Определение

Бинарной алгебраической операцией (БАО), действующей на множестве $A$ называется отображение:

$*:A^2\rightarrow A$.

Примеры

1. Операции $+$ и $\cdot$ на множествах $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$.
2. В качестве множества $A$ в условиях вышеуказанного определения возьмём множество $\mathbb{Z}$, и определим $\forall a,b \in A\: a*b\overset{def}{=}(a+b)^2$. Тогда операция $*$ является бинарной алгебраической операцией.
3. Операция $\backslash$ на множестве $\mathbb{R}$ не является БАО, т.к. нельзя делить на ноль. Но она является БАО на множестве $\mathbb{R}\backslash\{0\}$.
4. Операция $*$, заданная на $\mathbb{Z}$ следующим образом —  $\forall a,b \in \mathbb{Z} \: a*b=a^b$ — не является алгебраичной, т.к. результат $1*(-3)=1^{-3} \notin \mathbb{Z}$.

Проверка на алгебраичность

Для того, чтобы проверить, является ли данное отображение бинарной алгебраической операцией, достаточно проверить три условия:

1. Всюдуопределённость: $\forall a,b \in A\: \exists c = a*b$.
2. Однозначность: $\forall a,b \in A\: \exists ! c = a*b$.
3. Замкнутость: $\forall a,b \in A\: a*b = c \in A$.

Пример

Проверить, является ли отношение бинарной алгебраической операцией на множестве $\mathbb{Z}_6 = \{0,1,2,3,4,5\}$, если $\forall a,b \in A\: a*b\overset{def}{=} a\cdot b (\mod 6)$ (умножение по модулю 6).

Так как множество, на котором задано отношение, конечно, мы можем построить таблицу Кэлли (таблицу значений).

Расположим по вертикали и горизонтали элементы множества $\mathbb{Z}_6$, а на их пересечении — результат операции $*$. Получим таблицу:

Исходя из таблицы, видно, что область значения операции совпадает с исходным множеством $\mathbb{Z}_6$ (выполняется замкнутость), в каждой клетке только один результирующий элемент (выполняется однозначность), и каждая клетка непустая (выполняется всюдуопредлённость).

Следовательно, указанное отображение $*$ является бинарной алгебраической операцией на множестве $\mathbb{Z}_6$.

Свойства БАО

Бинарная алгебраическая операция может обладать такими свойствами:

1. Бинарная алгебраическая операция $*$, заданная на множестве $A$ называется ассоциативной, если $\forall a_1, a_2, a_3 \in A\: (a_1*a_2)*a_3=a_1*(a_2*a_3)$.
2. Бинарная алгебраическая операция $*$, заданная на множестве $A$ называется коммутативной, если $\forall a_1, a_2 \in A\: a_1*a_2 = a_2*a_1$.

Примеры

1. Операции $+$, $\cdot$ на множествах $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{N}$ являются коммутативными и ассоциативными.
2. Операция $\backslash$ на множестве $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ не является коммутативной.

Пример решения №1

Определить, является ли бинарная алгебраическая операция $*$ на множестве $\mathbb{Z}$ коммутативной и/или ассоциативной.

$\forall a,b \in \mathbb{Z} \: a*b \overset{def}{=} a(b+1)$

Очевидно, что $a(b+1) \ne b(a+1)$, следовательно, операция $*$ коммутативной не является. Проверим ассоциативность (фиксируя \forall a,b,c \in \mathbb{Z}):

$a*(b*c)=a*(b(c+1))=a(b(c+1)+1)=abc+ab+a$

В свою очередь,

$(a*b)*c=(a(b+1))*c=a(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+a$.

Видим, что $a*(b*c) \ne (a*b)*c$. Таким образом делаем вывод, что операция $*$ не ассоциативна.

Пример решения №2

Определить, является ли бинарная алгебраическая операция $*$ на множестве $\mathbb{Z}^2$ коммутативной и/или ассоциативной.

$\forall (a_1,a_2), (b_1, b_2) \in \mathbb{Z}^2 \: (a_1, a_2) * (b_1, b_2) \overset{def}{=} (a_1 b_1, a_2 b_1 + b_2)$

Рассмотрим при $\forall (a_1,a_2), (b_1, b_2), (c_1, c_2) \in \mathbb{Z}^2$:

$((a_1, a_2) * (b_1, b_2)) * (c_1, c_2) = (a_1 b_1 c_1, (a_2 b_1 + b_2)c_1 + c_2)$

$(a_1, a_2) * ((b_1, b_2) * (c_1, c_2)) = (a_1 b_1 c_1, (a_2 b_1 + b_2)c_1 + c_2)$

Исходя из этого, сделаем вывод, что операция $*$ является ассоциативной. Из вида операции, представленного в условии, очевидно, что $*$ не является коммутативной.

Список литературы

1. Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.
2. А. Я. Овсянников —  Алгебраические операции (темы 1-4). Екатеринбург, Уральский федеральный университет.
3. Воеводин В. В. — Линейная алгебра. Москва: Наука, 1974. (стр 9-13).

Бинарная алгебраическая операция

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест предназначен для проверки знаний по теме «Алгебраическая операция. Исследование свойств операции».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Алгебра 0%

• Спасибо за прохождение теста, хорошего дня!

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Какие три условия являются необходимыми для бинарной алгебраической операции?

   • всюдуопределённость, замкнутость, обратимость
   • однозначность, замкнутость, наличие нейтрального элемента
   • замкнутость, однозначность, всюдуопределённость
   • замкнутость, обратимость, наличие нейтрального элемента
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Является ли следующая операция бинарной алгебраической операцией? Если нет, то почему?
   $\forall a,b \in \mathbb{Z} \: a*b \overset {def}{=} a^b$

   • Да.
   • Нет, т.к. не выполняется условие замкнутости.
   • Нет, т.к. не выполняется условие всюдуопределённости.
   • Нет, т.к. не выполняется условие однозначности.
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Как нужно изменить множество, чтобы операция была алгебраичной?
   $\forall a, b \in \mathbb{R}^+ \: a*b \overset {def} {=} a^2 \{b\}$

   • $\mathbb{R}^+ \cup \{0\}$
   • $\mathbb{R}^+ \backslash \mathbb{R}^-$
   • $\mathbb{R}^+ \cup \{-1\}$
   • $\mathbb{R}^+ \cap \{0\}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Почему данная операция не является алгебраичной? Что нужно сделать, чтобы это исправить?
   $\forall a,b \in \mathbb{R}^+ \: a*b \overset{def}{=} a+b-2 \sqrt{ab} = (\sqrt{a} — \sqrt{b})^2$

   • Не выполняется всюдуопределённость. Изменить сам вид операции.
   • Не выполняется замкнутость. Изменить множество на $\mathbb{R}^+ \cup \{0\}$.
   • Не выполняется однозначность. Заменить множество на $\mathbb{R}^+ \cup \{0\}$.
   • Не выполняется замкнутость. Заменить множество на $\mathbb{Z}^+$.
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Поставьте в соответствие каждой операции набор её свойств.

   Элементы сортировки

   • Выполняется ассоциативность и коммутативность.
   • Не выполняется ни ассоциативность, ни коммутативность.
   • Выполняется ассоциативность, не выполняется коммутативность.
   • Не выполняется ассоциативность, но выполняется коммутативность.

   • $\forall m,z \in \mathbb {Z} \: m*n \overset {def}{=} m+n+1$

   • Операция $\backslash$ на мн-ве $\mathbb{Z}^+ \backslash \{0\}$

   • $\forall A, B \in M_{n\times n} (\mathbb{R}) \: A*B = A \times B$

   • Среднее арифметическое двух положительных вещественных чисел.

   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Вставьте пропущенный термин.

   • (Коммутативность) — свойство бинарной алгебраической операции, которое позволяет менять местами аргументы без изменения значения операции.
   Правильно
   

   Неправильно
   

Определение

Декартовым (или прямым) произведением множеств $A$ и $B$ называется такое результирующее множество пар вида $(x,y)$, построенных таким образом, что первый элемент из множества $A$, а второй элемент пары —  из множества $B$. Общепринятое обозначение:

$A\times B = \{(x,y)|x \in A, y \in B \}$

Произведения трёх и более множеств можно построить следующим образом:

$A\times B\times C = \{(x,y,z)|x \in A, y \in B, z \in C \}$

Произведения вида $A\times A, A\times A\times A, A\times A\times A\times A$ и т.д. принято записывать в виде степени: $A^2, A^3, A^4$ (основание степени — множество-множитель, показатель — количество произведений). Читают такую запись как «декартов квадрат» (куб и т.д.). Существуют и другие варианты чтения для основных множеств. К примеру, $\mathbb{R}^n$ принято читать как «эр энное».

Свойства

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

1. Если $A, B$ — конечные множества, то $A\times B$ — конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения — бесконечное множество.
2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): $|A\times B| = |A| \cdot |B|$.
3. $A^{np} \ne (A^n)^p$ — в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров $1\times np$, во втором же — как матрицу размеров $n\times p$.
4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: $A\times B \ne B\times A$.
5. Ассоциативный закон не выполняется: $(A\times B)\times C \ne A\times (B\times C)$.
6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: $(A * B)\times C = (A\times C) * (B\times C), * \in \{\cap, \cup, \backslash \}$

Примеры

1. Положим $A = \{1,2\}, B = \{3, 4\}$. Тогда результат декартова произведения можно записать так: $A\times B = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$, а $B\times A = \{(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)\}$
2. Если в предыдущем примере положить $B=A$, очевидно, что $A\times B = B\times A = \{(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)\}$
3. Возьмём $A = \{x \in \mathbb{R}|0\leq x \leq 5\}, B = \{x \in \mathbb{R}|5\leq x \leq 10\}$. Тогда $A\times B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2|0\leq x \leq 5 \wedge 5\leq x \leq 10\}$
4. Множества декартова произведения могут и не быть привычными числовыми множествами: $A = \{\circ, \diamond\}, B = \{2,8\}, A\times B = \{(\circ,2),(\circ,8),(\diamond,2),(\diamond,8)\}$
5. Спойлер

   
   Множество точек некой функции $f(x)$ можно отождествить как подмножество множества $\mathbb{R}^2$: $F = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | f(x) = y\}$

   [свернуть]
6. Спойлер

   
   Множество клеток игрового поля «Морского боя» можно представить в виде декартова произведения множеств $A = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}, B =\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$

   [свернуть]

Сферы использования

С помощью декартова произведения множеств определяется понятие бинарного отношения. Кроме этого, декартово произведение используется очень часто для обозначения множества числовых наборов, особенно в математическом анализе.

Часто говорят, например, что некая функция $f$ действует следующим образом: $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ (числовая функция $n$ переменных).

Список литературы

1. Белозёров Г.С. Конспект по алгебре и геометрии.
2. Ануфриенко С.А. — Введение в теорию множеств и комбинаторику. Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А.М. Горького, 1998 (стр. 11-13).

Декартово произведение множеств

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 6 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

Информация

Тест предназначен для проверки знаний по теме «Декартово произведение множеств».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Рубрики

1. Нет рубрики 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
6. 6

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   1.

   Какая из представленных записей является правильной записью определения декартова произведения множеств?

   • $A\times B = \{(x,y)|x \in A, y \in B \}$
   • $A\times B = \{(x,y)|x \cdot y \in A \cap B\}$
   • $A\times B = \{(y,x)|x \in A, y \in B \}$
   • Никакая из представленных.
   Правильно
   

   Неправильно
   
2. Задание 2 из 6

   2.

   Выберите два правильно построенных декартова произведения.

   • $A=\{0, 1\}, B=\{a, b\}, A\times B = \{(0,a), (0, b), (1, a),$ $(1, b)\}$
   • $A=\{2,3\}, B=\{\oplus , \ominus \}, C = \{\alpha, \beta \}, A \times B \times C =$ $\{(2, \oplus, \alpha), (2, \oplus, \beta), (2, \ominus, \alpha), (2, \ominus, \beta),(3, \oplus, \alpha),$ $(3, \oplus, \beta), (3, \ominus, \alpha), (3, \ominus, \beta) \}$
   • $A=\{f, g\} B = \{f\}, A\times B = \{(f, f), (f, g), (g, f), (g, g)\}$
   • $A=\{2,3\}, B=\{\oplus , \ominus \}, C = \{\alpha, \beta \}, A \times B \times C =$ $\{(2, \oplus, \alpha), (2, \oplus, \beta), (2, \ominus, \alpha), (3, \ominus, \beta),(3, \oplus, \alpha),$ $(3, \oplus, \beta), (3, \ominus, \alpha) \}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
3. Задание 3 из 6

   3.

   Выберите правильное утверждение.
   $A,B,C$ — произвольные непустые множества.

   • $A^{np} \ne (A^n)^p$
   • $A\times B = B \times A$
   • $(A\times B) \times C = A \times (B \times C)$
   • $|A\times B| = |A| + |B|$
   Правильно
   

   Неправильно
   
4. Задание 4 из 6

   4.

   Выберите те пары, которые принадлежат произведению $A\times B$, где $A=\{x \in \mathbb{N} | 1 \le x \le 10\}$, а $B=\{x \in \mathbb{R} | x^2 > 9\}$

   • $(3, 3.101), (9, 4), (1, -4)$
   • $(8, -7), (5, 14), (2, -12)$
   • $(4, -7), (5, -2.84), (7, -14)$
   • $(11, -7), (3, 9), (1, -17)$
   Правильно
   

   Неправильно
   
5. Задание 5 из 6

   5.

   Запишите хотя бы одну пару, принадлежащую $A\times B$.
   Пример ввода: (2,3)
   $A = \{0, 3\}, B = \{-1, 1\}$
   Правильно
   

   Неправильно
   
6. Задание 6 из 6

   6.

   Отсортируйте произведения по количеству элементов в результирующих множествах (от большего к меньшему).

   • $A\times B$, причём $A = \mathbb{N}$, а $B = \{-3, 3, 18\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{1, 9, 33\}$, а $B = \{-0.35, -0.45, -0.55\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{9, 81\}$, а $B = \{7, 49\}$
   • $A\times B$, причём $A = \{1, 2\}$, а $B = \{ \oplus \}$
   Правильно
   

   Неправильно