Задача M1268 із журналу «Квант» (1991 р. №1)

Умова

Всередині трикутника $ABC$ взято довільну точку $X$. Прямі $AX,$ $BX,$ $CX$ перетинають сторони $BC,$ $CA$ і $AB$ в точках $A_1,$ $B_1,$ $C_1.$ Нехай $AB_1 \cdot AC_1 \cdot BC_1 \cdot BA_1 \cdot CA_1 \cdot CB_1 = \Pi.$ Доведіть, що площа $S$ трикутника $A_1B_1C_1$ дорівнює $S=\frac{\sqrt{\Pi}}{2R}$, де $R$ — радіус описаного навколо трикутника $ABC$ кола.

Розв’язання

Нехай точки $C_1$ $A_1$ і $B_1$ ділять сторони $c= AB,$ $a= BC$ і $b= CA$ відповідно на відрізки $p$ і $u,$ $q$ і $v,$ $r$ і $w$ (мал. 1).

Малюнок 1

Оскільки площа трикунтика з даним кутом пропорційна добутку сторін, що утворюють цей кут, площа $S$ блакитного трикутника дорівнює площі всього трикутника $S_{ABC},$ помноженого на коефіцієнт $$1-\frac{qu}{ca} — \frac{rv}{bc} — \frac{pw}{ab} = \frac{abc-bqu-arv-cpw}{abc}.$$

Підставивши замість $a, b, c$ суми $p+u, q+v, r+w$ і згадавши відому формулу $S_{ABC} = \frac{abc}{4R},$ ми отримаємо гарну формулу площі блакитного трикутника $$S=\frac{pqr+uvw}{4R},$$ але вона відрізняється від тієї, яку потрібно було довести. Тепер скористаємось теомерою Чеви , згідно з якою при будь-якому виборі точки $X$ всередині трикутника $ABC$ виконується рівність $$pqr=uvw. (*)$$

Із рівності $(*)$ і $Pi=pqruvw$ слідує, що $$Pi=\frac{(pqr+uvw)^2}{4},$$ а значить, що і потрібна формула для $S.$

Для доведення формули $(*)$ можна також використати площі. Відношення площ трикутників $AXB$ і $CXB$ зі спільною основою $XB$ дорівнює відношенню їх висот, тобто $\frac{w}{r}$ (мал. 2). Перемножуючи три таких відношення, отримаємо $$\frac{p}{u}\cdot\frac{q}{v}\cdot\frac{r}{w}=\frac{S_{AXC}}{S_{CXA}}\cdot\frac{S_{CXA}}{S_{AXB}}\cdot\frac{S_{AXB}}{S_{BXC}}=1.$$
Малюнок 2 (Теорема Чеви)