Метка: абсолютно интегрируемая функция

Для лучшего понимания материала, изложенного ниже, пожалуйста, ознакомьтесь с темой «Ряды Фурье».

Интегральная формула Фурье

Если интервал $\left[ -l,l \right],$ на котором функция $f\left(x\right)$ разлагается в тригонометрический ряд Фурье, неограниченно возрастает, т.е. $l\rightarrow +\infty,$ то ряд Фурье превращается в интеграл Фурье. При переходе к пределу происходит качественный скачок: функция, заданная на любом конечном интервале $\left[ -l,l \right],$ разлагается в ряд «гармонических колебаний», частоты которых образуют дискретную последовательность; функция $f\left(x\right),$ заданная на всей оси $x$ или на полуоси $x,$ разлагается в интеграл, который представляет собой сумму «гармонических колебаний», частоты которых непрерывно заполняют действительную полуось $0\le \lambda \le +\infty .$ Рассмотрим этот предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье.

Замечание. Напомним, что функция $f$ является кусочно-гладкой на отрезке $\left[ a,b \right],$ если:

• $f$ непрерывна во всех точках, кроме, быть может, конечного числа точек ${ x }_{ 1 },\dots ,{ x }_{ n }\in \left(a,b\right).$
• $\forall i=1,\dots ,n \quad \exists f\left({ x }_{ i }\pm 0\right),\quad f\left(a+0\right),\quad f\left(b-0\right).$
• $f$ – дифференцируема во всех точках, кроме, быть может, конечного числа точек ${ x }_{ 1 },\dots ,{ x }_{ n }.$
• $\exists f^{ \prime }\left({ x }_{ i }\pm 0\right).$Пусть $f\left(x\right)$ задана на всей оси $x$ и на каждом конечном отрезке $\left[ -l,l \right],$ является кусочно-гладкой. Тогда, в силу основной теоремы о сходимости тригонометрического ряда Фурье, при любом $l>0$ $$f(x)=\frac { { a }_{ 0 } }{ 2 } +\sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \left( { a }_{ k }\cos { \frac { k\pi x }{ l } } +{ b }_{ k }\sin { \frac { k\pi x }{ l } } \right) } ,\quad \left( 1 \right)$$
  где $$\left(2\right)\quad \begin{cases} { a }_{ 0 }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right) } d\xi , \\ { a }_{ k }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi \xi }{ l } d\xi , } } \\ { b }_{ k }=\frac { 1 }{ l } \int\limits_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\sin { \frac { k\pi \xi }{ l } d\xi . } } \end{cases}$$
  Равенство $\left(1\right)$ имеет место, если $x$ — внутренняя точка отрезка $\left[ -l,l \right],$ в которой $f\left(x\right)$ непрерывна; если же $x$ — внутренняя точка этого отрезка, в которой $f\left(x\right)$ разрывна, то в левой части равенства $\left(1\right)$ $f\left(x\right)$ нужно заменить через $\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 }.$
  Подставляя выражения $\left(2\right)$ в $\left(1\right),$ получим $$f\left(x\right)=\frac { 1 }{ 2l } \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)d\xi } +\frac { 1 }{ l } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi }{ l } } \left(\xi -x\right)d\xi } }.\quad \left(3\right)$$
  Если $f\left(x\right)$ ещё и абсолютно интегрируема на всей оси $x,$ т.е. $$\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x\right) \right| dx } =Q<+\infty, \quad \left(4\right)$$
  то при переходе к пределу при $l\rightarrow +\infty$ первое слагаемое в правой части $\left(3\right)$ в силу условия $\left(4\right)$ стремится к нулю. Следовательно, $$f\left(x\right)=\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ l } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { \frac { k\pi }{ l } } \left(\xi -x\right)d\xi } . } } \quad \left(5\right)$$ Положим $\frac { k\pi }{ l } ={ \lambda }_{ k },$ $\frac { \pi }{ l } ={ \Delta \lambda }_{ k }.$ Тогда $\left(5\right)$ можно переписать в виде $$f\left( x \right) =\lim _{ \begin{matrix} l\rightarrow +\infty \\ \Delta { \lambda }_{ k }\rightarrow 0 \end{matrix} }{ \frac { 1 }{ \pi } } \sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \Delta { \lambda }_{ k } } \intop_{ -l }^{ l }{ f\left( \xi \right) \cos { { \lambda }_{ k } } \left( \xi -x \right) d\xi }.\quad \left( 6 \right)$$
  Будем рассуждать нестрого:
  1. при больших значениях $l$ интеграл $$\intop_{ -l }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi }$$ можно заменить интегралом
     $$\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi },$$
  2. $$\sum _{ k=1 }^{ +\infty }{ \Delta { \lambda }_{ k } } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda }_{ k } } \left(\xi -x\right)d\xi }$$ является интегральной суммой для интеграла $$\intop_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } ,$$ поэтому из $\left(6\right)$ получаем $$f\left(x\right)=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } , \quad \left(7\right)$$ где в левой части равенства $\left(7\right)$ вместо $f\left(x\right)$ нужно писать $\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 } ,$ если $x$ является точкой разрыва функции $f\left(x\right).$

  Равенство $\left(7\right)$ называется интегральной формулой Фурье, а интеграл, стоящий в её правой части, — интегралом Фурье либо двойным интегралом Фурье

  Обоснование интегральной формулы Фурье

  Равенство $\left(7\right)$ было получено с помощью формальных предельных переходов, которые не были обоснованы.
  Вместо того чтобы их обосновать, удобнее непосредственно доказывать справедливость равенства $\left(7\right).$

  Теорема

  Если функция $f\left(x\right),$ кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке оси $x,$ абсолютно интегрируема на всей оси $x,$ т.е. интеграл $\int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x\right) \right| dx }$ сходится, то $$\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ l }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } } =\frac { f\left(x+0\right)+f\left(x-0\right) }{ 2 }.$$

  Доказательство

  Заметим прежде всего, что интеграл $$\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { \lambda \left(\xi -x\right)d\xi } },$$ зависящий от параметра $\lambda,$ сходится равномерно по параметру $\lambda$ при $0\le \lambda \le +\infty,$ так как $\left| f\left(\xi \right)\cos { \lambda } \left(\xi -x\right) \right| \le \left| f\left(\xi \right) \right| ,$ а интеграл $\int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(\xi \right) \right| d\xi }$ по условию сходится. Следовательно, можно изменить порядок интегрирования, т.е. записать так:
  $$\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ l }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\xi } =$$
  $$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ d\xi } \intop_{ 0 }^{ l }{ f\left(\xi \right)\cos { { \lambda } } \left(\xi -x\right)d\lambda } =$$
  $$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(\xi \right)\frac { \sin { l\left(\xi -x\right) } }{ \xi -x } d\xi } =$$
  $$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } ,$$
  где $\zeta=\xi-x,$ $d\zeta=d\xi.$ Нам остаётся доказать, что $$\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ -\infty }^{ 0 }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } } =\frac { f\left(x-0\right) }{ 2 },\quad\left(8\right)$$
  $$\lim _{ l\rightarrow +\infty }{ \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } } =\frac { f\left(x+0\right) }{ 2 }.\quad\left(9\right)$$
  При доказательстве мы воспользуемся известным соотношением (см. п. 5 § 2 гл. 10) $$\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } =\frac { 1 }{ 2 } \quad \left(10\right).$$ Докажем, например, справедливость соотношения $\left(9\right).$ В силу равенства $\left(10\right),$ можно записать, что $$\frac { f\left(x+0\right) }{ 2 } =\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(x+0\right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } .$$
  Поэтому разность между переменной величиной и предполагаемым пределом в соотношении $\left(9\right)$ будет равна
  $${ J }_{ 0,+\infty }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ f\left(x+ \zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } -\frac { f\left(x+0\right) }{ 2 } =$$
  $$=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \left[ f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) \right] \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } .\quad\left(11\right)$$
  Таким образом, нужно доказать, что этот интеграл стремится к нулю при $l\rightarrow +\infty.$ Разобьём интервал интегрирования $0\le \zeta <+\infty$ на три:
  $0 < \zeta \le\delta ,$ $\quad \delta \le \zeta \le\Delta ,$ $\quad \Delta \le \zeta <+\infty ;$ тогда интеграл $\left(11\right)$ будет представлен в виде суммы трёх интегралов $${ J }_{ 0,+\infty }={ J }_{ 0,\delta }+{ J }_{ \delta ,\Delta }+{ J }_{ \Delta ,+\infty }. \quad\left(12\right)$$ После этого будем действовать следующим образом. Сначала, задавшись произвольным $\varepsilon >0,$ докажем, что при всех достаточно малых $\delta>0$ и всех достаточно больших $\Delta >\delta$ будут выполняться неравенства $$\left| { J }_{ 0,\delta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 }\quad и \quad \left| { J }_{ \Delta,+\infty } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 } \quad \left(13\right)$$ сразу при всех $l\ge 1.$ Затем, фиксировав $\delta$ и $\Delta$ так, чтобы выполнялись неравенства $\left(13\right),$ выберем $l\ge 1$ столь большим, чтобы в силу основной леммы выполнялось неравенство $\left| { J }_{ \delta ,\Delta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 } .$ Отсюда, в силу $\left(12\right),$ будет следовать, что $\left| { J }_{ 0,+\infty } \right| <\varepsilon$ при всех достаточно больших $l\ge 1.$ Итак, оценим сначала интеграл $${ J }_{ 0,\delta }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ \delta }{ \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \sin { l\zeta } d\zeta } .$$ При всех достаточно малых $\delta>0$ $$\left| \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \right| <\left| { f }_{ + }^{ \prime }\left(x\right) \right| +1\quad \forall \zeta \in \left(0,\delta \right).$$ Следовательно, $$\left| { J }_{ 0,\delta } \right| <\frac { \delta }{ \pi } \left\{ \left| { f }_{ + }^{ \prime }\left(x\right) \right| +1 \right\} <\frac { \varepsilon }{ 3 } \quad\left(14\right)$$ при всех $\delta <\frac { \varepsilon \pi }{ 3\left\{ \left| { f }_{ + }^{ \prime }\left( x \right) \right| +1 \right\} }$ и при всех значениях $l.$ Оценим, далее, интеграл $${ J }_{ \Delta ,+\infty }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ f\left(x+\zeta \right)\frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } -\frac { f\left(x+0\right) }{ \pi } \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } .$$ Мы имеем $$\left| { J }_{ \Delta ,+\infty } \right| \le \frac { 1 }{ \pi } \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ \left| f\left(x+\zeta \right) \right| \frac { d\zeta }{ \zeta } } +\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ \Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } \right| \le$$ $$\le \frac { 1 }{ \pi \Delta } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x+\zeta \right) \right| d\zeta } +\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ l\Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } } d{ \zeta }^{ \ast } \right| =$$
  $$=\frac { Q }{ \pi \Delta } +\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ l\Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } d{ \zeta }^{ \ast } } \right| ,$$ где ${ \zeta }^{ \ast }=l\zeta. \quad\left(15\right)$ Напомним, что, согласно условию $\left(4\right),$ $Q=\int\limits_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f\left(x\right) \right| dx } <\infty,$ поэтому при всех достаточно больших $\Delta>0$ будет $\frac { Q }{ \pi \Delta } <\frac { \varepsilon }{ 6 }$ сразу для всех $l.$ Далее, так как интеграл $\int\limits_{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } d{ \zeta }^{ \ast } }$ сходится, то при всех достаточно больших $\Delta>0$ и всех $l\ge 1$ $$\frac { \left| f\left(x+0\right) \right| }{ \pi } \left| \intop_{ l\Delta }^{ +\infty }{ \frac { \sin { { \zeta }^{ \ast } } }{ { \zeta }^{ \ast } } d{ \zeta }^{ \ast } } \right| <\frac { \varepsilon }{ 6 } .$$ Следовательно, в силу $\left(15\right)$ $$\left| { J }_{ \Delta ,+\infty } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 } \quad\left(16\right)$$ при всех достаточно больших $\Delta>0$ и всех $l\ge 1.$ Оценим, наконец, интеграл $${ J }_{ \delta ,\Delta }=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ \delta }^{ \Delta }{ \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \sin { l\zeta } d\zeta } .$$ Функция $\frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta }$ по переменной $\zeta$ является кусочно-гладкой на отрезке $\delta \le \zeta \le \Delta .$ Поэтому, в силу основной леммы, при всех достаточно больших значениях $l\ge1$ будет выполняться неравенство $$\left| { J }_{ \delta ,\Delta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 3 }. \quad\left(17\right)$$ Сопостовляя $\left(14\right), \left(16\right)$ и $\left(17\right),$ получим, что при всех достаточно больших $l\ge1$ $$\left| { J }_{ 0,+\infty } \right| <\varepsilon ,$$ что и требовалось доказать. $\blacksquare$

  [свернуть]

  Замечание. Основная теорема об интеграле Фурье справедлива и при более слабых ограничениях, налагаемых на функцию $f\left(x\right).$ А именно, если абсолютно интегрируемая на всей оси $x$ функция $f\left(x\right)$

  • кусочно-непрерывна на каждом конечном отрезке оси $x$
  • отношение $\left| \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \right|$ ограничено при любом фиксированном $x$ для всех достаточно малых $\zeta,$ то основная теорема сохраняет силу.
  Доказательство

  Действительно, доказательство основной теоремы сводится к оценке трёх интегралов: ${ J }_{ 0,\delta },{ J }_{ \delta ,\Delta },{ J }_{ \Delta ,+\infty }$ для ${ J }_{ 0 ,+\infty }.$ Последний из этих трёх интегралов мал при достаточно большом $\Delta,$ в силу абсолютной интегрируемости $f\left(x\right).$ Интеграл ${ J }_{ 0,\delta }$ мал при всех достаточно малых $\delta>0,$ если отношение $\left| \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \right|$ ограничено при каждом фиксированном $x$ для всех достаточно малых $\zeta>0.$ В интеграле же $${ J }_{ \delta ,\Delta }=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ \delta }^{ \Delta }{ \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta } \sin { l\zeta } d\zeta }$$ функция $\varphi \left(\zeta \right)= \frac { f\left(x+\zeta \right)-f\left(x+0\right) }{ \zeta }$ кусочно-непрерывна на отрезке $0<\delta \le \zeta \le \Delta$ при любом фиксированном $x.$ Пусть $\left[ a,b \right]$ — какой-либо сегмент, на котором $\varphi \left(\zeta \right)$ непрерывна, и пусть дано какое угодно $\varepsilon>0.$ Построим такую кусочно-гладкую функцию ${ g }_{ \varepsilon }\left(x\right)$ (как при доказательстве первой теоремы Вейерштрасса), чтобы выполнялось неравенство $$\left| \varphi \left(\zeta \right)-{ g }_{ \varepsilon }\left(\zeta\right) \right| <\frac { \varepsilon }{ 2\left(b-a\right) },\quad 0<\delta \le \zeta \le \Delta .$$ Но тогда $$\left| \int _{ a }^{ b }{ \varphi \left(\zeta \right)\sin { l\zeta } d\zeta } \right| \le \intop _{ a }^{ b }{ \left| \varphi \left(\zeta \right)-{ g }_{ \varepsilon }\left(\zeta\right) \right| d\zeta } +$$ $$+\left| \intop _{ a }^{ b }{ { g }_{ \varepsilon }\left(\zeta \right)\sin { l\zeta } d\zeta } \right| <\frac { \varepsilon }{ 2 } +\frac { \varepsilon }{ 2 } =\varepsilon \quad$$ при всех достаточно больших $l\ge0,$ так как для кусочно-гладкой функции ${ g }_{ \varepsilon }\left(x\right)$ справедлива основная лемма. Разбивая интеграл ${ J }_{ \delta ,\Delta }$ на интервалы по сегментам непрерывности $\varphi \left(\zeta \right),$ получаем, что ${ J }_{ \delta ,\Delta }\rightarrow 0$ при $l\rightarrow +\infty,$ чем и завершается доказательство теоремы.

  [свернуть]

  Литература

  • Будак Б. М., Фомин С. В. Курс высшей математики и математической физики — Кратные интегралы и ряды, М., «Наука», 1965, стр 510-516
  • Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу — 13-е издание, исправленное, — М.: Издательство Московского университета, 1997, стр 404-405
  • Лысенко З. М. Конспект лекций по курсу математического анализа (I курс)

  Тестирование. Интеграл Фурье

  Лимит времени: 0

  Навигация (только номера заданий)

  0 из 5 заданий окончено

  Вопросы:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

  Информация

  После прочтения материала настоятельно рекомендую попробовать силы в несложных тестах для закрепления материала.
  Желаю успехов!

  Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

  Тест загружается...

  Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

  Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

  Результаты

  Время вышло

  Средний результат
  Ваш результат

  Рубрики

  1. Математический анализ 0%

  максимум из 20 баллов

  Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
  Таблица загружается
  Нет данных

  Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  Загрузка

  Имя: E-Mail:

  Капча:

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
  5. 5

  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

  1. Задание 1 из 5

     1.

     Допишите недостающую часть формулы $$b(x)=\frac { 1 }{ \pi } \intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ f(t)\dots dt } .$$
     Правильно
     

     Неправильно
     

     Правильный ответ: $\sin tx.$
  2. Задание 2 из 5

     2.

     Всегда ли справедливо равенство $$f(x)=\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ d\lambda } \intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ f(\xi )\cos { { \lambda } } (\xi -x)d\xi }\quad?$$

     • Да
     • Нет
     Правильно
     

     Неправильно
     

     Нет, поскольку, если $x$ является точкой разрыва функции, то в левой части равенства нужно писать $\frac { f(x+0)+f(x-0) }{ 2 } .$
  3. Задание 3 из 5

     3.

     Среди предложенных ниже утверждений выберите правильные.

     • Если выполнено условие $-\infty <\intop_{ -\infty }^{ +\infty }{ \left| f(x) \right| dx }$, то $f(x)$ – абсолютно интегрируема.
     • Если функция имеет точки разрыва, то её невозможно представить интегралом Фурье.
     • Если функция кусочно-дифференцируема на отрезке $\left[ a,b \right],$ то она непрерывна во всех точках, кроме, быть может, конечного числа точек полуинтервала $\left[ a,b \right).$
     • Основная теорема об интеграле Фурье справедлива и при более слабых ограничениях, налагаемых на функцию.
     • Всякую функцию можно представить интегралом Фурье.
     • Функция в примере – нечётная, поскольку её график симметричен относительно оси ординат.
     • В доказательстве теоремы применялась теорема о перестановке порядков интегрирования.
     • Интегральную формулу Фурье можно переписать следующим образом: $$f(x)=\intop _{ -\infty }^{ +\infty }{ \left[ a(\lambda )\cos { \lambda x } +b(\lambda )\sin { \lambda x } \right] d\lambda }.$$
     Правильно
     

     Неправильно
     
  4. Задание 4 из 5

     4.

     Восстановите порядок действий в доказательстве теоремы.

     • Изменили порядок интегрирования.
     • Воспользовались соотношением $$\frac { 1 }{ \pi } \intop_{ 0 }^{ +\infty }{ \frac { \sin { l\zeta } }{ \zeta } d\zeta } =\frac { 1 }{ 2 } .$$
     • Разбили интервал интегрирования $0\le \zeta <+\infty$ на три интервала.
     • Поочерёдно оценили интегралы.
     • Получили соотношение $\left| { J }_{ 0,+\infty } \right| <\varepsilon .$
     Правильно
     

     Неправильно
     
  5. Задание 5 из 5

     5.

     Заполните пропуски в тексте.

     • Ряд Фурье превращается в (интеграл) Фурье, если интервал, на котором функция разлагается в тригонометрический (ряд Фурье, ряд), неограниченно (возрастает).
     Правильно
     

     Неправильно
     

Необходимые понятия

Условие Гёльдера. Будем говорить, что функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условия Гёльдера, если существуют односторонние конечные пределы $f(x_0 \pm 0)$ и такие числа $\delta > 0$, $\alpha \in (0,1]$ и $c_0 > 0$, что для всех $t \in (0,\delta)$ выполнены неравенства: $|f(x_0+t)-f(x_0+0)|\leq c_0t^{\alpha }$, $|f(x_0-t)-f(x_0-0)|\leq c_0t^{\alpha }$.

Формула Дирихле. Преобразованной формулой Дирихле называют формулу вида:
$$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}(f(x_0+t)+f(x_0-t))D_n(t)dt \quad (1),$$ где $D_n(t)=\frac{1}{2}+ \cos t + \ldots+ \cos nt = \frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}} (2)$ — ядро Дирихле.

Используя формулы $(1)$ и $(2)$, запишем частичную сумму ряда Фурье в следующем виде:
$$S_n(x_0)= \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}}\sin \left ( n+\frac{1}{2} \right ) t dt$$
$$\Rightarrow \lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0) — \frac{1}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\frac{f(x_0+t)+f(x_0-t)}{2\sin\frac{t}{2}} \cdot \\ \cdot \sin \left (n+\frac{1}{2} \right )t dt = 0 \quad (3)$$

Для $f \equiv \frac{1}{2}$ формула $(3)$ принимает следующий вид: $$\lim\limits_{n \to \infty }\frac{1}{\delta}\frac{\sin(n+\frac{1}{2})t}{2\sin\frac{t}{2}}dt=\frac{1}{2}, 0<\delta <\pi. \quad (4)$$

Сходимость ряда Фурье в точке

Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и в точке $x_0$ удовлетворяет условию Гёльдера. Тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ сходится к числу $$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$

Если в точке $x_0$ функция $f(x)$ — непрерывна, то в этой точке сумма ряда равна $f(x_0)$.

Следствие 1. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $f(x_0)$.

Следствие 2. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ обе односторонние производные, то ее ряд Фурье сходится в этой точке к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Следствие 3. Если $2\pi$-периодическая и абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция $f(x)$ удовлетворяет в точках $-\pi$ и $\pi$ условию Гёльдера, то в силу периодичности сумма ряда Фурье в точках $-\pi$ и $\pi$ равна $$\frac{f(\pi-0)+ f(-\pi+0)}{2}.$$

Признак Дини

Определение. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, Точка $x_0$ будет регулярной точкой функции $f(x)$, если

1) существуют конечные левый и правый пределы $\lim\limits_{x \to x_0+0 }f(x)= \lim\limits_{x \to x_0-0 }f(x)= f(x_0+0)=f(x_0-0),$

2) $f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$

Теорема. Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая абсолютно интегрируема на $[-\pi,\pi]$ функция и точка $x_0 \in \mathbb{R}$ — регулярная точка функции $f(x)$. Пусть функция $f(x)$ удовлетворяет в точке $x_0$ условиям Дини: существуют несобственные интегралы $$\int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0+t)-f(x_0+0)|}{t}dt, \\ \int\limits_{0}^{h}\frac{|f(x_0-t)-f(x_0-0)|}{t}dt,$$

тогда ряд Фурье функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет сумму $f(x_0)$, т.е. $$\lim\limits_{n \to \infty }S_n(x_0)=f(x_0)=\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$

Следствие Если $2\pi$ периодическая функция $f(x)$ кусочно дифференциируема на $[-\pi,\pi]$, то ее ряд Фурье в любой точке $x \in [-\pi,\pi]$ сходится к числу $$\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}.$$

• Лысенко З.М., конспект лекций по математическому анализу, 2015-2016 гг.
• Тер-Крикоров А.М. и Шабунин М.И. Курс математического анализа, стр. 581-587
• Демидович Б.П., Сборник заданий и упражнений по математическому анализу, издание 13, исправленное, Издательство ЧеРо, 1997, стр. 259-267

Лимит времени: 0

Навигация (только номера заданий)

0 из 5 заданий окончено

Вопросы:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

Информация

Тест по материалу данной темы:

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается...

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Результаты

Правильных ответов: 0 из 5

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

максимум из 5 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

Загрузка

Имя: E-Mail:

Капча:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 5

   1.

   Количество баллов: 1

   Если $2\pi$ -периодическая и абсолютно интегрируема на $[−\pi,\pi]$ функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную, то к чему будет сходиится ее ряд Фурье в этой точке?

   • $f(x_0)$
   • $f(x_0+0)+f(x_0-0)$
   • $\frac{f(\pi-0)+ f(-\pi+0)}{2}$
2. Задание 2 из 5

   2.

   Количество баллов: 1

   Если выполнены все условия признака Дини, то к какому числу сходится ряд Фурье функции $f$ в точке $x_0$?

   • $\frac{f(x_0+0)-f(x_0-0)}{2}$
   • $\frac{f(x_0-0)-f(x_0+0)}{2}$
   • $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$
3. Задание 3 из 5

   3.

   Количество баллов: 1

   Какие коэффициенты будут равны нулю, если функция $f(x)$ — четная?

   Элементы сортировки

   • $b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin kx dx =0$
   • $a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos kx dx =0$

   • Если функция $f(x)$ - четная

   • Если функция $f(x)$ - нечетная
4. Задание 4 из 5

   4.

   Количество баллов: 1

   Каковы условия сходимости функции $f$ к $\frac{f(x_0+0)+f(x_0-0)}{2}$ ?

   • Если функция удовлетворяет условию Гёльдера
   • Если функция $2 \pi$-периодическая
   • Если существует предел частичных сумм ряда Фурье, равный 0
5. Задание 5 из 5

   5.

   Количество баллов: 1

   Вставьте пропущенное слово

   • Для сходимости к $(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2$ ряда Фурье, необходимо, чтобы функция удовлетворяла (условию Гёльдера).