Автор: Алексей Пожиленков

Задача о ортогональном проектировании на подпространство

Задача №1:

Найти ортогональную проекцию  $ y$ и ортогональную составляющую $ z$ вектора $ x$ на линейное подпространство $ L$ :

$ x=(4,-1,-3,4)$, $ L$ натянуто на векторы $ a_1=(1,1,1,1), a_2=(1,2,2,-1), a_3=(1,0,0,3)$.

Решение:

для начала найдем базу системы векторов $ a_1, a_2, a_3$

$ \begin{Vmatrix} 1&1&1&1 \\ 1&2&2&-1 \\ 1&0&0&3 \end{Vmatrix}$ ~ $ \begin{Vmatrix} 1&1&1&1 \\ 0&1&1&-2 \\ 0&-1&-1&2 \end{Vmatrix}$

отсюда получается, что $ y=p_1*a_1+p_2*a_2$, а $ x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$

домножим последние уравнение на $ a_1$ и $ a_2$ и получим систему:

$ \begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$  $ \begin{cases} 4=4*p_1+4*p_2 \\ -8=4*p_1+10*p_2 \end{cases}$  $ \begin{cases} p_1=3 \\ p_2=-2 \end{cases}$

отсюда получаем $ y=3*a_1-2*a_2=(1,-1,-1,5)$ и $ z=x-y=(3,0,-2,-1)$

Ответ: $ z=(3,0,-2,-1)$ $ y=(1,-1,-1,5)$.

Задача №2:

Найти  ортогональную  составляющую $ z$ вектора $ x$ и угол между$ x$  и линейным подпространством $ L$:

$ x=(2,2,1,1)$, $ L$ натянуто на векторы $ a_1=(3,4,-4,-1), a_2=(0,1,-1,-2)$.

Решение:

$ x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$, домножим  уравнение на $ a_1$ и $ a_2$ и получим систему:

$ \begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$ $ \begin{cases} 9=42*p_1+10*p_2 \\ -1=10*p_1+6*p_2 \end{cases}$ $ \begin{cases} p_1=\frac{8}{19} \\ p_2=-\frac{33}{38} \end{cases}$

отсюда получаем $ y=\frac{8}{19}a_1-\frac{33}{38}a_2=(\frac{24}{19},\frac{32}{19},-\frac{32}{19},-\frac{8}{19})-(0,\frac{33}{38},-\frac{33}{38},-\frac{66}{38})=(\frac{24}{19},\frac{31}{38},-\frac{31}{38},\frac{25}{19})$ и $ z=x-y=(\frac{14}{19},\frac{45}{38},\frac{69}{38},-\frac{6}{19})$

чтобы найти угол между $ x$ и подпространством достаточно найти угол между вектором и ортогональной проекцией, то есть: $ \cos\alpha=\frac{x_1*y_1+x_2*y_2+x_3*y_3+x_4*y_4}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2} * \sqrt{y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2}} =\frac{\sqrt{16815}}{190}$

Ответ: $ z=(\frac{14}{19},\frac{45}{38},\frac{69}{38},-\frac{6}{19})$,  $ \cos\alpha = \frac{\sqrt{16815}}{190}$

Задача №3:

Найти ортогональную проекцию  $ y$ и ортогональную составляющую $ z$ вектора $ x$ на линейное подпространство $ L$:

$ x=(5,2,-2,2)$, $ L$ натянуто на векторы $ a_1=(2,1,1,-1), a_2=(1,1,3,0), a_3=(1,2,8,1)$.

Решение:

$ \begin{Vmatrix} 2&1&1&-1 \\ 1&1&3&0 \\ 1&2&8&1 \end{Vmatrix}$  ~ $ \begin{Vmatrix} 1&1&3&0 \\ 2&1&1&-1 \\ 1&2&8&1 \end{Vmatrix}$  ~ $ \begin{Vmatrix} 1&1&3&0 \\ 0&-1&-5&-1 \\ 0&1&5&1 \end{Vmatrix}$

отсюда получается, что $ y=p_1*a_1+p_2*a_2$, а $ x=p_1*a_1+p_2*a_2+z$

домножим последние уравнение на $ a_1$,  $ a_2$,  и получим систему:

$ \begin{cases} (x,a_1)=p_1*(a_1,a_1)+p_2*(a_2,a_1) \\ (x,a_2)=p_1*(a_1,a_2)+p_2(a_2,a_2) \end{cases}$  $ \begin{cases} 8=7*p_1+6*p_2 \\ 1=6*p_1+11*p_2 \end{cases}$  $ \begin{cases} p_1=2 \\ p_2=-1 \end{cases}$

отсюда получаем $ y=2*a_1-a_2=(3,1,-1,-2)$ и $ z=x-y=(2,1,-3,-4)$

Ответ:  $ y=(3,1,-1,-2)$ , $ z=(2,1,-3,-4)$.

Список использованной литературы:

  1. Проскуряков И.В.Сборник задач по линейной алгебре : Наука, 3-е издание. 1966 год. №1402, 1370, 1371.

    2. тест

    Данный тест предназначен для проверки своих знаний по данной теме.

Поле

Понятие поля:

Коммутативное кольцо P , в котором есть единичный элемент и каждый ненулевой элемент имеет обратный, называется полем.

Так как любое поле является кольцом, следовательно операции сложения и умножения являются бинарными алгебраическими операциями, им присущи данные свойства:

  1. Всюду определенность;
  2. Однозначность;
  3. Замкнутость;

we

Rew

Также эти операции из-за того что это поле будут иметь следующие свойства:

  1. Для любых $ a$, $ b$, $ c$ относительно операции $ +$ выполняются следующие свойства:
    • сложение коммутативно, $ a+b=b+a$,
    • сложение ассоциативно, $ a+(b+c)=(a+b)+c$,
    • существует единственный нулевой элемент 0 такой, что $ a+0=a$ для любого элемента $ a$,
    • для каждого элемента $ a$ существует единственный противоположный элемент — $ a$ такой, что $ a+(-a)=0$.
  2. Для любых $ a$, $ b$, $ c$ относительно операции $ *$ выполняются следующие свойства:
    • умножение коммутативно, $ ab=ba$,
    • умножение ассоциативно, $ a(bc)=(ab)c$,
    • существует единственный единичный элемент 1 такой, что $ a\times 1=1\times a=a$ для любого элемента $ a$,
    • для каждого ненулевого элемента $ a$ существует единственный обратный элемент $ a^{-1}$ такой, что $ aa^{-1}=a^{-1}a=1$.
  3. Операции сложения и умножения связаны между собой следующим соотношением: умножение дистрибутивно относительно сложения, $ (a+b)c=ac+bc$.

Примеры полей:

  1. Рациональные числа;
  2. Вещественные числа;
  3. Комплексные числа;
  4. Поле вычетов по модулю $p$, $p$ простое число;

Список использованной литературы:

  1. Воеводин, В.В. Линейная алгебра : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1974, ст. 28-29.
  2. Конспект лекций Белозерова Г.С.

Поле

Данный тест предназначен для проверки знаний по данной теме.