Условие

Пусть $A$ – произвольная четная цифра, $B$ –произвольная нечетная цифра. Докажите, что существует натуральное число, делящееся на $2^{2000},$ каждая цифра которого – либо $A,$ либо $B.$

Решение

Укажем способ составления из цифр $A$ и $B$ числа, делящегося на $2^n$ для любого натурального $n.$ Обозначим такое число $G_n.$ При $n = 1$ полагаем $G_n=G_1= A.$ Пусть построено число $G_k$ при $n=k \geqslant 1.$ Воспользуемся им при построении следующего числа $G_{k+1},$ делящегося на $2^{k+1}$ .

Если $G_k$ делится на $2^{k+1},$ то полагаем $G_{k+1}=G_k,$ в противном случае построим вспомогательное число $F_k$ , обладающее следующими свойствами: число $F_k$ составлено из цифр $A$ и $B$ , делится на $2^k$ и имеет в своей десятичной записи ровно $k$ цифр.

Если $G_k$ имеет в своей записи ровно $k$ цифр, то полагаем $F_k=G_k$ .

Если в записи $G_k$ более $k$ цифр, положим $F_k$ равным числу, получающемуся из $G_k$ отбрасыванием старших цифр, начиная с $(k + 1)$ -й. По признаку делимости на $2^k,$ полученное из $G_k$ после такой операции число $F_k$ будет также делиться на $2^k$ .

Если в записи $G_k$ менее $k$ цифр, припишем к числу $G_k$ слева его же несколько раз таким образом, чтобы в результате получилось число, в записи которого не менее $k$ цифр. Это число делится на $G_k$ и, следовательно, на $2^k.$ Если из него отбросить все старшие цифры, начиная с $(k + 1)$ -й, то в результате получим число $F_k,$ которое, по признаку делимости на $2^k,$ также делится на $2^k.$

Если число $F_k$ делится на $2^{k+1},$ то полагаем $G_{k+1}=F_k,$ в противном случае полагаем $G_{k+1}=\overline{B F_k},$ приписав к числу $F_k$ число $B$ слева. Положив $F_k=2^k p,$ где $p$ – некоторое нечетное число, получаем $G_{k+1}=10^k B+2^k p=2^k (5^k B + p).$ В скобках стоит четное число, поэтому $G_{k+1}$ делится на $2^{k+1}.$

И.Акулич, А.Жуков

Пусть функция $f$ дифференцируема в некоторой точке $x$ . Тогда, согласно определению дифференцируемости и свойствам производной, справедливо равенство $f\left(x + \Delta x\right) − f \left(x\right) = f’\left(x\right) \Delta x + \overline{o}\left(\Delta x\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\left(\Delta x \to 0\right).$ Левая часть этого равенства называется приращением функции $f$ в точке $x,$ соответствующим приращению $\Delta x$ независимой переменной в точке $x,$ и обозначается $\Delta f \equiv \Delta f \left(x\right) = f \left(x + \Delta x\right) − f \left(x\right).$ Таким образом, приращение $\Delta f \left(x\right)$ дифференцируемой в точке $x$ функции $f$ состоит из двух слагаемых: $f’\left(x\right) \Delta x$ и $\overline{o}\left(\Delta x\right)$ При этом главную часть этого приращения составляет первое слагаемое (за исключением случая, когда $f’\left(x\right)=0$ ).
Итак, мы приходим к следующему определению.

Определение. Пусть функция

$f$ дифференцируема в точке

$x.$ Линейная функция

$dy=f’\left(x\right)dx$ переменной

$dx$ называется дифференциалом функции

$f$ в точке

$x$ и обозначается

$df=f’\left(x\right)dx.$ Если в определении дифференциала переменную

$x$ считать зависимой от другой переменной

$x = x(t)$ , то для функции

$g(t)=f(x(t))$ будем иметь

$df\left(t\right)=df\left(x\left(t\right)\right)=dg\left(t\right)=g’\left(t\right)dt=f’\left(x\left(t\right)\right)x’\left(t\right)dt=f’\left(x\right)dx.$ Получили, что форма дифференциала функции не зависит от того, является ли переменная $x$ зависимой, или независимой. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала. Свойства дифференциала определяются свойствами производных и правилами дифференцирования. Например,
$d\left(uv\right)=\left(u’\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v’\left(x\right)\right)dx=u\left(x\right)dv\left(x\right)+v\left(x\right)du\left(x\right),$
или, короче,
$d\left(uv\right)=udv+vdu.$
Аналогично имеем
$d\left(\frac{u}v\right)=\frac{vdu-udv}{v^2}.$
В дальнейшем при изучении функций многих переменных мы остановимся на понятии дифференциала более подробно. Напомним, что функция $f$ называется дифференцируемой на интервале, если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Определение. Пусть функция

$f$ определена на интервале

$I$ . Если существует функция

$F$ , дифференцируемая на интервале

$I$ и такая, что

$F’\left(x\right)=f\left(x\right)$ для всех

$x \in I$ , то функция

$F$ называется первообразной (или примитивной) для функции

$f$ на этом интервале. Например,

$f\left(x\right)=2xe^{x^2}, F\left(x\right)=e^{x^2}\,\,\,\,\left(-\infty<x<+\infty\right).$
Если для функции

$f$ существует одна первообразная, то существует бесконечно много первообразных. Действительно, каждая функция вида

$F(x)+C,$ где

$C$ — постоянная, также является первообразной, поскольку

$\left(F\left(x\right)+C\right)’=F’\left(x\right)=f\left(x\right).$
Ниже будет доказана следующая.

Теорема. Каждая непрерывная на интервале функция имеет первообразную на этом интервале.

Пример. Пусть $f\left(x\right)=|x|,\,\, x \in \left(-\infty,+\infty\right).$ Тогда $F\left(x\right)=\frac{x^2}2$ при $x>0$ и $F\left(x\right)=-\frac{x^2}2$ при $x<0.$ Легко проверить, что для функции $F\left(x\right)=-\frac{x^2}2 sign\, x\,\,\,\,\left(-\infty<x<\infty\right)$ справедливо также равенство $F’\left(0\right)=0=|0|=f\left(0\right),$ так что $F$ — первообразная для $f.$

Если функция $f$ имеет первообразную на интервале $I,$ то разность двух любых ее первообразных тождественно постоянна на этом интервале.

Пусть

$F_1,F_2$ — две первообразные для функции

$f.$ Тогда

${F’}_1\left(x\right)=f\left(x\right)$ и

${F’}_2\left(x\right)=f\left(x\right)$ для всех

$x \in I$ справедливо равенство

$\left(F_1-F_2\right)’\left(x\right)=0.$ Поэтому, в силу следствия из теоремы Лагранжа, разность

$F_1 − F_2$ – тождественно постоянная функция, что и требовалось доказать.

Следствие. Bсе первообразные можно описать равенством $F\left(x\right)+C$ , где $F\left(x\right)$ — одна из первообразных.

Определение. Совокупность всех первообразных функции

$f$ называется неопределенным интегралом от функции

$f$ и обозначается

$\int f\left(x\right)dx$ . При этом сама функция

$f\left(x\right)$ называется подынтегральной функцией, а

$f\left(x\right)dx$ называется подынтегральным выражением. Как было сказано выше, если

$F\left(x\right)$ – одна из первообразных функции

$f\left(x\right),$ то справедливо следующее равенство:

$\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C,$
где $C$ – постоянная.
Операция нахождения первообразных называется интегрированием. Отметим, что определение первообразной не является конструктивным, как, например, определение производной. Действительно, в определении производной дается правило ее вычисления, а в определении первообразной – только свойство, которым она должна обладать. Такое определение называется дескриптивным.

Простейшие свойства неопределенного интеграла

1. Если функция $F$ дифференцируема на интервале $I,$ то
$\int F’\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C.$
Это сразу следует из определения первообразной.

2. Если $\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C$ и $\int g\left(x\right)dx = G\left(x\right) + C$ , то $\int [f\left(x\right) + g\left(x\right)]dx= F\left(x\right) + G\left(x\right) + C,$ или, что то же самое,
$\int [f\left(x\right) + g\left(x\right)]dx =\int f\left(x\right)dx + \int g\left(x\right)dx$
Действительно, при наших предположениях имеет место равенство
$\left(F\left(x\right) + G\left(x\right)\right)0 = F’\left(x\right) + G’\left(x\right) = f\left(x\right) + g\left(x\right).$

3. Если $\int f\left(x\right)dx = F\left(x\right) + C,$ то для любого действительного числа $α \neq 0$ $\int [αf\left(x\right)]dx = αF\left(x\right) + C,$ или, что то же самое, $\int [αf\left(x\right)]dx = α\int f\left(x\right)dx.$
Это равенство очевидно следует из определения. Заметим, что при $α = 0$ оно неверно по той причине, что в левой его части совокупность всех постоянных, а в правой – тождественный нуль.

4. Если $\int f\left(t\right)dt = F\left(t\right) + C,$ то для любого $a \neq 0$ и для любого $b$
$\int f\left(ax + b\right)dx = \frac{1}aF’\left(ax + b\right) + C.$
Действительно,
$\biggl[\frac{1}aF\left(ax+b\right)\biggr]’=\frac{1}aF’\left(ax+b\right)·a=f\left(ax+b\right).$

Формулы для нахождение простейших неопределенных интегралов

1. $\int adx=ax+C$

2. $\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\,\, a\neq-1,\,\, x>0$

3. $\int \frac{dx}x=\ln|x|+C$

4. $\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln|a|}+c$

5. $\int e^xdx=e^x+C$

6. $\int \sin xdx=-\cos x+C$

7. $\int \cos xdx=\sin x+C$

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

$\int \left(x^2-4x\right)dx=$

Решение

$=\int x^2dx-\int 4xdx=\frac{x^3}3-\frac{4x^2}2+C=\frac{x^3}3-2x^2+C$
$\int \left(\frac 1{\sqrt[3]{x^2}}\right)dx=$

Решение

$=\int x^{\frac{-2}{3}}dx=\frac{x^{\frac{1}3}}{\frac{1}3}=3\sqrt[3]{x}+C$
$\int \cos\left(2x+3\right)dx=$

Решение

$=\frac{1}2\sin\left(2x+3\right)+C$
$\int \left(3\sin x+\frac{10}x\right)dx=$

Решение

$=\int 3\sin xdx+\int \frac {10}xdx=-3\cos x+10 \ln|x|+C$

Неопределенный интеграл и его простейшие свойства

Данный тест поможет вам лучше разобраться с темой.

Задание 1 из 5

1.
Функция $F\left(x\right)$ называется первообразной функции $f\left(x\right)$ на некотором промежутке, если в каждой точке этого промежутка справедливо равенство:
- $\int F\left(x\right)dx=f\left(x\right)+C$
- $f'\left(x\right)=F\left(x\right)$
- $\int dF\left(x\right)=F\left(x\right)$
- $F'\left(x\right)=f\left(x\right)$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Вставьте пропущенное слово
- Пусть функция f дифференцируема в точке x. Линейная функция dy=f'(x)dx переменной dx называется (дифференциалом) функции f в точке x и обозначается df=f'(x)dx.
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Вставьте пропущенное слово
- Нахождение неопределённого интеграла от заданной функции называют (интегрированием).
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Чему равен $\int 6x^5dx$ ?
- $30x^4$
- $x^6+C$
- $\frac{3x^4}2+C$
- $x^6$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Поставьте ответы в правильном порядке.
$\int \cos 3xdx=$
$\int \sin 3xdx=$
$\int \left(x^3+2\right)dx=$
$\int \left(e^x+\frac 1{3}\right)dx=$
- $=\frac{1}3 \sin 3xdx+C$
- $=-\frac{1}3 \cos 3xdx+C$
- $=\frac{x^4}{4}+2x+C$
- $e^x+\frac{1}3 x+C$
Правильно

Неправильно

Литература

Коляда В.И. , Кореновский А. А. Курс лекций по математическому анализу.- Одесса: Астропринт , 2009. Раздел 8.4 (стр. 156-159)

Автор: ivan-myasoyedov

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 6 выпуск) М1750

Условие

Решение

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 1 выпуск) M1740

Условие

Решение

Задача из журнала «Квант» (2001 год, 1 выпуск) M1739

Условие

Решение

6.1 Определение и простейшие свойства неопределенного интеграла

Простейшие свойства неопределенного интеграла

Формулы для нахождение простейших неопределенных интегралов

Примеры решения задач

Неопределенный интеграл и его простейшие свойства

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

2.

3.

4.

5.

Литература

Смотрите также

Средний результат
Ваш результат