Задача о неравенстве выпуклого четырехугольника
Условие
- В выпуклый четырехугольник ABCD, у которого углы при вершинах B и D — прямые, вписан четырехугольник с периметром P (его вершины лежат по одной на сторонах четырехугольника ABCD). Докажите неравенство P⩾2BD
- В каких случаях это неравенство превращается в равенство?
Решение
- Пусть EFKL — четырехугольник, вписанный в ABCD (см рис.). Обозначим через M и N середины отрезков EF и KL соответсвенно. Мы докажем неравенство задачи в более общем случае : ∠B≥π2 , ∠D≥π2.
При этомBM≤12EF,DN≤12KL(*)Далее, так как →MN=12(→EK+→FL), то
|→MN|≤12(EK+FL).(**)Поскольку BM+MN+ND+ND≥BD.
получаем из (*), (**) неравенство задачи. - Равенство (*) имеет место, если ∠B=π2,∠D=π2.
Неравенство (**) переходит в равенство, если EK||FK||MN. Кроме этого, в случае равенства точки B,M,N,D лежат на одной прямой.
Из вышесказанного получаем следующий способ построения всех четырехугольников, для которых неравенство задачи превращается в равенство.
Пусть O— точка пересечения AC и BD,AO≤OC. Проведем через произвольную точку отрезка AO прямую EK, параллельную BD(E∈AB,K∈AD). Симметрично отобразив прямую EK относительно BD, получим противоположную сторону FL четырехугольника.