Задача из журнала «Квант» (2001 год, 3 выпуск)

Условие

Высота $CD$ и биссектриса $AE$ прямоугольного треугольника $ABC (\angle C = 90 ^{\circ} )$ пересекаются в точке $F$ (см. рисунок). Пусть $G$ — точка пересечения прямых $ED$ и $BF$. Докажите, что площади четырехугольника $CEGF$ и треугольника $BDG$ равны.

Решение

Так как $AE$ — биссектриса $\triangle ABC$, а $AF$ — биссектриса $\triangle ADC$, $$\frac {EC}{BE} = \frac {AC}{AB} = \cos \angle BAC = \frac {DA}{AC} = \frac {DF}{FC},$$ $$EC \times FC = BE \times DF = (BC — EC) \times (CD — CF),$$ $$BC \times CD = BC \times CF + EC \times CD.$$ Умножив обе части последнего равенства на $\frac {1}{2} \sin \angle BCD$, получим, что $$S_{BCD} = S_{BCF} + S_{ECD}.$$ Но $$S_{BCD} = S_{CEGF} + S_{BEG} + S_{BGD} + S_{DFG},$$ $$S_{BCF} = S_{GECF}+S_{BEG}, S_{ECD} = S_{GECF} + S_{DFG},$$ откуда и следует требуемое равенство.

И. Жук