Условие постоянства. Функция f называется
тождественно постоянной на интервале I, если для любых двух точек $x’$,$x^{\prime\prime}$ справедливо равенство $f(x’)=f(x^{\prime\prime})$
Если функция постоянна на интервале $I$, то она дифференцируема в каждой точке этого интервала и ее производная равна нулю. Обратно, если в каждой точке некоторого интервала $I$ производная функции $f$ равна нулю, то $f$ постоянна на $I$. Последнее утверждение нами было получено как следствие из теоремы Лагранжа. Таким образом, функция $f$ постоянна на интервале $I$ тогда и только тогда, когда $f'(x)=0$ для любого $x\in I$.
Упражнение. Пусть непрерывная на интервале $I$ функция $f$ такова, что $f'(x)=0$ для всех $x\in I$ , за исключением, быть может, конечного числа точек. Докажите что $f$ постоянна на $I$.
Условия монотонности. Функция $f$ называется монотонно возрастающей (убывающей) на интервале $I$, если для любых $x,y\in I$ из условия $x$ < $y$ следует, что $f(x)$ ≤ $f(y)$.$ $ Если из условия $x$ < $y$ следует, что $f(x)$ < $f(y)$,то $f$ называется строго возрастающей. Если из $x$ < $y$ следует $f(x)$ ≥ $f(y)$, то $f$ называется убывающей (невозрастающей), а если из $x$ < $y$ следует $f(x)$ > $f(y)$ , то $f$ называется строго убывающей.
Теорема 1. Пусть функция $f$ дифференцируема на интервале $I$. Для того, чтобы $f$ была возрастающей на $I$, необходимо и достаточно, чтобы для всех $x\in I$ выполнялось неравенство $f'(x) ≥ 0$.
Доказательство. Если $f$ возрастает то $\frac{f(x+h)-f(x)}h$ ≥ 0 для любого h > 0 и ,следовательно, $f'(x)$=limh→0+ $\frac{f(x+h)-f(x)}h ≥ 0$.
Обратно, если $x$ < $y$, то, по формуле конечных приращений(теореме Лагранжа), $f(y)-f(x)=f'(ξ)(y-x) ≥ 0$,где $x$< ξ < $y$ и $f'(ξ) ≥ 0$ по условию.
Замечание. Если $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, дифференцируема на интервале $\lbrack a,b\rbrack$ и $f'(x) ≥ 0$ для всех $x\in(a,b)$, то $f $ монотонно возрастает на $\lbrack a,b\rbrack$ . Доказательство этого утверждения аналогично доказательству теоремы 1 и основано на применении теоремы Лагранжа.
Аналогично теореме 1 получаем что справедлива
Теорема 1a. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале $I$ функция $f$ была убывающей, необходимо и достаточно, чтобы для всех $x\in I$ выполнялось неравенство $f'(x) ≤ 0 $.
Достаточное условие строгой монотонности дает:
Теорема 2. $ $ Пусть функция $f$ дифференцируема на интервале $I$ и $f'(x) > 0 $ для всех $x\in I$. Тогда $f$ строго возрастает на $I$.
По теореме Лагранжа, для $x < y$ имеем
$$f(y)-f(x)=f'(\xi)(x-y).$$
Замечание. Обратное утверждение неверно. Из строгой монотонности функции $f$ не следует, что $f'(x) > 0$. Например, функция $f(x)=x^{3}$ строго возрастает на $(-1,1)$, но $f'(0)=0$.
Теорема 2 а. Пусть функция $f$ дифференцируема на интервале $I$ и $f'(x) < 0$ для всех $x\in I$. Тогда $f$ строго убывает на $I$.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 2.
Пример. $ $ Докажем, что функция $f(x)=x-sin(x)$ строго возрастает на $(-\infty,+\infty)$. Имеем $f'(x)=1-cos(x) ≥ 0$ для всех $x\in(-\infty,+\infty)$. Отсюда уже следует, что $f$ возрастает на $(-\infty,+\infty)$. Осталось показать, что $f$ строго возрастает.Пусть $x < y$. Тогда
$$f(y)-f(x)=y-\sin\left(y\right)-x+\sin\left(x\right)=$$
$$=y-x-2\sin\left(\frac{y-x}2\right)\cos\left(\frac{y+x}2\right)\geq y-x-2\left|\sin\left(\frac{y-x}2\right)\right|$$
Так как $\left|\sin\left(t\right)\right|<\left|t\right|$ для всех $t\neq0$,то $$f(y)-f(x)\geq y-x-2\left|\sin\left(\frac{y-x}2\right)\right|>y-x-2\frac{y-x}2=0$$,
т.е. $f(y) > f(x)$.
Аналогично тому, как была доказана теорема 2 , легко показать что справедлива
Теорема 3. Пусть функция $f$ непрерывна на $\lbrack a,b\rbrack$, дифференцируема на $(a,b)$ и $f'(x) > 0$ для всех $x\in(a,b)$. Тогда $f$ строго возрастает на $\lbrack a,b\rbrack$.
Из этой теоремы легко получается
Следствие. $ $ Пусть непрерывная на интервале $I$ функция $f$ такова, что $f'(x) > 0$ всюду, за исключением конечного числа точек. Тогда $f$ строго возрастает на $\lbrack a,b\rbrack$.
Пример. $ $ Для функции $f(x)=\sin\left(\frac1x\right)-\frac1x$ ($x > 0$) имеем
$f'(x)=\cos\left(\frac1x\right)(-\frac1{x^2})-(-\frac1{x^2})=\frac1{x^2}(1-\cos\left(\frac1x\right))\geq0$
Значит, $f$ возрастает. Покажем, что $f$ строго возрастает. Пусть $x < y$. Тогда на отрезке $\lbrack x,y\rbrack$ не более, чем в конечном числе точек производная $f’$ обращается в нуль. В силу следствия, $f(x) < f(y)$.
Некоторые неравенства.
$$1.\frac2{\mathrm\pi}x<\sin\left(x\right)<x\;(0<x<\frac{\mathrm\pi}2)$$
Правое неравенство $\sin\left(x\right)<x\;(x>0)$ было доказано ранее. Докажем левое. Ранее было доказано что, $x<\tan\left(x\right)\;\;\;(0<x<\frac{\mathrm\pi}2)$. Поэтому для функции $\varphi(x)=\frac{\sin\left(x\right)}x$ при $0<x<\frac{\mathrm\pi}2$ имеем $\varphi(\frac{\mathrm\pi}2)=\frac2{\mathrm\pi}$,$\varphi'(x)=\frac{x\cos\left(x-\sin\left(x\right)\right)}{x^2}=\frac{\cos\left(x\right)}{x^2}\;(x-\tan\left(x\right))<0$. Значит функция $\varphi$ строго убывает на $\lbrack0,\frac{\mathrm\pi}2\rbrack$, т.е $\varphi(x)>\varphi(\frac{\mathrm\pi}2)=\frac2{\mathrm\pi}$, а это равносильно тому, что $\frac2{\mathrm\pi}x<\sin\left(x\right)$.
$$2.(1+x)^\alpha>1+\alpha x\;(x>0,\alpha>1)$$
Положим $\varphi(x)=\;(1+x)^\alpha-1-\alpha x$.$ $ Тогда $\varphi'(x)=\alpha\lbrack(1+x)^{\alpha-1}-1\rbrack>0$.$ $ Значит, функция $\varphi$ строго возрастает, и поэтому $\varphi(x)>\varphi(0)=0$ при $x>0$.$ $ Это равносильно требуемому неравенству.
$$3.(x+y)^p>x^p+y^p\;(0<p<1,\;x,y>0)$$
Требуемое неравенство равносильно такому $(1+t)^p<1+t^p$,где $t=\frac xy>0$. Положим $\varphi(t)=(1+t)^p$. Тогда $\varphi(0)=0$ и $\varphi'(t)=p\lbrack(1+t)^{p-1}-t^{p-1}\rbrack<0$. Значит ,функция $\varphi$ строго убывает.
$$4.(x+y)^{p}>x^{p}+y^{p}(p>1,x,y>0)$$
Доказательство этого неравенства аналогично доказательству предыдущего.
Примеры решения задач
Найти интервалы возрастания и убывания функции:
$1.f(x)=x^3-30x^2+225x+1$
Решение
Данная функция всюду дифференцируема,причем
$$f'(x)=3x^2-60x+225=3(x-5)(x-15)$$
Так как f'(x) > 0 при $x\in(-\infty,5)$ и $x\in(15,+\infty)$ и $f'(x) < 0$ при $x\in(5,15)$, то на интервалах $(-\infty,5)$ и $(15,+\infty)$ функция строго возрастает, а на интервале $(5,15)$ строго убывает.
$2.f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac1e,\;\;если\;\;x\;<\;e,\\\frac{\ln\left(x\right)}x,\;\;если\;\;x\;\;\geq\;e;\end{array}\right.$
Решение
Функция дифференцируема на всей числовой прямой, причем
$$f(x)=\left\{\begin{array}{l}0,\;\;если\;\;x<e,\\\frac{1-\ln\left(x\right)}{x^2},\;\;если\;x\geq e.\end{array}\right.$$
Так как $f'(x) ≤ 0$ при всех x, то данная функция является невозрастающей на всей числовой оси. На интервале $(-\infty,e)$ она постоянна, на интервале $(e,+\infty)$ строго убывает.
$3.f(x)=\cos\left(\frac{\mathrm\pi}x\right)$
Решение
Данная функция является четной, поэтому достаточно найти интервалы монотонности при $x > 0$. Решая при $x > 0$ неравенство
$$f'(x)=\frac{\mathrm\pi}{x^2}\sin\left(\frac{\mathrm\pi}x\right)>0,$$
получаем
$$\;0<\frac{\mathrm\pi}x<x\;\;или\;\;2\mathrm{πk}<\frac{\mathrm\pi}{\mathrm x}<\mathrm\pi+2\mathrm{πk},\;\mathrm k\in\mathbb{N} $$ откуда $$x>1\;\;или\;\;\frac1{2k+1}<x<\frac1{2k},\;k\in\mathbb{N}.$$
Таким образом, на интервалах $(1,+\infty)$ и $(\frac1{2k+1},\frac1{2k}),\;k\in\mathbb{N}$ функция строго возрастает. На интервалах $(\frac1{2k},\frac1{2k-1}),\;k\in\mathbb{N}$ ,очевидно, справедливо неравенство $f'(x)<0$, и поэтому на этих интервалах функция строго убывает. Если $x<0$, то, используя четность функции, получаем, что на интервалах $(-\frac1{2k},-\frac1{2k-1}),\;k\in\mathbb{N}$, функция строго возрастает, а на интервалах $(-\infty,-1)$ и $(-\frac1{2k-1},-\frac1{2k}),\;k\in\mathbb{N}$, строго убывает.
Литература
- В.И.Коляда, А. А.Кореновский. Курс лекций по математическому анализу. Часть 1. Одесса. «Астропринт». 2010. с. 166-169.
- Кудрявцев Л.Д.,Кутасов А.Д.,Чехлов В.И.,Шабунин М.И.Сборник задач по математическому анализу.Предел,Непрерывность,Дифференцируемость.Учеб. пособие/Под.ред. Л.Д.Кудрявцевк-2-е изд.,M.2003.с. 371-379
- Б.П.Демидович. СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ.с.140-142
Условия постоянства и монотонности
Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Условия постоянства и монотонности функции».
Таблица лучших: Условия постоянства и монотонности
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
