Задача о неравенстве выпуклого четырехугольника
Условие
- В выпуклый четырехугольник $latex ABCD$, у которого углы при вершинах $latex B $ и $latex D $ — прямые, вписан четырехугольник с периметром $latex P $ (его вершины лежат по одной на сторонах четырехугольника $latex ABCD$). Докажите неравенство $latex P \geqslant 2BD$
- В каких случаях это неравенство превращается в равенство?
Решение
- Пусть $latex EFKL $ — четырехугольник, вписанный в $latex ABCD $ (см рис.). Обозначим через $latex M $ и $latex N $ середины отрезков $latex EF $ и $latex KL $ соответсвенно. Мы докажем неравенство задачи в более общем случае : $latex \angle B \geq \frac{\pi}{2} $ , $latex \angle D \geq \frac{\pi}{2}$.
При этом$latex BM \leq \frac{1}{2}EF , DN \leq\frac{1}{2}KL $(*)Далее, так как $latex \vec{MN }=\frac{1}{2}\left ( \vec{EK} +\vec{FL}\right ) $, то
$latex \left | \vec{MN} \right | \leq \frac{1}{2}\left ( EK+FL \right )$.(**)Поскольку $latex BM+MN+ND+ND \geq BD. $
получаем из (*), (**) неравенство задачи. - Равенство (*) имеет место, если $latex \angle B=\frac{\pi}{2}, \angle D=\frac{\pi}{2}$.
Неравенство (**) переходит в равенство, если $latex EK||FK||MN. $ Кроме этого, в случае равенства точки $latex B,M,N,D $ лежат на одной прямой.
Из вышесказанного получаем следующий способ построения всех четырехугольников, для которых неравенство задачи превращается в равенство.
Пусть $latex O — $ точка пересечения $latex AC $ и $latex BD, AO \leq OC. $ Проведем через произвольную точку отрезка $latex AO $ прямую $latex EK, $ параллельную $latex BD\left ( E\in AB, K \in AD \right ) $. Симметрично отобразив прямую EK относительно $latex BD, $ получим противоположную сторону $latex FL $ четырехугольника.