M1421

Задача о неравенстве выпуклого четырехугольника

Условие

  1. В выпуклый четырехугольник ABCD, у которого углы при вершинах B и D — прямые, вписан четырехугольник с периметром P (его вершины лежат по одной на сторонах четырехугольника ABCD). Докажите неравенство P2BD
  2. В каких случаях это неравенство превращается в равенство?

Решение

  1. Пусть EFKL — четырехугольник, вписанный в ABCD (см рис.). Обозначим через M и N середины отрезков EF и KL соответсвенно. Мы докажем неравенство задачи в более общем случае : Bπ2 , Dπ2.
    При этом

    BM12EF,DN12KL
    (*)

    Далее, так как MN=12(EK+FL), то

    |MN|12(EK+FL).
    (**)

    Поскольку BM+MN+ND+NDBD.
    получаем из (*), (**) неравенство задачи.

  2. Равенство (*) имеет место, если B=π2,D=π2.
    Неравенство (**) переходит в равенство, если EK||FK||MN. Кроме этого, в случае равенства точки B,M,N,D лежат на одной прямой.
    Из вышесказанного получаем следующий способ построения всех четырехугольников, для которых неравенство задачи превращается в равенство.
    Пусть O точка пересечения AC и BD,AOOC. Проведем через произвольную точку отрезка AO прямую EK, параллельную BD(EAB,KAD). Симметрично отобразив прямую EK относительно BD, получим противоположную сторону FL четырехугольника.

Г. Нерсисян