Для того чтобы понять принцип работы алгоритма (который также называют «схемой Горнера» или «методом Горнера»), разберемся, что с его помощью можно делать, откуда берется этот алгоритм, как именно и почему он работает.

Алгоритм Горнера помогает решать две алгебраические задачи:

Решение уравнений высших степеней;
Работа с многочленами.

Все это можно делать и без использования алгоритма, однако его преимущество заключается в скорости.

Выведем схему Горнера

Пусть нам нужно найти корни многочлена $P\left(x\right),$ то есть решить уравнение $P\left(x\right)=0.$ $P\left(x\right)$ представим в виде: $\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n{a_{i}x^i} = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots +\ a_{1}x + a_{0}.$ Решение может осуществляться методами, которые используют производные (если нам нужно найти только действительные корни), а также любыми итерационными способами. Последний требует многократного вычисления значений многочлена.

По следствию из теоремы Безу, многочлен $P\left(x\right)$ можно представить в виде: $P\left(x\right) = \left(x-x_{0}\right)Q\left(x\right) + R\left(x\right),$ где $Q\left(x\right)\ —$ результат деления $P\left(x\right)$ на $\left(x-x_{0}\right),\ R\left(x\right)\ —$ остаток от этого деления. Обозначим $Q\left(x\right)$ как $b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \ldots + b_{0}.$ Перепишем наш многочлен: $\begin{multline}\underbrace{a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{1}x + a_{0}}_{P\left(x\right)} \equiv \\ \equiv \left(x-x_{0}\right)\underbrace{\left(b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \ldots + b_{0}\right)}_{Q\left(x\right)} + R\left(x\right). \end{multline}$ Для того чтобы вычислить значения многочлена, нам необходимо при заданном $x = x_{0}$ найти степени $x_{0}^k,\ \left(k = \overline{1,n}\right),$ результаты умножить на коэффициенты $\left(b_{n-1}, b_{n-2}, \ldots, b_{0}\right)$ , а получившееся сложить. Однако, чтобы ускорить процесс и вдвое сократить количество умножений, можно воспользоваться алгоритмом Горнера. Выведем его.

Алгоритм берет свое начало из теоремы Безу, которая звучит так: если многочлен $P\left(x\right)$ разделить на двучлен $\left(x-x_{0}\right),$ то остаток от этого деления будет равен значению $P\left(x\right)$ на элементе $x_{0},$ т.е. (остаток) $R\left(x\right) = P\left(x_{0}\right).$

В тождестве $\left(1\right)$ умножим $\left(x-x_{0}\right)$ на $Q\left(x\right)$ . Получаем $a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{1}x + a_{0} \equiv \\ \equiv b_{n-1}x^n + b_{n-2}x^{n-1} + \ldots + b_{0}x-\\-x_{0}b_{n-1}x^{n-1}-x_{0}b_{n-2}x^{n-2}-\ldots-x_{0}b_{0} + R\left(x\right).$ Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x:$ $b_{n-1} = a_{n};\ b_{n-2} = a_{n-1}+x_{0}b_{n-1};\ \ldots;\ R\left(x\right) = a_{0}+x_{0}b_{0}.$ Приходим к исходному: $R\left(x\right)=P\left(x_{0}\right).$ Результаты оформим в виде таблицы:

	$a_n$	$a_{n-1}$	$\ldots$	$a_0$
$x_0$	$b_{n-1}$	$b_{n-2}$	$\ldots$	$R\left(x\right)$

Эта таблица и есть схемой Горнера.

помимо значения остатка $R\left(x\right),$ алгоритм дает нам $Q\left(x\right)$ (неполное частное). Также, если остаток $R\left(x\right)=0,$ то $x_{0} —$ корень многочлена $P\left(x\right).$

Далее, с помощью примеров, рассмотрим, как алгоритм работает на практике.

Примеры решения задач

Разделить многочлен $P_{5}\left(x\right) = x^5-8x^4+7x^3-4x^2+16x+24$ на $\left(x-2\right).$

Решение

Вместо деления уголком, воспользуемся алгоритмом Горнера:

$1$ $-8$ $7$ $-4$ $16$ $24$

$2$ $1$

В ячейки, выделенные розовым, записываем коэффициенты многочлена $P_5\left(x\right),$ а в желтую ячейку — $x_0.$ Оставшееся место в таблице будем заполнять вычислениями. Первое число всегда сносим без изменений.

$1$ $-8$ $7$ $-4$ $16$ $24$

$2$ $1$ $-6$

$x_0$ умножаем на число в ячейке напротив, складываем со следующим коэффициентом $P_5\left(x\right),$ и под ним записываем результат (в зеленой ячейке). Дальше продолжаем выполнять действия, которые указаны выше. Получаем таблицу:

$1$ $-8$ $7$ $-4$ $16$ $24$

$2$ $1$ $-6$ $-5$ $-14$ $-12$ $0$

Область, выделенная голубым — это получившиеся коэффициенты нового многочлена $Q\left(x\right),$ а фиолетовым — остаток $R\left(x\right).$

Ответ: $P_5\left(x\right) = x^5-8x^4+7x^3-4x^2+16x+24= \\ =\left(x-2\right)\left(x^4-6x^3-5x^2-14x^2-12x\right) + 0.$

Заметим, что степень $Q\left(x\right)$ всегда на $1$ меньше степени $P\left(x\right).$ Также, выше было сказано, что если $R\left(x\right)=0,$ то $x_{0} —$ корень многочлена. В данном случае $x_{0}$ является корнем $P_{5}\left(x\right).$

[свернуть]
Определить кратность корня $x_{0}=1$ многочлена $P_{5}\left(x\right)=x^5-8x^3+14x^2-9x+2.$

Решение

Кратность корня определяется количеством нулевых остатков от деления $P\left(x\right)$ на $\left(x-x_{0}\right).$ Воспользуемся схемой Горнера:

$1$ $0$ $-8$ $14$ $-9$ $2$

$1$ $1$ $1$ $-7$ $7$ $-2$ $0$

Так как $R\left(x\right)=0,$ мы можем проверить, является ли $x_0=1$ корнем для уже нового многочлена $Q\left(x\right).$ Продолжаем заполнять таблицу по тому же принципу.

$1$ $0$ $-8$ $14$ $-9$ $2$

$1$ $1$ $1$ $-7$ $7$ $-2$ $0$

$1$ $1$ $2$ $-5$ $2$ $0$

$1$ $1$ $3$ $-2$ $0$

$1$ $1$ $4$ $2$

В последней строке мы получили ненулевой остаток. Значит, вычисления можно закончить. Определяем кратность по количеству нулей на «лесенке». Записываем получившееся разложение: $P_5\left(x\right) = x^5-8x^3+14x^2-9x+2 = \left(x-1\right)^3\left(x^2+3x-2\right).$

Ответ: $x_0$ для многочлена $P_5\left(x\right)$ является корнем третьей кратности.

[свернуть]
При каких значениях $A$ и $B$ многочлен $P_4\left(x\right) = Ax^4 + Bx^2 + 1$ делится на $\left(x-1\right)^2?$

Решение

Перефразируем условие задачи для лучшего понимания: при каких $A$ и $B$ число $x_0$ будет корнем $P_4\left(x\right)$ , кратности не ниже $2?$ Воспользуемся алгоритмом Горнера.

$A$ $0$ $B$ $0$ $1$

$1$ $A$ $A$ $A+B$ $A+B$ $A+B+1$

$1$ $A$ $2A$ $3A+B$ $4A+2B$

$1$ $A$ $3A$ $6A+B$

Можем сделать вывод, что кратность корня будет не ниже двух тогда и только тогда, когда $\begin{cases}A + B + 1 = 0 \\ 4A + 2B = 0\end{cases}.$ Отсюда $A = 1, B= -2.$ Однако, есть вероятность, что при этих же значениях $A$ и $B$ кратность корня будет больше. Для этого мы и записали последнюю строку в таблице. Не составляет труда проверить, что $6A + B = 6 \cdot 1 + \left(-2\right) = 4 \neq 0 \Rightarrow$ кратность корня равна двум, ни больше, ни меньше.

Ответ: $\left(x-1\right)^2$ делит $P_4\left(x\right) \Leftrightarrow A=1,\ B=-2.$ $\left(x-1\right)^3$ не делит $P_4\left(x\right)$ ни при полученных значениях $A$ и $B,$ ни при каких других.

[свернуть]
Дан многочлен P4(x)=x4−(2+i)x3−(3+2i)x+5 над полем $\usepackage{amsfonts}\mathbb{C}$ . Разделить его с остатком на (x−x0), где x0=1−i, попутно вычислив P4(x0).
Решение
Используем схему Горнера таким же образом, как в примерах выше.

$1$ $-2-i$ $0$ $-3-2i$ $5$

$1-i$ $1$ $-1-2i$ $-3-i$ $-7$ $2-7i$
1. $1-i-2+i = \mathbf{-1-2i};$
2. $\left(-1-2i\right)\left(1-i\right) = -1+i-2i+2i^2 = -1-i-2 = \mathbf{-3-i};$
3. $\left(-3-i\right)\left(1-i\right) = -3+3i-i+i^2 = -3+2i-1 = -4+2i; \\ -4+2i-3-2i = \mathbf{-7};$
4. $\left(-7\right)\left(1-i\right) = -7-7i; \\ -7-7i+5 = \mathbf{2-7i}.$
Ответ: $P_4\left(x\right) = \left(x-\left(1-i\right)\right)\left(x^3+\left(-1-2i\right)x^2+\left(-3-i\right)x-7\right)+\left(2-7i\right);$ $P_4\left(x_0\right) = 2-7i.$

[свернуть]

Почему алгоритм Горнера работает?

После ознакомления с примерами решения задач, можно приступить к изучению данного вопроса. Представим многочлен уже привычным нам образом $P\left(x\right) = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{1}x + a_{0}.$ Сделаем самое очевидное действие — вынесем $x$ за скобки: $x\left(a_{n}x^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \ldots + a_{1}\right) + a_{0}.$ Если мы повторим это действие $n-1$ раз, то получим $\underbrace{x(x(x\ldots}_{n-1}\left(a_{n}x+a_{n-1}\right)+\ldots \left)+a_1\right)+a_0.$ Алгоритм Горнера работает вне зависимости от того, какая степень у многочлена — схема универсальна. Посмотрим на примере. $\begin{multline}P_7\left(x\right) = x^7+5x^6-2x^5-x^4+3x^2-8x+11 = \\ = x\left(x^6+5x^5-2x^4-x^3+3x-8\right)+11 = \\ = x\left(x\left(x^5+5x^4-2x^3-x^2+3\right)-8\right)+11 = \\ = x\left(x\left(x\left(x^4+5x^3-2x^2-x+0\right)+3\right)-8\right)+11 = \\ = x\left(x\left(x\left(x\left(x^3+5x^2-2x-1\right)+0\right)+3\right)-8\right)+11 = \\ = x\left(x\left(x\left(x\left(x\left(x^2+5x-2\right)-1\right)+0\right)+3\right)-8\right)+11 = \\ = \underbrace{x(x(x(x(x(x}_{(n-1)=(7-1)=6} (x+5)-2)-1)+0)+3)-8)+11 = \\ = x\left(x\left(x\left(x\left(x\left(x\left(\left(1\cdot x\right)+5\right)-2\right)-1\right)+0\right)+3\right)-8\right)+11. \end{multline}$ Отсюда видим, для того чтобы посчитать выражение $\left(2\right),$ мы должны $1$ (коэффициент перед $x^7$ ) умножить на $x,$ результат прибавить к $5$ (коэффициент перед $x^6$ ), опять умножить на $x$ и т.д. То есть мы делаем все то, что и в схеме Горнера.

Почему разложение $P\left(x\right) = \left(x-x_0\right)Q\left(x\right)+R\left(x\right)$ — верно? Начнем с арифметики. Возьмем какое-то натуральное число $a.$ Как гласит нам основная теорема арифметики, его всегда можно представить в виде произведения двух других чисел с остатком, то есть $a = s \cdot q + r.$ Например, $7 = 2 \cdot 3 +1,$ $8 = 4 \cdot 2 + 0.$ Разложение такого типа единственно, причем $0 \leqslant r < s.$

Тоже самое происходит и с многочленами. Допустим, мы хотим разделить многочлен $P\left(x\right)$ на $Q\left(x\right)$ с остатком. Значит $P\left(x\right)$ можно записать как $P\left(x\right) = S\left(x\right) \cdot Q\left(x\right) + R\left(x\right),$ где $0 \leqslant \deg{R}\left(x\right) < \deg{Q}\left(x\right).$

Если $Q\left(x\right) = \left(x-x_0\right)$ (линейный многочлен), то его степень — единица. Тогда результатом деления любого многочлена на линейный, будет какой-то новый многочлен степени на единицу меньше, и остаток — многочлен нулевой степени (любое число в степени $0\ -$ это $1$ ). Следовательно, остатком всегда будет просто число. Именно его мы ищем в схеме Горнера в конце каждой строки.

Дополнительные примеры решения задач

Разложить многочлен

$P_6(x) = x^6+6x^5+3x^4-28x^3-9x^2+54x-27$ по степеням

$\left(x-1\right).$

Решение

Ответ будет выглядеть как формула Тейлора: $P\left(x\right) = h_n\left(x-x_0\right)^n+ h_{n-1}\left(x-x_0\right)^{n-1} + h_{n-2}\left(x-x_0\right)^{n-2} + \ldots + \\ + h_{2}\left(x-x_0\right)^2 + h_{1}\left(x-x_0\right) + h_0.$

Общий вид схемы Горнера для решения задачи:

	$a_n$	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	$\ldots$	$a_2$	$a_1$	$a_0$
$x_0$	$b_{n-1}$	$b_{n-2}$	$b_{n-3}$	$\ldots$	$b_1$	$b_0$	$h_0$
$x_0$	$с_{n-1}$	$с_{n-2}$	$с_{n-3}$	$\ldots$	$с_1$	$h_1$
$x_0$	$d_{n-1}$	$d_{n-2}$	$d_{n-3}$	$\ldots$	$h_2$
$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\ldots$	$\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu \raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}$
$x_0$	$f_{n-1}$	$f_{n-2}$	$h_{n-2}$
$x_0$	$g_{n-1}$	$h_{n-1}$
$x_0$	$h_n$

$a_n = b_{n-1} = c_{n-1} = d_{n-1} = \ldots = f_{n-1} = g_{n-1} = h_n.$

	$1$	$6$	$3$	$-28$	$-9$	$54$	$-27$
$1$	$1$	$7$	$10$	$-18$	$-27$	$27$	$0$
$1$	$1$	$8$	$18$	$0$	$-27$	$0$
$1$	$1$	$9$	$27$	$27$	$0$
$1$	$1$	$10$	$37$	$64$
$1$	$1$	$11$	$48$
$1$	$1$	$12$
$1$	$1$

Ответ: $P_6\left(x\right)=64\left(x-1\right)^3+48\left(x-1\right)^4+12\left(x-1\right)^5+\left(x-1\right)^6.$

[свернуть]

Найти все рациональные корни многочлена

$P_7\left(x\right) = 9x^7+3x^6-23x^5+4x^4-5x^3+23x^2-13x+2.$

Решение

В таких заданиях всегда в первую очередь проверяются корни $\pm 1$ и их кратность. Получается разложение $P\left(x\right) = \left(x-1\right)^{k}\left(x+1\right)^{l}g\left(x\right),$ где $k\ —$ кратность корня $1,$ $l\$ кратность корня $-1,$ $g\left(x\right) = b_{m}x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \ldots + b_{1}x + b_0$ $\left(m = n-k-l\right).$ Числа $\pm 1$ не являются корнями $g\left(x\right)$ .

Введём $x_0=\displaystyle\frac{s}{t},$ где $s \in \mathcal{S},\ t \in \mathcal{T},\ x_0 \in \mathcal{X},\ \mathcal{S}\ —$ множество всех делителей $a_0,$ $\mathcal{T}\ —$ множество всех положительных делителей $a_n,$ $\mathcal{X}\ —$ множество всех дробей, которые потенциально являются корнями.

Отбор потенциальных корней (кроме $\pm 1$ ) приводит к множествам: $\mathcal{S} = \big\{s \in \mathbb{Z} : s|b_0\big\},\ \mathcal{T} = \big\{t \in \mathbb{Z} : \left(t|b_m \right)\wedge\left(t>0 \right)\big\},$ $\mathcal{X} = \bigg\{\displaystyle\frac{s}{t} \in \mathbb{Q} : s \in \mathcal{S},\ t \in \mathcal{T}\bigg\}.$ Их формирование будет происходить уже для $g\left(x\right).$

Сначала проверим по Горнеру, являются ли $\pm 1$ корнями $P_7\left(x\right).$

	$9$	$3$	$-23$	$4$	$-5$	$23$	$-13$	$2$
$1$	$9$	$12$	$-11$	$-7$	$-12$	$11$	$-2$	$0$
$1$	$9$	$21$	$10$	$3$	$-9$	$2$	$0$
$1$	$9$	$30$	$40$	$43$	$34$	$36$
$-1$	$9$	$12$	$-2$	$5$	$-14$	$16$

По таблице видно, что $x_0=1\ —$ корень второй кратности, а $x_0=-1$ корнем не является. Получаем разложение: $P_7\left(x\right) = \left(x-1\right)^{2}g\left(x\right),$ $g\left(x\right) = 9x^5+21x^4+10x^3+3x^2-9x+2.$ Также мы определили значения $g\left(1\right) = 36$ и $g\left(-1\right) = 16.$

Для свободного члена $b_0 = 2$ формируем $\mathcal{S}\ —$ множество всех его целых делителей, а для $b_m = 9$ формируем $\mathcal{T}\ —$ множество всех его натуральных делителей. $\begin{eqnarray*}\mathcal{S} = \{2;\ -2;\ 1;\ -1\},\ \mathcal{T} = \{9;\ 3;\ 1\}. \end{eqnarray*}$

Формируем множество $\mathcal{X},$ которое состоит из всех вариаций $x_0 = \displaystyle\frac{s}{t},$ где $s \in \mathcal{S},$ а $t \in \mathcal{T}.$ Все полученные числа записываем дробями: $\mathcal{X} = \bigg\{\displaystyle\frac29;\ \displaystyle\frac23;\ \displaystyle\frac21;\ \displaystyle\frac{-2}9;\ \displaystyle\frac{-2}3;\ \displaystyle\frac{-2}1;\ \displaystyle\frac19;\ \displaystyle\frac13;\ \displaystyle\frac11;\ \displaystyle\frac{-1}9;\ \displaystyle\frac{-1}3;\ \displaystyle\frac{-1}1\bigg\}.$

Сразу вычеркиваем дроби со значениями $\pm 1.$ То что остается, проверяем на двух тестах:

$t-s|g \left(1 \right);$
$t+s|g \left(-1 \right).$

Все тесты проходят дроби: $\mathcal{X}^\prime = \bigg\{-2;\ \displaystyle\frac13;\ \displaystyle-\frac{1}3\bigg\}.$

Теперь, каждое из этих чисел проверим с помощью алгоритма Горнера.

	$9$	$21$	$10$	$3$	$-9$	$2$
$-2$	$9$	$3$	$4$	$-5$	$1$	$0$
$-2$	$9$	$-15$	$34$	$-73$	$-145$
$\displaystyle\frac13$	$9$	$6$	$6$	$-3$	$0$
$\displaystyle\frac13$	$9$	$9$	$9$	$0$
$\displaystyle\frac13$	$9$	$12$	$13$
$\displaystyle-\frac13$	$9$	$6$	$7$

Нам подходят строки с нулевым остатком. Запишем получившееся разложение: $g\left(x\right) = \left(x-\displaystyle\frac13\right)^2\left(x+2\right)\left(9x^2+9x+9\right) = \\ = 9\left(x-\displaystyle\frac13\right)^2\left(x+2\right)\left(x^2+x+1\right).$

У нас появился квадратный трехчлен, который может дать нам новые корни. Однако у него отрицательный дискриминант, следовательно, корней больше нет.

Ответ: корни $P_7\left(x\right):\ 1;\ -2;\ \displaystyle\frac13.$

[свернуть]

Алгоритм Горнера

Тест на проверку знаний по теме «Алгоритм Горнера»

Смотрите также

Алгебра: Теоремы и алгоритмы: учеб. пособие / Н. И. Яцкин. — Иваново: Иван. гос. ун-т, 2006. — 506с. (c.383-394, 501-503)
Основы численных методов: Учебник для вузов/В.М.Вержбицкий. — М.: Высш. шк., 2002. — 840c. (с.272-275)
Личный конспект, составленный на основе лекций Белозерова Г.С.

Задача из журнала «Квант» (2002 год, 1 выпуск)

Условие

Докажите, что $\frac{\displaystyle a}{\displaystyle\sqrt{a^2+8bc}} + \frac{\displaystyle b}{\displaystyle\sqrt{b^2+8ca}} + \frac{\displaystyle c}{\displaystyle\sqrt{c^2+8ab}} \geqslant 1$ для любых положительных чисел $a$ , $b$ и $c.$

Доказательство

Так как выражение в левой части однородно относительно $a,\ b$ и $c$ (т.е. $f(a, b, c)$ = $f(\lambda a, \lambda b, \lambda c)$ ), то мы можем считать, что $abc = 1.$ Из равенства $abc = 1$ следует, что $\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{8abc}{a^3}}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{8}{a^3}}}\ .$ Пусть $1+\displaystyle\frac8{a^3}=x\ , \ 1+\displaystyle\frac8{b^3}=y\ , \ 1+\displaystyle\frac8{c^3}=z\ ,$ тогда нужно доказать неравенство $\begin{multline}\displaystyle\frac1{\sqrt{\mathstrut x}} + \displaystyle\frac1{\sqrt{\mathstrut y}} + \displaystyle\frac1{\sqrt{\mathstrut z}} \geqslant 1 \ \Leftrightarrow \ \sqrt{\mathstrut xy} + \sqrt{\mathstrut xz} + \sqrt{\mathstrut yz} \geqslant \sqrt{\mathstrut xyz}\ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \ xy + xz + yz + 2\sqrt{x^2yz} + 2\sqrt{xy^2z} + 2\sqrt{xyz^2} \geqslant xyz \ \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow xy + xz + yz + 2\sqrt{\mathstrut xyz} \left(\sqrt{\mathstrut x} + \sqrt{\mathstrut y} + \sqrt{\mathstrut z} \right) \geqslant xyz\ .\end{multline}$ Теперь, применив неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, находим $x = 1 + \underbrace{\displaystyle\frac1{a^3} + … + \displaystyle\frac1{a^3}}_{8\ раз} \geqslant 9\sqrt[9]{1\cdot\left(\displaystyle\frac1{a^3}\right)^8} = \displaystyle\frac9{a^{\frac83}}\ ,$ поэтому $\sqrt{\mathstrut x} \geqslant \displaystyle\frac3{a^{\frac43}}\ .$ Аналогично, $\sqrt{\mathstrut y} \geqslant \displaystyle\frac3{b^{\frac43}}\ , \ \sqrt{\mathstrut z} \geqslant \displaystyle\frac3{c^{\frac43}}\ ,$ следовательно, $\sqrt{\mathstrut xyz} \geqslant \displaystyle\frac{27}{\left(abc\right)^{\frac43}} = 27$ и $\sqrt{\mathstrut x} + \sqrt{\mathstrut y} + \sqrt{\mathstrut z} \geqslant 3\sqrt[3]{\sqrt{\mathstrut xyz}} \geqslant 3\sqrt[3]{\mathstrut 27} = 9\ .$ Поэтому для доказательства неравенства $(1)$ достаточно показать, что $\begin{equation}xy + xz + yz + 2 \cdot 27 \cdot 9 \geqslant xyz\ .\end{equation}$ Положим $\displaystyle\frac8{a^3} = A\ ,\ \displaystyle\frac8{b^3} = B\ ,\ \displaystyle\frac8{c^3} = C\ ,$ тогда $(2)$ примет вид $\left(1+A\right)\left(1+B\right) + \left(1+A\right)\left(1+C\right) + \left(1+B\right)\left(1+C\right) + 486 \geqslant \\ \geqslant \left(1+A\right)\left(1+B\right)\left(1+C\right)\ \Leftrightarrow A+B+C+488 \geqslant ABC\ .$
Но $A \cdot B \cdot C = \displaystyle\frac{8^3}{(abc)^3} = 8^3\ ,$ отсюда $A+B+C \geqslant 3\sqrt[3]{\mathstrut ABC} = 24\ ,$ и, значит, $A+B+C+488 \geqslant 512 = 8^3 = A \cdot B \cdot C\ .$ Утверждение доказано.

(Южная Корея)

Автор: Лаура Казарян

Алгоритм Горнера

Выведем схему Горнера

Примеры решения задач

Почему алгоритм Горнера работает?

Дополнительные примеры решения задач

Алгоритм Горнера

Навигация (только номера заданий)

Информация

Результаты

Рубрики

1.

Элементы сортировки

2.

3.

4.

5.

6.

Смотрите также

М1803. О суммарной площади треугольников

Условие

Доказательство

M1804. Об иррациональных неравенствах

Условие

Доказательство

	$1$	$0$	$-8$	$14$	$-9$	$2$
$1$	$1$	$1$	$-7$	$7$	$-2$	$0$
$1$	$1$	$2$	$-5$	$2$	$0$
$1$	$1$	$3$	$-2$	$0$
$1$	$1$	$4$	$2$

	$A$	$0$	$B$	$0$	$1$
$1$	$A$	$A$	$A+B$	$A+B$	$A+B+1$
$1$	$A$	$2A$	$3A+B$	$4A+2B$
$1$	$A$	$3A$	$6A+B$

	$1$	$-2-i$	$0$	$-3-2i$	$5$
$1-i$	$1$	$-1-2i$	$-3-i$	$-7$	$2-7i$

Средний результат
Ваш результат