Свойство 1
Если ряды
сходятся, и их суммы равны соответственно [latex]S[/latex], [latex]\sigma [/latex], то [latex]\forall \alpha ,\beta \epsilon \mathbb{R} [/latex] ряд
сходится, при этом его сумма [latex]\tau=\alpha S+\beta\sigma[/latex].
Доказательство.
Пусть [latex]S_n, \sigma_n, \tau _n[/latex] n-е частичные суммы соответственно рядов (1), (2), (3). Тогда [latex] \tau _n=\alpha S_n +\beta \sigma_n[/latex]. Поскольку [latex]\left \{ S_n \right \}[/latex] и [latex]\left \{ \sigma _n \right \}[/latex] сходятся, то последовательность [latex]\left \{ \tau _n \right \}[/latex] имеет конечный предел по свойству сходящихся последовательностей, то есть ряд (3) сходится и справедливо [latex]\tau=\alpha S+\beta\sigma[/latex].
Замечание:
Если ряды (1) и (2) расходятся, то о сходимости ряда (3) ничего утверждать нельзя. Ряд может быть сходящимся, а может быть расходящимся.
Например:
-
[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n[/latex] и [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n[/latex] — расходятся, и
[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(n+n)[/latex] расходится. -
[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n[/latex] и [latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-n)[/latex] — расходятся, но
[latex]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(n-n)=0[/latex] сходится.
Свойство 2
Если сходится ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/latex] (1), то [latex]\forall t\epsilon \mathbb{N}[/latex] сходится ряд [latex]\sum_{n=t+1}^{\infty}a_n[/latex]. (2)
Данный ряд называют t-м остатком ряда (1). Верно и обратное: если при фиксированном t ряд (2) сходится, тогда и ряд (1) сходится.
Доказательство.
Пусть [latex]\sum_{i=1}^{n}a_i=S_n[/latex] — n-я частичная сумма ряда (1) и [latex]\sum_{j=1}^{t+k}a_j=\sigma_k^{(t)}[/latex] — k-я частичная сумма ряда (2). Тогда
[latex]S_n=S_t+\sigma _k^{(t)}[/latex], где [latex]n=t+k[/latex]. (*)
Если ряд (1) сходится, то [latex]\exists \lim_{n \to \infty}S_n[/latex], причем конечный, таким образом из равенства (*) следует, что при фиксированном t существует конечный предел последовательности [latex]\left \{ \sigma _k^{(t)} \right \}[/latex] при [latex]k\rightarrow \infty[/latex], то есть ряд (2) сходится.
Обратное утверждение: если [latex]\exists \lim_{k \to \infty}\sigma_k^{(t)}[/latex] и он конечен при фиксированном t, то существует конечный [latex]\lim_{n \to \infty}S_n[/latex].
Замечание:
Свойство утверждает, что сходимость ряда не изменится, если отбросить конечное число членов ряда.
Свойство 3
Если ряд [latex]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/latex] (1) сходится, то ряд [latex]\sum_{j=1}^{\infty}b_j[/latex] (2), полученный путем группировки членов ряда (1) без изменения порядка их расположения, также сходится и его сумма равна сумме ряда (1).
Доказательство.
….
где [latex]j\epsilon \mathbb{N}[/latex], [latex]\left \{ k_j \right \}[/latex] — строго возрастающая последовательность натуральных чисел.
Пусть [latex]\sum_{k=1}^{n}a_k=S_n[/latex], [latex]\sum_{j=1}^{m}b_j=\sigma _m[/latex], тогда [latex]\sigma _m=S_{k_{m}}[/latex]. Так как [latex]\left \{ \sigma _m \right \}[/latex]-подпоследовательность сходящейся последовательности [latex]\left \{ S_n \right \}[/latex], то [latex]\exists \lim_{m \to \infty}\sigma _m=S[/latex], где [latex]S[/latex]-сумма ряда (1).
Литература
- Тер-Крикоров A.M., Шабунин М.И. Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов. — 3-е изд., исправленное —М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2001, стр. 385-386.
- Г.М.Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления том 2, стр. 260-262.
- Л.Д. Кудрявцев Курс математического анализа том 2, стр. 9-11.
- Конспект лекций Лысенко З.М.
Свойства сходящихся рядов
Тест на проверку знаний свойств сходящихся рядов.
