Формулы Ньютона-Лейбница

Если существует функция $F(x)$ , непрерывная на отрезке $[a,b]$ и такая, что $F(x)=f(x)$ при $a \leq x < b$ , то для несобственного интеграла $\int_{a}^{b}f(x)dx$ справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b-\varepsilon)-F(a)]$

Если $f(x)$ непрерывна при $a \leq x < b$ и имеет точку разрыва $x=a$ , тогда:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}[F(b)-F(a+\varepsilon)]$

Если подынтегральная функция не ограничена в отрезке интегрирования ( например $x = c$ ), то эту точку «вырезают», а интеграл $\int_{a}^{b}f(x)dx$ определяют в предположении, что $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ , так:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{c -\varepsilon}f(x)dx + \lim\limits_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{c+\varepsilon}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{a}^{c -\varepsilon} +$

$+ \lim\limits_{\varepsilon \to +0} F(x)|_{c+\varepsilon}^{b}=\lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c — \varepsilon)-F(a) + F(b) — \lim\limits_{\varepsilon \to +0}F(c+\varepsilon)$

Если пределы существуют и конечны, то интеграл $\int_{a}^{b}f(x)dx$ называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Литература

Конспект лекций по мат. анализу Лысенко З. М.
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. ст. 364-365
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. ст 82

Тест : Формулы Ньютона-Лейбница

Тест на знание темы «Формулы Ньютона-Лейбница»

Задание 1 из 5

1.
Если существует функция $F(x)$ , _______ на отрезке $[a,b]$ и такая, что $F(x)=f(x)$ при a $\leq x < b$ , то для несобственного интеграла $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница.
- (непрерывная)
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
При каком условии будет выполняться формула $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int\limits_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0}[F(b-\varepsilon)-F(a)]$ ?
- $a \leq x < b$
- $a < x < b$
- $a > x > b$
- $a < x \leq b$
Правильно

Неправильно

Задание 3 из 5

3.

Отсортировать в каких случаях действует та или Ньютона-Лейбница

Элементы сортировки

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx$
$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{\varepsilon \to +0} \int_{a}^{c -\varepsilon}f(x)dx + \lim_{\varepsilon \to +0} \int_{c+\varepsilon}^{b}f(x)dx$

Функция непрерывна на

$a \leq x < b$

Непрерывна на

$a \leq x < b$ , имеет точку разрыва

$x=a$

Точка перестает быть ограничена в точке

$x = c$

Задание 4 из 5

4.
Если пределы _________ и ________, то интеграл $\int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.
- 1) (существуют) 2) (конечны, конечные)
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Условия сходимости интеграла
- Существование пределов
- Конечность пределов
- Монотонное возрастание функции
- Монотонное убывание функции
- Бесконечность пределов
Правильно

Неправильно

Линейность несобственных интегралов

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ определены и непрерывнына промежутке $[a,b)$ , где $b$ может быть и $+\infty$ . Если интегралы $\int_{a}^{b}f(x)dx$ и $\int_{a}^{b}g(x)dx$ то для всех $\alpha, \beta \in R$ , тогда интеграл $\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))$ -сходится и имеет место равенство:

$\int\limits_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha\int\limits_{a}^{b}f(x)dx+\beta\int\limits_{a}^{b}g(x)dx$

Доказательство

Доказательство следует из линейности собственного интеграла Римана. Действительно, для $\varepsilon < b$ имеем

$\int\limits_{a}^{\varepsilon}(\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha\int\limits_{a}^{\varepsilon}f(x)dx+\beta\int\limits_{a}^{\varepsilon}g(x)dx$

и, переходя к пределу при $\varepsilon \to b (\varepsilon < b)$ и учитывая то, что приделы существуют по условию, получаем искомое равенство.

Замечание

Если интеграл $\int_{a}^{b}f(x)$ расходится, а интеграл $\int_{a}^{b}g(x)dx$ сходится, то интеграл $\int_{a}^{b}(f(x) + g(x))$ расходится. Если бы интеграл от $f + g$ сходился, то сходился бы и интеграл от $f = (f + g) — g$ , что неверно.

Литература

Конспект лекций по мат. анализу Лысенко З. М.
Виноградов О. Л. «Курс Математического анализа» том 2 2010, ст. 52
В.И.Коляда, А.А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. 2009г. ст 82
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. ст. 364

Тест : Линейность несобственных интегралов

Тест на знание темы «Линейность несобственных интегралов»

Задание 1 из 4

1.
Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ ________ и __________ на промежутке $[a,b)$ , где $b$ может быть и $+\infty$ .
- 1) (определены) 2) (непрерывны)
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 4

2.
При каких условиях интеграл $\int_{a}^{b}(f(x) + g(x))$ расходится?
- Когда один из двух интегралов $\int_{a}^{b}g(x)dx$ и $\int_{a}^{b}f(x)$ расходится
- Когда оба интеграла $\int_{a}^{b}f(x)$ и $\int_{a}^{b}g(x)dx$ сходятся
- Когда оба интеграла $\int_{a}^{b}f(x)$ и $\int_{a}^{b}g(x)dx$ расходятся
- Когда ни одни из интегралов $\int_{a}^{b}f(x)$ и $\int_{a}^{b}g(x)dx$ не расходится
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 4

3.
Расставить в правильном порядке выражения и знаки из равенства (Верх-начало)
- $\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))$
- $=$
- $\alpha\int_{a}^{b}f(x)dx$
- $+$
- $\alpha\int_{a}^{b}g(x)dx$
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 4

4.
На каком промежутке непрерывны и определены функции $f(x)$ и $g(x)$ ?
- $[a,b]$
- $[a,b)$
- $(a,b)$
- $[a,+\infty)$
- $(-\infty, +\infty)$
Правильно

Неправильно

Интегрирование по частям

Пусть функции $u=u(x)$ и $v=v(x)$ определены и непрерывны вместе со своими первыми производными на отрезке $[a,b]$ во всех точках. Исключением есть только точка $b$ , которая может быть равна и $+\infty$ . Тогда имеет место равенство:

$\int\limits_{a}^{b}udv=uv|_{a}^{b}-\int\limits_{a}^{b}vdu$

Где $uv|_{a}^{b}$ — двойная подстановка и под ней понимаем разность:

$\lim_{x \to b} u(x)v(x)-u(a)v(a)$

При этом существование $\int_{a}^{b}vdu$ вытекает из существования интеграла $\int_{a}^{b}udv$ и двойной подстановки $uv|_{a}^{b}$ .

Если любые два выражения из трех в равенстве имеют смысл, то и третье выражение тоже имеет смысл.

Доказательство

Возьмем $x_0$ такое, что $a < x_0 < b$ проинтегрируем данный интеграл по частям на промежутке $[a, x_0]$ :

$\int\limits_{a}^{x_0}udv=(u(x_0)v(x_0)-u(a)v(a))-\int\limits_{a}^{x_0}vdu$

Пусть теперь $x_0$ стремится к $b$ . По условию два из входящих в данное равенство выражений имеют конечные пределы при $x \to x_0$ . Следовательно третье выражение также имеет конечный предел. Равенство доказано с помощью предельного перехода.

Спойлер

$\int\limits_{0}^{+\infty}xe^{-x}dx=-\int\limits_{0}^{+\infty}xd(e^{-x})=-[xe^{-x}|_{0}^{+\infty}-\int\limits_{0}^{\infty}e^{-x}dx]= -[\lim_{x \to +\infty}xe^{-x}-0-(-e^{-x})|_{0}^{+\infty}]=1$

[свернуть]

Литература

Тест : Интегрирование по частям

Интегрирование по частям

Задание 1 из 5

1.
Для равенства $\int\limits_{0}^{1}\frac{\ln x}{1+x^2}= ? |_{0}^{1} — \int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{x}$ вместо «?»выбрать недостающее выражение
- $\ln x(x+1)$
- $\ln x *\arctan x$
- $\arcsin x*\ln x$
- $\arctan x / x$
Правильно

Неправильно
Задание 2 из 5

2.
Из определения метода интегрирования по частям выбрать правильные утверждения
- Функции $u(x)$ и $v(x)$ должны быть только определенны на промежутке $[a,b]$
- Функции $u(x)$ и $v(x)$ должны быть только непрерывны на промежутке $[a,b]$
- Функции $u(x)$ и $v(x)$ должны быть непрерывно дифференцируемы на промежутке $[a,b]$
- Функции $u(x)$ и $v(x)$ должны быть определенны и непрерывны на промежутке $[a,b]$
Правильно

Неправильно
Задание 3 из 5

3.
Вставьте недостающее выражение
- Пусть функции $u=u(x)$ и $v=v(x)$ и непрерывны вместе со своими первыми производными на промежутке $[a,b]$ во всех точках.
Правильно

Неправильно
Задание 4 из 5

4.
Отсортируйте выражения и знаки двойной подстановки в правильном порядке
- $u(x_0)$
- $v(x_0)$
- $-$
- $u(a)$
- $v(a)$
Правильно

Неправильно
Задание 5 из 5

5.
Как называется предел $\lim_{x \to b} u(x)v(x)-u(a)v(a)$ ?
Правильно

Неправильно

Замена переменных

Пусть функция $f(x)$ определена и непрерывна на промежутке $[a,b)$ и интегрируема в каждой части этого отрезка, не содержащей точки $b$ , которая может быть и $+\infty$ .

Рассмотрим теперь функцию $x=\phi(t)$ , которая является монотонно возрастающей и непрерывной вместе со своей производной $\phi'(t)$ на промежутке $[\alpha,\beta)$ . Допустим, что $\phi(\alpha)=a$ и $\phi(\beta)=b$ . Равенство $\phi(\beta)=b$ следует понимать как $\lim_{t \to \beta}\phi(t)=b$ . Если соблюдены все вышеперечисленные условия, то имеет место равенство:

$\int\limits_{a}^{b}f(x)=\int\limits_{a}^{b}f(\phi(t))\phi'(t)dt$

при условии, что один из этих интегралов сходится. Из существования одного из двух интегралов в равенстве вытекает существование второго. Второй интеграл будет либо собственным,либо несобственным с единственной особой точкой $\beta$ .

Доказательство

Пусть теперь $x_0$ и $t_0$ будут произвольными, но соответствующими значениям $x$ и $t$ и их промежуткам $(a,b)$ и $(\alpha, \beta)$ . Тогда будем иметь:

$\int\limits_{a}^{x_0}f(x)=\int\limits_{a}^{t_0}f(\phi(t))\phi'(t)dt$

Если существует второй из интегралов, будем приближать произвольным образом $x_0$ к $b$ , при этом $t_0=\theta(x_0)$ устремится к $\beta$ , существование второго интеграла доказано. Данное рассуждение одинаково применимо и к монотонно убывающей функции.

Спойлер

$I=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(x^2+1)^{3/2}}=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\frac{dt}{\cos^2(t)}}{(tg^2(t)+1)^{2/3}}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(t)dt=\sin(t)|_{0}{\frac{\pi}{2}}=1$

[свернуть]

Литература

Конспект лекций по мат. анализу Лысенко З. М.
Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления» ФИЗМАТЛИТ, 1964 т.2, ст. 604-605
Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. «Курс математического анализа»: Учеб. пособие для вузов. 3-е издание, 2001 г. ст. 366-368

Тест : Замена переменных

Тест на знание метода замены переменных в случае несобственных интегралов

М1605 О поиске нужной тройки

Задача из журнала «Квант» (1997, №4)

Условие

Имеются $N$ карточек, на которых написаны различные(неизвестные) числа. Они расположены на столе по кругу числами вниз. Надо найти три какие-нибудь лежащие рядом карточки такие, что число, написанное на средней карточке, больше, чем на каждой из двух соседних. При этом разрешается перевернуть последовательно не более $k$ карточек. Докажите, что это возможно, если:

а) $N=5, k=4$ ; б) $N=76, k=10$ ; в) $N=199, k=12$ ;

Решение

а) «Откроем» среди $5$ чисел, расположенных по окружности, два числа $a < b$ , стоящих на расстоянии $2$ друг от друга, и еще одно, соседнее с большим из них — $c$ . Из соображений симметрии, можно считать, что [latex]c 79, f_{12}=223 > 199,[/latex] это даст решения задач б) и в). Для этого докажем сначала индукцией по $k$ , что в ряду $a, … ,b, … ,c$

из $f_k + f_{k-1}+1= f_{k+1} + 1$ чисел, где известны $a, b, c,$ причем $d —$ наибольшее и находится от $a$ и $c$ на расстоянии $f_{k-1}$ и $f_{k-2}$ , можно найти нужную тройку за $k-1$ попытку. Для $k = 2$ (для ряда из четырех чисел $a, b, ., c$ ) это очевидно. Пусть вплоть до некоторого значения $k-1$ то доказано. Рассмотрим данный ряд и «откроем» число $d$ , находящееся на расстояниях $f_{k-1}$ от $a$ и $f_{k-2}$ от $b$ :

$a, … , d, …, b, … , c$

Если $d > b$ , то мы можем применить предположение индукции к $f_k + 1$ числам $a, … , d , … , b,$ а если $d < b$ — то к числам $d, … , b, … , c :$ за $k-2$ попытки среди них найдется нужная тройка.

Теперь среди $f_k = f_{k-1} + f_{k-2} = 2f_{k-2} + f_{k-3}$ чисел по окружности достаточно «открыть» два числа $a < b$ на расстоянии $f_{k-2}$ и число $c$ , находящееся на расстоянии $f_{k-2}$ от $a$ и $f_{k-3}$ от $b$ . По соображениям симметрии, можно считать, что $b > c$ . По доказанному выше, среди идущих подряд $f_{k-2} + f_{k-3} + 1 = f_{k-1} + 1$ чисел $a, … , b, … , c$ за $k-3$ попытки можно найти нужную тройку.

В. Протасов, А. Заславский

Литература