, но проще — с помощью (1).

Л.Алътшулер, В.Сендерос

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Автор: Дарья Кваша

Свойства сходящихся рядов

Свойство 1

Свойство 2

Свойство 3

Свойства сходящихся рядов

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

Элементы сортировки

5.

Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды. Необходимое условие сходимости

Необходимое условие сходимости числового ряда

Сходящиеся и расходящиеся ряды

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Подсказка

2.

3.

Элементы сортировки

4.

5.

6.

М1577. О высоте, медиане и биссектрисе треугольника

Задача из журнал «Квант» (1997)

Условие

Решение

Средний результат
Ваш результат

Средний результат
Ваш результат