погрешность формулы

Пример 1

$\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}$ , причём $|x| \leq \frac{1}{2}$

Решение

Исходная формула:

$\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-...-\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Обобщим запись:

$\sin x=\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\underset{x\rightarrow 0}{o(x^{2k+1})}$

Выясним промежуток для переменной:

$x \in \left ( -\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )$

Запишем разложение по формуле Тейлора:
$\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin^{(4)}( x )}{4!}x^{4}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin( x +4\frac{\pi }{2} )}{4!}x^{4}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin( x +2\pi )}{4!}x^{4}$

Пользуясь правилом приведения:

$\sin( x +2\pi )=\sin x$
$\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{\sin x}{4!}x^{4}$

Оценим последнее слагаемое:

$\left | \frac{\sin x}{4!}x^{4} \right |= \frac{\left | \sin x \right |}{4!}\left | x^{4} \right |\leq \frac{\left | x^{4} \right |}{4!}\leq \frac{\frac{1}{2}}{4!}=\frac{1}{16\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{384}$

Если остаток в формуле Тейлора $|r_{n}(x_{0},x)|< \alpha _{0}$ , то формулу Тейлора для многочлена можно записать так: $f(x)\approx f(x_{0})+\frac{f'(x_{0})}{1!}(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+...+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$ .

Важна форма записи остаточного члена:

$r_{n}(x_{0},x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$ .

$r_{n}(x_{0},x)$ — определяет погрешность формулы. Если же $f(x)$ вычисляется по формуле при конкретном числовом значении $x$ , то может оказаться, что слагаемые в этой формуле сами вычисляются приближённо. Тогда погрешность результата будет состоять из погрешности слагаемых и погрешности формулы. Если вычислять все слагаемые с одинаковой точностью $\alpha _{0}$ (погрешностью формулы), то общая погрешность результата равна $(n+2)\alpha _{0}$ .

Пусть $\alpha$ — заранее известная точность результата. Тогда следует преобразовать $\alpha _{0}$ так, чтобы обеспечить выполнение неравенства $(n+2)\alpha _{0}\leq\alpha$ , то есть $\alpha_{0}\leq\frac{\alpha}{n+2}$ . При достаточно малых $n$ , например, $n\leq8$ : $\alpha_{0}=\frac{\alpha}{10}\leq\frac{\alpha}{n+2}$ .

Обычно точность вычислений $\alpha$ задается в виде: $\alpha=10^{-m} \Rightarrow \alpha_{0}=10^{-(m+1)}$ . Это значит, что вычисления нужно проводить с одним запасным знаком. Мы установили, что один запасной знак обеспечит требуемую точность при $n\leq8$ .

Пример

Вычислить $e^{0,1}$ с точностью до $\alpha=0,001=10^{-3}$ .

Решение

Оценкой определим, в какой точке удобнее раскладывать исходную функцию (найдём ближайшую к необходимой точку, где известно точное значение функции):

$0\leq0,1\leq0,5 \Rightarrow x\in[0;0,5]$

Выпишем формулу Тейлора:

$e^{x}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+...+\frac{x^{n}}{n!}+\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}x^{n+1}$ ;

Выполним вычисление по формуле Тейлора, разложив функцию в точке $x_{0}=0$

Выполним оценку погрешности:

$r_{n}(0,x)=\left | \frac{e^{\xi }x^{n+1}}{(n+1)!} \right |=\frac{e^{\xi} \left | x \right |^{n+1}}{(n+1)!}\leq\frac{\sqrt{e}x^{n+1}}{(n+1)!} \leq \frac{2x^{n+1}}{(n+1)!}$

Оценим сверху:

$\frac{2x^{n+1}}{(n+1)!}\leq \frac{1}{10}$

Перенесём 2 в правую часть и выполним обозначение:

$\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\leq 0.5*10^{-1}\alpha=\frac{\alpha}{20}$ .

Эта запись удобна тем, что вычисляя последовательность слагаемых $U_{k}=\frac{x^{k}}{k!}$ мы имеем возможность одновременно видеть достигнута ли требуемая точность.